序論
本章では、『空間のコホモロジー』節 071U で始めた議論を続ける。 また本章は、スキームに対するエタール・コホモロジーの章、すなわち 『エタール・コホモロジー』節 03N2 の代数空間版とみなすこともできる。
実際、本章の主な目的は、スキームについて既に証明された結果を 代数空間の言葉に移し替えることである。本章の結果の一部は [Kn] にも見られる。
規約
常に、すべてのスキームが大 fppf サイト \(\Sch_{fppf}\) に 含まれるものと仮定する。また、考えるすべての環 \(A\) は、 \(\Spec(A)\) がこの大サイトの対象に（同型で）なるという性質をもつものとする。
\(S\) をスキームとし、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 本章および次章では、\(X\) とそれ自身との積（\(S\) 上の代数空間の圏における積）を \(X \times X\) ではなく \(X \times_S X\) と書く。
スキームの場合の結果の移送
本節では、スキームについての結果から、（表現可能な）代数空間および 代数空間の（表現可能な）射についての結果がどのように従うかを簡潔に説明する。 準連接加群については、さらに強いことが成り立つ （スキーム上の準連接加群のエタール・コホモロジーは Zariski コホモロジーと一致するためである）。これは既に 『空間のコホモロジー』節 071Y で論じた。
\(S\) をスキームとし、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 いま \(X\) がスキーム \(X_0\) によって表現されると仮定する （不格好だが一時的な記法であり、通常は単に「\(X\) はスキームである」と言う）。 このとき \(X\) と \(X_0\) の小エタールサイトは同じである： \[X_\etale = (X_0)_\etale\] これは『代数空間の性質』節 03EB で指摘されている。 さらに、\(f : X \to Y\) が \(S\) 上の表現可能な代数空間の射であり、 \(f_0 : X_0 \to Y_0\) が \(f\) を表現するスキームの射ならば、 誘導される小エタール・トポスの射は一致する： \[\xymatrix{ \Sh(X_\etale) \ar[rr]_{f_{small}} \ar@{=}[d] & & \Sh(Y_\etale) \ar@{=}[d] \\ \Sh((X_0)_\etale) \ar[rr]^{(f_0)_{small}} & & \Sh((Y_0)_\etale) }\] 『代数空間の性質』補題 03G2 および 『位相』補題 021I を参照されたい。
したがって、スキームのエタール・コホモロジーと、それに対応する 代数空間のエタール・コホモロジーとの間にはまったく差がない。 スキームの射に沿う高次順像についても同様である。 実際、\(f : X \to Y\) が \(S\) 上の代数空間の射であり、 （スキームで）表現可能ならば、\(X_\etale\) 上の層 \(\mathcal{F}\) の 高次順像 \(R^if_*\mathcal{F}\) は \(Y\) 上エタール局所的に計算できる （『サイト上のコホモロジー』補題 072W）。 したがって、計算や証明はしばしば \(Y\) と \(X\) がスキームである場合に帰着する。
本章では、以上を以後断りなく用いる。他の位相についても同じことが成り立つので、 ここではコホモロジーに関する形で明示的に補題として述べておく。
補題
\(S\) をスキームとする。
\(\tau \in \{\etale, fppf, ph\}\) とする（ここにさらに加える）。包含関手 \[(\Sch/S)_\tau \longrightarrow (\textit{Spaces}/S)_\tau\] は特殊余連続関手であり （『サイト』定義 03CG）、 したがって両トポスを同一視する。
証明
この関手は完全忠実であり、また任意の代数空間はスキームによる エタール被覆をもつので、『サイト』補題 03A0 の条件は直ちに確認できる。
固有基底変換
代数空間に対する固有基底変換定理は、少し作業すれば、 スキームに対する固有基底変換定理と Chow の補題から従う。
補題
\(S\) をスキームとする。\(f : Y \to X\) を \(S\) 上の代数空間の 全射な固有射とする。\(\mathcal{F}\) を \(X_\etale\) 上の層とする。 このとき \(\mathcal{F} \to f_*f^{-1}\mathcal{F}\) は単射であり、その像は 二つの写像 \(f_*f^{-1}\mathcal{F} \to g_*g^{-1}\mathcal{F}\) の等化子である。 ここで \(g\) は構造射 \(g : Y \times_X Y \to X\) である。
証明
\(S\) 上の代数空間の任意の全射 \(f : Y \to X\) に対し、写像 \(\mathcal{F} \to f_*f^{-1}\mathcal{F}\) は単射である。 実際、\(X\) の幾何点 \(\overline{x}\) を取るとき、\(\overline{x}\) の上にある \(Y\) の幾何点 \(\overline{y}\) を選び、 \[\mathcal{F}_{\overline{x}} \to (f_*f^{-1}\mathcal{F})_{\overline{x}} \to (f^{-1}\mathcal{F})_{\overline{y}} = \mathcal{F}_{\overline{x}}\] を考えればよい。最後の等号については『代数空間の性質』補題 04K2 を参照されたい。
第二の主張は \(X\) 上エタール局所的なので、
\(Y\) がアフィンスキームであると仮定してよいし、実際そう仮定する。
\(Z\) がスキームであるような全射固有射 \(Z \to Y\) を選ぶ。 『空間のコホモロジー』補題 089J を参照されたい。 \(Z \to X\) に対する結果から \(Y \to X\) に対する結果が従う。 \(Z \to X\) はスキームの全射固有射であり、したがって ph 被覆である （『位相』補題 0DES）から、 \(Z \to X\) に対する結果は『エタール・コホモロジー』補題 0DDW から従う （実際、ある意味でこの補題と同値である）。
補題
\((A, I)\) を Hensel 対とする。\(X\) を \(A\) 上の代数空間とし、 構造射 \(f : X \to \Spec(A)\) が固有であるとする。 \(i : X_0 \to X\) を \(X \times_{\Spec(A)} \Spec(A/I)\) の包含とする。 \(X_\etale\) 上の任意の層 \(\mathcal{F}\) に対し \(\Gamma(X, \mathcal{F}) = \Gamma(X_0, i^{-1}\mathcal{F})\) が成り立つ。
証明
\(Y\) がスキームであるような全射固有射 \(Y \to X\) を選ぶ。 『空間のコホモロジー』補題 089J を参照されたい。図式 \[\xymatrix{ \Gamma(X_0, \mathcal{F}_0) \ar[r] & \Gamma(Y_0, \mathcal{G}_0) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \Gamma((Y \times_X Y)_0, \mathcal{H}_0) \\ \Gamma(X, \mathcal{F}) \ar[r] \ar[u] & \Gamma(Y, \mathcal{G}) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar[u] & \Gamma(Y \times_X Y, \mathcal{H}) \ar[u] }\] を考える。
ここで \(\mathcal{G}\) および \(\mathcal{H}\) は、それぞれ \(\mathcal{F}\) の \(Y\) および \(Y \times_X Y\) への逆像であり、添字 \(0\) は \(\Spec(A/I)\) への基底変換を表す。スキームの場合 （『エタール・コホモロジー』補題 0A0C）により、 中央と右の垂直射は全単射である。補題 0DFX により、 左の垂直射も全単射であることが従う。
補題
\(A\) を Hensel 局所環とする。\(X\) を \(A\) 上の代数空間とし、 \(f : X \to \Spec(A)\) が固有射であるとする。 \(X_0 \subset X\) を閉点上の \(f\) のファイバーとする。 \(X_\etale\) 上の任意の層 \(\mathcal{F}\) に対し \(\Gamma(X, \mathcal{F}) = \Gamma(X_0, \mathcal{F}|_{X_0})\) が成り立つ。
証明
これは補題 0DFY の特別な場合である。
補題
\(S\) をスキームとする。
\(f : X \to Y\) および \(g : Y' \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とし、 \(f\) は固有であると仮定する。 \(X' = Y' \times_Y X\) とおき、射影を \(f' : X' \to Y'\) および \(g' : X' \to X\) とする。\(\mathcal{F}\) を \(X_\etale\) 上の任意の層とする。 このとき \(g^{-1}f_*\mathcal{F} = f'_*(g')^{-1}\mathcal{F}\) である。
証明
問題は \(Y'\) 上エタール局所的である。 スキーム \(V\) と全射エタール射 \(V \to Y\) を選ぶ。 さらにスキーム \(V'\) と全射エタール射 \(V' \to V \times_Y Y'\) を選ぶ。 すると \(Y'\) を \(V'\) で、\(Y\) を \(V\) で置き換えてよい。 したがって \(Y\) と \(Y'\) はスキームであると仮定できる。 さらに \(Y\) と \(Y'\) 上 Zariski 局所的に議論してよいので、 \(Y\) と \(Y'\) はアフィンスキームであると仮定できる。
\(Y\) と \(Y'\) がアフィンスキームであると仮定する。 \(X_1\) がスキームであるような全射固有射 \(h_1 : X_1 \to X\) を選ぶ。 『空間のコホモロジー』補題 089J を参照されたい。 \(X_2 = X_1 \times_X X_1\) とおき、構造射を \(h_2 : X_2 \to X\) と記す。 これはスキームであることに注意する。スキームの場合 （『エタール・コホモロジー』補題 0A3U）により、 補題は Cartesian 図式 \[\vcenter{ \xymatrix{ X'_1 \ar[r] \ar[d] & X_1 \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y } } \quad\text{および}\quad \vcenter{ \xymatrix{ X'_2 \ar[r] \ar[d] & X_2 \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y } }\] と層 \(\mathcal{F}_i = (X_i \to X)^{-1}\mathcal{F}\) について成り立つ。 補題 0DFX により完全列 \(0 \to \mathcal{F} \to h_{1, *}\mathcal{F}_1 \to h_{2, *}\mathcal{F}_2\) を得る。また \(X'_2 = X'_1 \times_{X'} X'_1\) なので、 \((g')^{-1}\mathcal{F}\) についても同様である。したがって
補題が成り立つことが分かる（若干の詳細は省略する）。
\(S\) をスキームとする。\(f : Y \to X\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。
\(\overline{x} : \Spec(k) \to S\) を幾何点とする。 \(\overline{x}\) における \(f\) のファイバーとは、\(\Spec(k)\) 上の代数空間 \(Y_{\overline{x}} = \Spec(k) \times_{\overline{x}, X} Y\) のことである。 \(\mathcal{F}\) が \(Y_\etale\) 上の層ならば、 \(\mathcal{F}_{\overline{x}} = p^{-1}\mathcal{F}\) を、 \(\mathcal{F}\) の \((Y_{\overline{x}})_\etale\) への逆像と記す。 ここで \(p : Y_{\overline{x}} \to Y\) は射影である。 以下では集合 \(\Gamma(Y_{\overline{x}}, \mathcal{F}_{\overline{x}})\) を考える。
補題
\(S\) をスキームとする。\(f : Y \to X\) を \(S\) 上の代数空間の固有射とし、 \(\overline{x} \to X\) を幾何点とする。 \(Y_\etale\) 上の任意の層 \(\mathcal{F}\) に対し、標準写像 \[(f_*\mathcal{F})_{\overline{x}} \longrightarrow \Gamma(Y_{\overline{x}}, \mathcal{F}_{\overline{x}})\] は全単射である。
証明
これは補題 0DG0 の特別な場合である。
定理
\(S\) をスキームとし、 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] を \(S\) 上の代数空間の Cartesian 正方形とする。\(f\) は固有であると仮定する。 \(\mathcal{F}\) を \(X_\etale\) 上のアーベル捩れ層とする。このとき基底変換写像 \[g^{-1}Rf_*\mathcal{F} \longrightarrow Rf'_*(g')^{-1}\mathcal{F}\] は同型である。
証明
この証明では、スキームに対する固有基底変換定理の証明で用いた議論の一部を 繰り返す。詳しくは『エタール・コホモロジー』節 095S を参照されたい。
主張は \(Y'\) および \(Y\) 上エタール局所的なので、\(Y\) と \(Y'\) はともに アフィンスキームであると仮定してよい。特に、これで \(f\) が表現可能な場合の 定理も証明されたことに注意する（以下でこれを用いる）。
各 \(n \geq 1\) に対し、\(\mathcal{F}[n]\) を \(n\) で零化される \(\mathcal{F}\) の切断の部分層とする。このとき \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}[n]\) である。 『空間のコホモロジー』補題 07U6 により、関手 \(g^{-1}R^pf_*\) および \(R^pf'_*(g')^{-1}\) はフィルター付き余極限と可換である。 したがって、\(\mathcal{F}\) が \(n\) で零化される場合を証明すれば十分である。
\(\mathcal{F} \to \mathcal{I}^\bullet\) を \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\)-加群の入射層による分解とする。 補題 0DG0 により \(g^{-1}f_*\mathcal{I}^\bullet = f'_*(g')^{-1}\mathcal{I}^\bullet\) であることに注意する。Leray の非輪状性補題 （『導来圏』補題 015E）を適用すると、 \(p > 0\) および \(m \in \mathbf{Z}\) に対し \(R^pf'_*(g')^{-1}\mathcal{I}^m = 0\) を証明すれば十分である。
\(Z\) がスキームであるような全射固有射 \(h : Z \to X\) を選ぶ。 『空間のコホモロジー』補題 089J を参照されたい。 \(h^{-1}\mathcal{I}^m \to \mathcal{J}\) を単射とし、\(\mathcal{J}\) を \(Z_\etale\) 上の \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\)-加群の入射層とする。 \(h\) は全射なので、写像 \(\mathcal{I}^m \to h_*\mathcal{J}\) は単射である （補題 0DFX を参照）。 \(\mathcal{I}^m\) は入射的なので、\(\mathcal{I}^m\) は \(h_*\mathcal{J}\) の直和因子である。したがって、望む消滅を \(h_*\mathcal{J}\) について証明すれば十分である。
\(h'\) を \(g\) による基底変換とし、射影を \(g'' : Z' \to Z\) と記す。 スペクトル系列 \[E_2^{p, q} = R^pf'_* R^qh'_* (g'')^{-1}\mathcal{J}\] があり、\(R^{p + q}(f' \circ h')_*(g'')^{-1}\mathcal{J}\) に収束する。 \(h\) および \(f \circ h\) は（スキームで）表現可能なので、 求める結果がこれらについて成り立つことは既に分かっている。 したがって、このスペクトル系列において \(q > 0\) なら \(E_2^{p, q} = 0\) であり、\(p + q > 0\) なら \(R^{p + q}(f' \circ h')_*(g'')^{-1}\mathcal{J} = 0\) である。 ゆえに \(p > 0\) なら \(E_2^{p, 0} = 0\) である。さて、補題 0DG0 により \[E_2^{p, 0} = R^pf'_* h'_* (g'')^{-1}\mathcal{J} = R^pf'_* (g')^{-1}h_*\mathcal{J}\] である。これで証明が完了する。
補題
\(S\) をスキームとし、 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] を \(S\) 上の代数空間の Cartesian 正方形とする。\(f\) は固有であると仮定する。 \(E \in D^+(X_\etale)\) のコホモロジー層が捩れ層であるとする。 このとき基底変換写像 \(g^{-1}Rf_*E \to Rf'_*(g')^{-1}E\) は同型である。
証明
これは、スペクトル系列 \[E_2^{p, q} = R^pf_*H^q(E) \quad\text{および}\quad {E'}_2^{p, q} = R^pf'_*(g')^{-1}H^q(E)\] を用いた固有基底変換定理（定理 0DG2）の 簡単な帰結である。これらはそれぞれ \(R^nf_*E\) および \(R^nf'_*(g')^{-1}E\) に収束する。スペクトル系列は『導来圏』補題 015J で構成されている。 若干の詳細は省略する。
補題
\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を代数空間の固有射とし、 \(\overline{y} \to Y\) を幾何点とする。
\(X_\etale\) 上のアーベル捩れ層 \(\mathcal{F}\) に対し \((R^nf_*\mathcal{F})_{\overline{y}} = H^n_\etale(X_{\overline{y}}, \mathcal{F}_{\overline{y}})\) である。
コホモロジー層が捩れ層である \(E \in D^+(X_\etale)\) に対し
\((R^nf_*E)_{\overline{y}} = H^n_\etale(X_{\overline{y}}, E_{\overline{y}})\) である。
証明
主張において、\(\mathcal{F}_{\overline{y}}\) は \(\mathcal{F}\) の \(X_{\overline{y}} = \overline{y} \times_Y X\) への逆像を表す。 \(\overline{y} \to Y\) による逆像は \(\mathcal{F}\) の茎を与えるので、 第一の主張は定理 0DG2 の特別な場合である。 第二の主張は補題 0DG3 の特別な場合である。
補題
\(k'/k\) を分離閉体の拡大とする。\(X\) を \(k\) 上の固有代数空間とし、 \(\mathcal{F}\) を \(X\) 上のアーベル捩れ層とする。このとき \(q \geq 0\) に対し、 \(H^q_\etale(X, \mathcal{F}) \to H^q_\etale(X_{k'}, \mathcal{F}|_{X_{k'}})\) は同型である。
証明
これは定理 0DG2 の特別な場合である。
大トポスと小トポスの比較
\(S\) をスキーム、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 『空間上のトポロジー』補題 0DF3 では、比較射 \(\pi_X : (\textit{Spaces}/X)_\etale \to X_{spaces, \etale}\) および \(i_X : \Sh(X_\etale) \to \Sh((\textit{Spaces}/X)_\etale)\) を導入した。これらはトポスの射として \(\pi_X \circ i_X = \text{id}\) を満たし、\(\pi_{X, *} = i_X^{-1}\) である。 より一般に、\(f : Y \to X\) が \((\textit{Spaces}/X)_\etale\) の対象ならば、 \(f_{small} = \pi_X \circ i_f\) を満たす射 \(i_f : \Sh(Y_\etale) \to \Sh((\textit{Spaces}/X)_\etale)\) が存在する。『空間上のトポロジー』補題 0DF2 および 0DF6 を参照されたい。 『空間上のトポロジー』注意 0DF9 では、これらを環付きサイトの射 \[\pi_X : ((\textit{Spaces}/X)_\etale, \mathcal{O}) \to (X_{spaces, \etale}, \mathcal{O}_X)\] ならびに環付きトポスの射 \[i_X : (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X) \to (\Sh((\textit{Spaces}/X)_\etale), \mathcal{O})\] および \[i_f : (\Sh(Y_\etale), \mathcal{O}_Y) \to (\Sh((\textit{Spaces}/X)_\etale, \mathcal{O}))\] へ拡張した。制限 \(i_X^{-1} = \pi_{X, *}\)（『トポロジー』定義 04BT を参照）は \(\mathcal{O}\) を \(\mathcal{O}_X\) に移すことに注意する。 同様に、\(i_f^{-1}\) は \(\mathcal{O}\) を \(\mathcal{O}_Y\) に移す。 『空間上のトポロジー』注意 0DF9 を参照されたい。 したがって、\((\textit{Spaces}/X)_\etale\) 上の任意の \(\mathcal{O}\)-加群 \(\mathcal{F}\) に対し \(i_X^*\mathcal{F} = i_X^{-1}\mathcal{F}\) および \(i_f^*\mathcal{F} = i_f^{-1}\mathcal{F}\) である。特に \(i_X^*\) と \(i_f^*\) は 完全関手である。関手 \(i_X^*\) はしばしば \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}|_{X_\etale}\) と書かれる （これは『空間上のトポロジー』定義 0DF4 の記法と矛盾しない）。
補題
\(S\) をスキーム、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(\mathcal{F}\) を \(X_\etale\) 上の層とする。このとき \(\pi_X^{-1}\mathcal{F}\) は、\((\textit{Spaces}/X)_\etale\) の \(f : Y \to X\) に対する規則 \[(\pi_X^{-1}\mathcal{F})(Y) = \Gamma(Y_\etale, f_{small}^{-1}\mathcal{F})\] で与えられる。さらに、
\(\pi_Y^{-1}\mathcal{F}\) は平滑被覆、シントミック被覆、fppf 被覆、 fpqc 被覆、および ph 被覆に関する層条件を満たす。
証明
逆像の推移性と \(f_{small} = \pi_X \circ i_f\)（上記参照）から \(i_f^{-1} \pi_X^{-1}\mathcal{F} = f_{small}^{-1}\mathcal{F}\) を得る。 これにより、\(\pi_X^{-1}\) が補題に記した記述をもつことが分かる。
\(\pi_X^{-1}\mathcal{F}\) が ph トポロジーに対する層であることを示すには、 『空間上のトポロジー』補題 0DFM により、 \(X\) 上の代数空間の全射固有射 \(V \to U\) に対し \((\pi_X^{-1}\mathcal{F})(U)\) が二つの写像 \((\pi_X^{-1}\mathcal{F})(V) \to (\pi_X^{-1}\mathcal{F})(V \times_U V)\) の等化子であることを示せば十分である。これは補題 0DFX で示した。
平滑被覆、シントミック被覆、および fppf 被覆の場合は、 『空間上のトポロジー』補題 0DFH により ph 被覆の場合から従う。
\(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) を \(X\) 上の代数空間の fpqc 被覆とする。\(s_i \in (\pi_X^{-1}\mathcal{F})(U_i)\) を、 \(U_i \times_U U_j\) 上で一致する切断とする。\(U_i\) 上で \(s_i\) に 制限される一意な \(s \in (\pi_X^{-1}\mathcal{F})(U)\) が存在することを 証明しなければならない。場合 I：\(U\) と \(U_i\) がスキームである場合。 これは『エタール・コホモロジー』補題 09XN から従う。 場合 II：\(U\) がスキームである場合。ここで、\(T_i\) がスキームであるような 全射エタール射 \(T_i \to U_i\) を選ぶ。このとき \(\mathcal{T} = \{T_i \to U\}\) はスキームによる fpqc 被覆であり、 場合 I により結果は \(\mathcal{T}\) に対して成り立つ。 これが \(\mathcal{U}\) に対する結果を導くことの確認は省略する。 場合 III：一般の場合。\(W\) がスキームであるような全射エタール射 \(W \to U\) をとる。このとき \(\mathcal{W} = \{U_i \times_U W \to W\}\) は、スキーム \(W\) の （代数空間による）fpqc 被覆である。場合 II により、
結果は \(\mathcal{W}\) に対して成り立つ。 これが \(\mathcal{U}\) に対する結果を導くことの確認は省略する。
補題
\(S\) をスキームとし、\(Y \to X\) を \((\textit{Spaces}/S)_\etale\) の射とする。
\(\mathcal{I}\) が \(\textit{Ab}((\textit{Spaces}/X)_\etale)\) において 入射的ならば、
\(i_f^{-1}\mathcal{I}\) は \(\textit{Ab}(Y_\etale)\) において入射的であり、
\(\mathcal{I}|_{X_\etale}\) は \(\textit{Ab}(X_\etale)\) において入射的である。
\(\mathcal{I}^\bullet\) が \(\textit{Ab}((\textit{Spaces}/X)_\etale)\) における K-入射複体ならば、
\(i_f^{-1}\mathcal{I}^\bullet\) は \(\textit{Ab}(Y_\etale)\) における K-入射複体であり、
\(\mathcal{I}^\bullet|_{X_\etale}\) は \(\textit{Ab}(X_\etale)\) における K-入射複体である。
加群に対する対応する主張は成り立たない。
証明
(1)(b) と (2)(b) は、制限関手 \(\pi_{X, *} = i_X^{-1}\) が 完全関手 \(\pi_X^{-1}\) の右随伴であることから形式的に従う。 『ホモロジー』補題 015Z および 『導来圏』補題 08BJ を参照されたい。
(1)(a) と (2)(a) は二通りに示せる。第一の証明：\(i_f^{-1}\) が 完全関手 \(i_{f, !}\) の右随伴であることを用いる。この関手は集合の層について 『トポロジー』補題 021F で、 アーベル層について『サイト上の加群』補題 04BG で構成される。 『サイト上の加群』補題 04BH において、これが完全であることが示される。 第二の証明：『トポロジー』補題 021I で示される \(i_f = i_Y \circ f_{big}\) を用いる。\(f_{big}\) は局所化なので、 これによる逆像は入射対象と K-入射対象を保つ。 『サイト上のコホモロジー』補題 03F3 および 08FI を参照されたい。 次に、既に証明した (1)(b) と (2)(b) を関手 \(i_Y^{-1}\) に適用して結論を得る。
加群の場合の反例については、『エタール・コホモロジー』補題 0758 を参照されたい。
\(S\) をスキームとし、\(f : Y \to X\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 『空間上のトポロジー』補題 0DF6 (3) の可換図式から、 環付きサイトの可換図式 \[\xymatrix{ (Y_{spaces, \etale}, \mathcal{O}_Y) \ar[d]_{f_{spaces, \etale}} & ((\textit{Spaces}/Y)_\etale, \mathcal{O}) \ar[d]^{f_{big}} \ar[l]^{\pi_Y} \\ (X_{spaces, \etale}, \mathcal{O}_X) & ((\textit{Spaces}/X)_\etale, \mathcal{O}) \ar[l]_{\pi_X} }\] を得る。これは \(f_{small}^\sharp\)、\(f_{big}^\sharp\)、 \(\pi_X^\sharp\)、および \(\pi_Y^\sharp\) の定義を書き下せば容易に分かる。 特に、\((\textit{Spaces}/Y)_\etale\) 上の任意の層 \(\mathcal{F}\) に対し [0DG9]\[\begin{equation} (f_{big, *}\mathcal{F})|_{X_\etale} = f_{small, *}(\mathcal{F}|_{Y_\etale}) \end{equation}\] であり、\(\mathcal{F}\) が \(\mathcal{O}\)-加群の層ならば、 (0DG9) は \(X_\etale\) 上の \(\mathcal{O}_X\)-加群の同型である。
補題
\(S\) をスキーム、\(f : Y \to X\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。
\(D((\textit{Spaces}/Y)_\etale)\) の \(K\) に対し、
\((Rf_{big, *}K)|_{X_\etale} = Rf_{small, *}(K|_{Y_\etale})\) が \(D(X_\etale)\) において成り立つ。\(D((\textit{Spaces}/Y)_\etale, \mathcal{O})\) の \(K\) に対し、
\((Rf_{big, *}K)|_{X_\etale} = Rf_{small, *}(K|_{Y_\etale})\) が \(D(\textit{Mod}(X_\etale, \mathcal{O}_X))\) において成り立つ。より一般に、\(g : X' \to X\) を \((\textit{Spaces}/X)_\etale\) の対象とし、 ファイバー積 \[\xymatrix{ Y' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & Y \ar[d]^f \\ X' \ar[r]^g & X }\] を考える。このとき
\(D((\textit{Spaces}/Y)_\etale)\) の \(K\) に対し、 \(i_g^{-1}(Rf_{big, *}K) = Rf'_{small, *}(i_{g'}^{-1}K)\) が \(D(X'_\etale)\) において成り立つ。
\(D((\textit{Spaces}/Y)_\etale, \mathcal{O})\) の \(K\) に対し、 \(i_g^*(Rf_{big, *}K) = Rf'_{small, *}(i_{g'}^*K)\) が \(D(\textit{Mod}(X'_\etale, \mathcal{O}_{X'}))\) において成り立つ。
\(D((\textit{Spaces}/Y)_\etale)\) の \(K\) に対し、
\(g_{big}^{-1}(Rf_{big, *}K) = Rf'_{big, *}((g'_{big})^{-1}K)\) が \(D((\textit{Spaces}/X')_\etale)\) において成り立つ。\(D((\textit{Spaces}/Y)_\etale, \mathcal{O})\) の \(K\) に対し、
\(g_{big}^*(Rf_{big, *}K) = Rf'_{big, *}((g'_{big})^*K)\) が \(D(\textit{Mod}(X'_\etale, \mathcal{O}_{X'}))\) において成り立つ。
証明
(1) は、\(K\) を表すアーベル層の K-入射複体を選び、 補題 0DG8 と (0DG9) を用いることから従う。
(3) は、\(K\) を表すアーベル層の K-入射複体を選び、 補題 0DG8 と『トポロジー』補題 0DDA を用いることから従う。
(5) は『サイト上のコホモロジー』補題 0EZ0 である。
(6) は『サイト上のコホモロジー』補題 0FN5 である。
(2) は次のように証明できる。上で、環付きサイトの射として \(\pi_X \circ f_{big} = f_{small} \circ \pi_Y\) であることを見た。 したがって、『サイト上のコホモロジー』補題 0D6E により \(R\pi_{X, *} \circ Rf_{big, *} = Rf_{small, *} \circ R\pi_{Y, *}\) を得る。制限関手 \(\pi_{X, *}\) と \(\pi_{Y, *}\) は完全なので結論を得る。
(4) は、(6) と \(f' : Y' \to X'\) に適用した (2) から従う。
\(S\) をスキーム、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(\mathcal{H}\) を \((\textit{Spaces}/X)_\etale\) 上のアーベル層とする。 \(H^n_\etale(U, \mathcal{H})\) は \((\textit{Spaces}/X)_\etale\) の 対象 \(U\) 上の \(\mathcal{H}\) のコホモロジーを表すことを想起する。
補題
\(S\) をスキーム、\(f : Y \to X\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。このとき
\(D(X_\etale)\) の \(K\) に対し \(H^n_\etale(X, \pi_X^{-1}K) = H^n(X_\etale, K)\) である。
\(D(X_\etale, \mathcal{O}_X)\) の \(K\) に対し \(H^n_\etale(X, L\pi_X^*K) = H^n(X_\etale, K)\) である。
\(D(X_\etale)\) の \(K\) に対し \(H^n_\etale(Y, \pi_X^{-1}K) = H^n(Y_\etale, f_{small}^{-1}K)\) である。
\(D(X_\etale, \mathcal{O}_X)\) の \(K\) に対し
\(H^n_\etale(Y, L\pi_X^*K) = H^n(Y_\etale, Lf_{small}^*K)\) である。\(D((\textit{Spaces}/X)_\etale)\) の \(M\) に対し \(H^n_\etale(Y, M) = H^n(Y_\etale, i_f^{-1}M)\) である。
\(D((\textit{Spaces}/X)_\etale, \mathcal{O})\) の \(M\) に対し \(H^n_\etale(Y, M) = H^n(Y_\etale, i_f^*M)\) である。
証明
(5) を証明するため、\(M\) をアーベル層の K-入射複体で表し、 補題 0DG8 を適用して定義を書き下す。 (3) は \(i_f^{-1}\pi_X^{-1} = f_{small}^{-1}\) であることから従う。 (1) は (3) の特別な場合である。
(6) は非常に一般的な『サイト上のコホモロジー』補題 0DD8 から従う。 次いで (4) は \(Lf_{small}^* = i_f^* \circ L\pi_X^*\) から従う。 (2) は (4) の特別な場合である。
補題
\(S\) をスキーム、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(K \in D(X_\etale)\) に対し、写像 \[K \longrightarrow R\pi_{X, *}\pi_X^{-1}K\] は同型である。ここで \(\pi_X : \Sh((\textit{Spaces}/X)_\etale) \to \Sh(X_\etale)\) は上記の射である。
証明
\(\pi_X^{-1}\) と \(\pi_{X, *} = i_X^{-1}\) はともに完全関手であり、 合成 \(\pi_{X, *} \circ \pi_X^{-1}\) が恒等関手なので、主張は成り立つ。
補題
\(S\) をスキームとする。\(f : Y \to X\) を \(S\) 上の代数空間の固有射とする。 このとき
関手 \(\Sh(Y_\etale) \to \Sh((\textit{Spaces}/X)_\etale)\) として \(\pi_X^{-1} \circ f_{small, *} = f_{big, *} \circ \pi_Y^{-1}\) であり、
コホモロジー層が捩れ層である \(D^+(Y_\etale)\) の \(K\) に対し
\(\pi_X^{-1}Rf_{small, *}K = Rf_{big, *}\pi_Y^{-1}K\) であり、\(f\) が有限ならば、\(D(Y_\etale)\) のすべての \(K\) に対し \(\pi_X^{-1}Rf_{small, *}K = Rf_{big, *}\pi_Y^{-1}K\) である。
証明
(1) の証明。\(\mathcal{F}\) を \(Y_\etale\) 上の層とし、 \(g : X' \to X\) を \((\textit{Spaces}/X)_\etale\) の対象とする。 ファイバー積 \[\xymatrix{ Y' \ar[r]_{f'} \ar[d]_{g'} & X' \ar[d]^g \\ Y \ar[r]^f & X }\] を考える。このとき \[\begin{aligned} (f_{big, *}\pi_Y^{-1}\mathcal{F})(X') &= (\pi_Y^{-1}\mathcal{F})(Y') \\ &= ((g'_{small})^{-1}\mathcal{F})(Y') \\ &= (f'_{small, *}(g'_{small})^{-1}\mathcal{F})(X') \end{aligned}\] であり、第二の等号は補題 0DG7 による。 一方、再び補題 0DG7 により \[(\pi_X^{-1}f_{small, *}\mathcal{F})(X') = (g_{small}^{-1}f_{small, *}\mathcal{F})(X')\] である。したがって、集合の層に対する固有基底変換 （補題 0DG0）により、 これら二つの集合は標準的に同型である。この同型は制限写像と両立し、同型 \(\pi_X^{-1}f_{small, *}\mathcal{F} = f_{big, *}\pi_Y^{-1}\mathcal{F}\) を定める。よって関手の同型 \(\pi_X^{-1} \circ f_{small, *} = f_{big, *} \circ \pi_Y^{-1}\) を得る。
(2) の証明。\(D(Y_\etale)\) の任意の \(K\) に対し、標準基底変換写像
\(\pi_X^{-1}Rf_{small, *}K \to Rf_{big, *}\pi_Y^{-1}K\) が存在する。 『サイト上のコホモロジー』注意 07A7 を参照されたい。 これが同型であることを示すには、\((\Sch/X)_\etale\) の任意の対象 \(g : X' \to X\) に対し、
\(i_g : \Sh(X'_\etale) \to \Sh((\Sch/X)_\etale)\) による基底変換写像の逆像が同型であることを示せば十分である。前段落と同じ \(T', g', f'\) をとる。基底変換写像の逆像は \[\begin{align*} g_{small}^{-1}Rf_{small, *}K & = i_g^{-1}\pi_X^{-1}Rf_{small, *}K \\ & \to i_g^{-1}Rf_{big, *}\pi_Y^{-1}K \\ & = Rf'_{small, *}(i_{g'}^{-1}\pi_Y^{-1}K) \\ & = Rf'_{small, *}((g'_{small})^{-1}K) \end{align*}\] である。ここで \(\pi_X \circ i_g = g_{small}\)、 \(\pi_Y \circ i_{g'} = g'_{small}\)、および補題 0DGA を用いた。 \(K\) が下に有界で、その \(K\) のコホモロジー層が捩れ層ならば、この写像は 固有基底変換定理（補題 0DG3）により同型である。
(3) の証明。\(f\) が有限ならば、関手 \(f_{small, *}\) と \(f_{big, *}\) は完全である。 \(f_{small}\) については、これは『空間のコホモロジー』補題 0A4K から従う。 \(f\) の任意の基底変換 \(f'\) も有限なので、補題 0DGA (3) から \(f_{big, *}\) も完全である （高次導来関手は零である）。したがって、この場合は (1) から従う。
fppf トポロジーとエタール・トポロジーの比較
本節は『エタール・コホモロジー』節 0DDK の類似である。
\(S\) をスキーム、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 圏 \(\textit{Spaces}/X\) 上で fppf トポロジーとエタール・トポロジーを考える。 恒等関手 \((\textit{Spaces}/X)_\etale \to (\textit{Spaces}/X)_{fppf}\) は連続であり、『サイト』命題 00X6 を適用すると サイトの射 \[\epsilon_X : (\textit{Spaces}/X)_{fppf} \longrightarrow (\textit{Spaces}/X)_\etale\] を定める。\(\epsilon_{X, *}\) は台となる前層上では恒等関手であり、 \(\epsilon_X^{-1}\) はエタール層にその fppf 層化を対応させることに注意する。 大エタール・サイトと小エタール・サイトを比較するサイトの射 \[\pi_X : (\textit{Spaces}/X)_\etale \longrightarrow X_{spaces, \etale}\] を考える。節 0DG6 を参照されたい。その合成はサイトの射 \[a_X = \pi_X \circ \epsilon_X : (\textit{Spaces}/X)_{fppf} \longrightarrow X_{spaces, \etale}\] を定める。\(\mathcal{H}\) が \((\textit{Spaces}/X)_{fppf}\) 上のアーベル層ならば、 \((\textit{Spaces}/X)_{fppf}\) の対象 \(U\) 上の \(\mathcal{H}\) のコホモロジーを \(H^n_{fppf}(U, \mathcal{H})\) と書く。
補題
\(S\) をスキーム、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。
\(\mathcal{F} \in \Sh(X_\etale)\) に対し \(\epsilon_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = \pi_X^{-1}\mathcal{F}\) かつ \(a_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{F}\) である。
\(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(X_\etale)\) に対し、\(i > 0\) ならば \(R^i\epsilon_{X, *}(a_X^{-1}\mathcal{F}) = 0\) である。
証明
\(a_X^{-1}\mathcal{F} = \epsilon_X^{-1} \pi_X^{-1}\mathcal{F}\) である。 補題 0DG7 により、エタール層 \(\pi_X^{-1}\mathcal{F}\) は fppf トポロジーに対する層である。 したがって、これは \(a_X^{-1}\mathcal{F}\) に等しい （\(\epsilon_X\) による逆像は fppf 層化で与えられる）。さらに、 \(\epsilon_{X, *}\) は台となる前層上では恒等であることを想起する。 これで (1) は補題 0DG7 における \(\pi_X^{-1}\) の明示的記述から直ちに従う。
(2) はスキームの場合、すなわち『エタール・コホモロジー』補題 0DDS (1) に帰着して証明する。 すべての代数空間はエタール局所的にスキームなので、これは「明らかにうまくいく」。 以下に詳細を記すが、読者には証明を飛ばすことを勧める。
\((\textit{Spaces}/X)_{fppf}\) 上のアーベル層 \(\mathcal{H}\) に対し、
高次順像 \(R^p\epsilon_{X, *}\mathcal{H}\) は、 \((\textit{Spaces}/X)_\etale\) 上の前層
\(U \mapsto H^p_{fppf}(U, \mathcal{H})\) に付随する層である。 『サイト上のコホモロジー』補題 072W を参照されたい。 \((\textit{Spaces}/X)_\etale\) のすべての対象はスキームによる被覆をもつので、 \(U/X\) がスキームであり \(\xi \in H^p_{fppf}(U, a_X^{-1}\mathcal{F})\) が与えられたとき、 \(\xi\) の \(U_i\) への制限が零になるようなエタール被覆 \(\{U_i \to U\}\) を見つけられることを示せば十分である。ここで \[\begin{align*} H^p_{fppf}(U, a_X^{-1}\mathcal{F}) & = H^p((\textit{Spaces}/U)_{fppf}, (a_X^{-1}\mathcal{F})|_{\textit{Spaces}/U}) \\ & = H^p((\Sch/U)_{fppf}, (a_X^{-1}\mathcal{F})|_{\Sch/U}) \end{align*}\] である。第二の同一視は補題 0DFV によるもので、第一は制限に関する一般論 （『サイト上のコホモロジー』補題 03F3）である。 最初の段落と、スキームの場合の対応する結果 （『エタール・コホモロジー』補題 0DDL）を見ると、層 \((a_X^{-1}\mathcal{F})|_{\Sch/U}\) は「\(a_U\) のスキーム版」による逆像と一致する。 したがって、各 \(i\) について我々の類が
\(H^p((\Sch/U_i)_{fppf}, (a_X^{-1}\mathcal{F})|_{\Sch/U_i})\) で消えるようなエタール被覆 \(\{U_i \to U\}\) を見つけられる。 『エタール・コホモロジー』補題 0DDS を参照されたい （ここで用いるべき正確な主張は、すべての \(n\) について \(V_n\) が成り立つことであり、 これはスキームの場合の (2) の主張である）。同じ公式を今度は \(U_i\) に用いて 戻すと、望むとおり \(\xi\) の \(U_i\) 上への制限は零である。
スキームの場合に行われた難しい仕事から、小エタール・サイトに由来する層については エタール・コホモロジーと fppf コホモロジーが一致することが分かる。
補題
\(S\) をスキーム、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(K \in D^+(X_\etale)\) に対し、写像 \[\pi_X^{-1}K \longrightarrow R\epsilon_{X, *}a_X^{-1}K \quad\text{および}\quad K \longrightarrow Ra_{X, *}a_X^{-1}K\] は同型である。ここで \(a_X : \Sh((\textit{Spaces}/X)_{fppf}) \to \Sh(X_\etale)\) は上記の射である。
証明
第二の主張だけを証明する。第一の主張はより容易で、全く同じ方法で証明される。 \(K\) が単一のアーベル層で与えられる場合に直ちに帰着できる。 実際、\(K\) を下に有界な複体 \(\mathcal{F}^\bullet\) で表す。 層の場合から、\(\mathcal{F}^n = a_{X, *} a_X^{-1} \mathcal{F}^n\) であり、 \(q > 0\) に対して層 \(R^qa_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F}^n\) は零である。 Leray の非輪状性補題 （『導来圏』補題 015E）を \(a_X^{-1}\mathcal{F}^\bullet\) と関手 \(a_{X, *}\) に適用して結論を得る。 以下では \(K = \mathcal{F}\) と仮定する。
補題 0DGF により \(a_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{F}\) である。 したがって、\(q > 0\) に対して \(R^qa_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = 0\) であることを示せば十分である。 このために
\(a_X = \epsilon_X \circ \pi_X\) と Leray スペクトル系列 （『サイト上のコホモロジー』補題 0734）を用いることができる。 補題 0DGF により、\(i > 0\) に対して \(R^i\epsilon_{X, *}(a_X^{-1}\mathcal{F}) = 0\) である。 \(\epsilon_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = \pi_X^{-1}\mathcal{F}\) であり、 補題 0DGC により、\(j > 0\) に対して \(R^j\pi_{X, *}(\pi_X^{-1}\mathcal{F}) = 0\) である。これで証明が完了する。
補題
\(S\) をスキーム、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。上記の \(a_X : \Sh((\textit{Spaces}/X)_{fppf}) \to \Sh(X_\etale)\) に対し、
\(X_\etale\) 上のアーベル層 \(\mathcal{F}\) について \(H^q(X_\etale, \mathcal{F}) = H^q_{fppf}(X, a_X^{-1}\mathcal{F})\) であり、
\(K \in D^+(X_\etale)\) について \(H^q(X_\etale, K) = H^q_{fppf}(X, a_X^{-1}K)\) である。
例：\(A\) がアーベル群ならば \(H^q_\etale(X, \underline{A}) = H^q_{fppf}(X, \underline{A})\) である。
証明
補題
\(S\) をスキームとし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 このとき、トポスの可換図式 \[\xymatrix{ \Sh((\textit{Spaces}/X)_{fppf}) \ar[rr]_{f_{big, fppf}} \ar[d]_{\epsilon_X} & & \Sh((\textit{Spaces}/Y)_{fppf}) \ar[d]^{\epsilon_Y} \\ \Sh((\textit{Spaces}/X)_\etale) \ar[rr]^{f_{big, \etale}} & & \Sh((\textit{Spaces}/Y)_\etale) }\] および \[\xymatrix{ \Sh((\textit{Spaces}/X)_{fppf}) \ar[rr]_{f_{big, fppf}} \ar[d]_{a_X} & & \Sh((\textit{Spaces}/Y)_{fppf}) \ar[d]^{a_Y} \\ \Sh(X_\etale) \ar[rr]^{f_{small}} & & \Sh(Y_\etale) }\] が存在し、
\(a_X = \pi_X \circ \epsilon_X\) および \(a_Y = \pi_X \circ \epsilon_X\) である。
証明
これは関係する射の定義を書き下せば直ちに従う。 『空間上のトポロジー』節 03Y7 および節 0DG6 を参照されたい。
補題
補題 0DGI において \(f\) が固有ならば、
\(a_Y^{-1} \circ f_{small, *} = f_{big, fppf, *} \circ a_X^{-1}\) であり、
コホモロジー層が捩れ層である \(D^+(X_\etale)\) の \(K\) に対し
\(a_Y^{-1}(Rf_{small, *}K) = Rf_{big, fppf, *}(a_X^{-1}K)\) である。
証明
(1) の証明。補題 0DGD (1) の証明を 繰り返してもよいが、ここではその結果から導く。 \(\epsilon_{Y, *}\) は台となる前層上では恒等関手なので、同型を反映する。 補題 0DGF により \(\epsilon_{Y, *} \circ a_Y^{-1} = \pi_Y^{-1}\) であり、\(X\) についても同様である。 標準写像 \(a_Y^{-1}f_{small, *}\mathcal{F} \to f_{big, fppf, *}a_X^{-1}\mathcal{F}\) が同型であることを示すには、 \[\begin{align*} \pi_Y^{-1}f_{small, *}\mathcal{F} & = \epsilon_{Y, *}a_Y^{-1}f_{small, *}\mathcal{F} \\ & \to \epsilon_{Y, *}f_{big, fppf, *}a_X^{-1}\mathcal{F} \\ & = f_{big, \etale, *} \epsilon_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} \\ & = f_{big, \etale, *}\pi_X^{-1}\mathcal{F} \end{align*}\] が同型であることを示せば十分である。これは補題 0DGD (1) である。
(2) を示すため、次を用いる。 \[\begin{align*} R\epsilon_{Y, *}Rf_{big, fppf, *}a_X^{-1}K & = Rf_{big, \etale, *}R\epsilon_{X, *}a_X^{-1}K \\ & = Rf_{big, \etale, *}\pi_X^{-1}K \\ & = \pi_Y^{-1}Rf_{small, *}K \\ & = R\epsilon_{Y, *} a_Y^{-1}Rf_{small, *}K \end{align*}\]
第一の等号は補題 0DGI の可換図式と 『サイト上のコホモロジー』補題 0D6E による。 次の第二の等号は補題 0DGG である。 第三は補題 0DGD (2) であり、 第四は再び補題 0DGG である。 したがって基底変換写像 \(a_Y^{-1}(Rf_{small, *}K) \to Rf_{big, fppf, *}(a_X^{-1}K)\) は同型 \[R\epsilon_{Y, *}a_Y^{-1}Rf_{small, *}K \to R\epsilon_{Y, *}Rf_{big, fppf, *}a_X^{-1}K\] を誘導する。次の注意により証明が完了する：\(L\) が \(D^+(Y_\etale)\) に属し、 \(M\) が \(D^+((\textit{Spaces}/Y)_{fppf})\) に属する写像 \(\alpha : a_Y^{-1}L \to M\) について、\(R\epsilon_{Y, *}\alpha\) が同型ならば この写像も同型である。実際、\(H^i(\alpha)\) が同型であることを \(i\) について帰納的に示す。十分小さいすべての \(i\) についてこれは成り立つ。 \(i \leq i_0\) について成り立つとする。この範囲では \(H^i(M) = a_Y^{-1}H^i(L)\) なので、補題 0DGF により、\(j > 0\) および \(i \leq i_0\) に対し \(R^j\epsilon_{Y, *}H^i(M) = 0\) である。ゆえにスペクトル系列の議論により \(\epsilon_{Y, *}H^{i_0 + 1}(M) = H^{i_0 + 1}(R\epsilon_{Y, *}M)\) である。 したがって \(\epsilon_{Y, *}H^{i_0 + 1}(M) = \pi_Y^{-1}H^{i_0 + 1}(L) = \epsilon_{Y, *}a_Y^{-1}H^{i_0 + 1}(L)\) である。 これは望むとおり \(H^{i_0 + 1}(\alpha)\) が同型であることを意味する （\(\epsilon_{Y, *}\) は台となる前層上で恒等なので同型を反映する）。
補題
補題 0DGI において \(f\) が有限ならば、 \(D^+(X_\etale)\) の \(K\) に対し \(a_Y^{-1}(Rf_{small, *}K) = Rf_{big, fppf, *}(a_X^{-1}K)\) である。
証明
\(V\) がスキームであるような全射エタール射 \(V \to Y\) をとる。 基底変換写像が同型であることは、\(V\) に制限した後で証明すれば十分である。 よって \(Y\) がスキームであると仮定してよい。射は有限、したがって表現可能なので、 \(X\) と \(Y\) がともにスキームであると仮定してよい。この場合、結果は スキームの場合（『エタール・コホモロジー』補題 0DDS (2)）から、 節 0DFU、特に補題 0DFV で論じたトポスの比較を用いて従う。 いくつかの詳細は省略する。
補題
補題 0DGI において、\(f\) が平坦、局所有限表示、 かつ全射であると仮定する。このとき関手 \[\Sh(Y_\etale) \longrightarrow \left\{ (\mathcal{G}, \mathcal{H}, \alpha) \middle| \begin{matrix} \mathcal{G} \in \Sh(X_\etale),\ \mathcal{H} \in \Sh((\Sch/Y)_{fppf}), \\ \alpha : a_X^{-1}\mathcal{G} \to f_{big, fppf}^{-1}\mathcal{H} \text{ は同型} \end{matrix} \right\}\] は、\(\mathcal{F}\) を \((f_{small}^{-1}\mathcal{F}, a_Y^{-1}\mathcal{F}, can)\) に送る同値である。
証明
関手 \(a_X^{-1}\) は完全忠実である（補題 0DGF により \(a_{X, *}a_X^{-1} = \text{id}\) である）。したがって忘却関手
\((\mathcal{G}, \mathcal{H}, \alpha) \mapsto \mathcal{H}\) は三つ組の圏を \(\Sh((\Sch/Y)_{fppf})\) の充満部分圏と同一視する。 さらに、関手 \(a_Y^{-1}\) は完全忠実なので、補題の関手も完全忠実である。エタール被覆 \(\{Y_i \to Y\}\) が与えられたとする。 \(f_i : X_i \to Y_i\) を \(f\) の基底変換とし、 \(f_{ij} = f_i \times f_j : X_i \times_X X_j \to Y_i \times_Y Y_j\) と記す。 主張：すべての \(i, j\) について補題が \(f_i\) と \(f_{ij}\) に対して真ならば、 \(f\) に対しても真である。これを見るため、与えられたエタール被覆が四つのサイト \(Y_\etale, X_\etale, (\Sch/Y)_{fppf}, (\Sch/X)_{fppf}\) のそれぞれにおける終対象のエタール被覆を定めることに注意する。 したがって、四つの場合のそれぞれで層の圏はこの被覆に関する貼り合わせデータの圏と 同値である（『サイト』補題 04TS）。 ここで圏の巨大な可換図式が主張の証明を完了する。詳細は省略する。 この主張により \(Y\) 上でエタール局所的に作業できる。特に、 \(Y\) がスキームであると仮定してよい。
\(Y\) がスキームであると仮定する。スキーム \(X'\) と全射エタール射 \(s : X' \to X\) を選ぶ。\(f' = f \circ s : X' \to Y\) とおくと、 \(f'\) は全射、局所有限表示、かつ平坦である。 主張：補題が \(f'\) に対して真ならば、\(f\) に対しても真である。 実際、\(f\) に対する三つ組 \((\mathcal{G}, \mathcal{H}, \alpha)\) が与えられたとき、 \(s\) によって逆像をとると、\(f'\) に対する三つ組 \((s_{small}^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{H}, s_{big, fppf}^{-1}\alpha)\) を得る。 この三つ組に対する解は、\(a_Y^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{H}\) を満たす \(Y_\etale\) 上の層 \(\mathcal{F}\) を与える。証明の最初の段落により、これは 三つ組が本質像に属することを意味する。これで \(X\) と \(Y\) がともに スキームである場合に帰着される。この場合は『エタール・コホモロジー』補題 0DEU から、 節 0DFU、特に補題 0DFV の議論を介して従う。
fppf トポロジーとエタール・トポロジーの比較：加群
節 0DGE の議論を続けるが、本節では加群の層について 何が起こるかを簡潔に論じる。
\(S\) をスキーム、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。節 0DGE で導入したサイトの射 \(\epsilon_X\)、\(\pi_X\)、 およびそれらの合成 \(a_X\) は、環付きサイトの射へ自然に拡張される。 第一の射を \[\epsilon_X : ((\textit{Spaces}/X)_{fppf}, \mathcal{O}) \longrightarrow ((\textit{Spaces}/X)_\etale, \mathcal{O})\] と書く。実際、これらの層は同じ台となる前層をもつので、構造層に同じ記号を 用いてよいことに注意する。第二の射は \[\pi_X : ((\textit{Spaces}/X)_\etale, \mathcal{O}) \longrightarrow (X_\etale, \mathcal{O}_X)\] である。第三の射は \[a_X : ((\textit{Spaces}/X)_{fppf}, \mathcal{O}) \longrightarrow (X_\etale, \mathcal{O}_X)\] である。これらのサイト上の準連接加群について既知の事実を復習する。
補題
\(S\) をスキーム、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とし、\(\mathcal{F}\) を 準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。
規則 \[\mathcal{F}^a : (\textit{Spaces}/X)_\etale \longrightarrow \textit{Ab},\quad (f : Y \to X) \longmapsto \Gamma(Y, f^*\mathcal{F})\] は fpqc 被覆、したがって fppf 被覆およびエタール被覆に対する層条件を満たす。
\((\textit{Spaces}/X)_\etale\) 上で \(\mathcal{F}^a = \pi_X^*\mathcal{F}\) である。
\((\textit{Spaces}/X)_{fppf}\) 上で \(\mathcal{F}^a = a_X^*\mathcal{F}\) である。
規則 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^a\) は、準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群と \(((\textit{Spaces}/X)_\etale, \mathcal{O})\) 上の準連接加群との間の同値を定める。
規則 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^a\) は、準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群と \(((\textit{Spaces}/X)_{fppf}, \mathcal{O})\) 上の準連接加群との間の同値を定める。
\(\epsilon_{X, *}a_X^*\mathcal{F} = \pi_X^*\mathcal{F}\) および \(a_{X, *}a_X^*\mathcal{F} = \mathcal{F}\) である。
\(i > 0\) に対し \(R^i\epsilon_{X, *}(a_X^*\mathcal{F}) = 0\) および \(R^ia_{X, *}(a_X^*\mathcal{F}) = 0\) である。
証明
(1) は準連接加群の fppf 降下の帰結である。実際、 \(\{f_i : U_i \to U\}\) が \((\textit{Spaces}/X)_\etale\) における fpqc 被覆であるとする。構造射を \(g : U \to X\) と記す。 \(s_i|_{U_i \times_U U_j} = s_j|_{U_i \times_U U_j}\) を満たす切断の族 \(s_i \in \Gamma(U_i , f_i^*g^*\mathcal{F})\) があるとする。
対応する切断 \(s \in \Gamma(U, g^*\mathcal{F})\) を見つけなければならない。 \(s_i\) を写像の族 \(\varphi_i : f_i^*\mathcal{O}_U = \mathcal{O}_{U_i} \to f_i^*g^*\mathcal{F}\) と解釈し直すことができ、これは \(U\) 上の準連接層 \(\mathcal{O}_U\) と \(g^*\mathcal{F}\) に付随する標準降下データと両立する。 したがって、『空間上の降下』命題 04W8 により、 これらを写像 \(\mathcal{O}_U \to g^*\mathcal{F}\) に（一意に）降下でき、 それが求める切断 \(s\) を与える。
(2)–(7) はスキームに対する対応する主張から導く。 各 \(X_i\) がスキームであるようなエタール被覆 \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\) を選ぶ。\(X_i \times_X X_j\) もスキームである。 この被覆は三つのサイト \((\textit{Spaces}/X)_{fppf}\)、\((\textit{Spaces}/X)_\etale\)、および \(X_\etale\) のそれぞれで終対象の被覆を誘導する。したがって、これらのサイト上の層の圏は これらの被覆に関する降下データと同値である。『サイト』補題 04TS を参照されたい。 (2), (3) は局所的である（貼り合わせの主張があるため）。 準連接性は局所的性質なので、(4), (5) も局所的である。 明らかに (6), (7) も局所的である。したがって、\(X\) がスキームである場合に 補題の (2)–(7) を証明すれば十分である。
\(X\) がスキームであると仮定する。埋め込み \((\Sch/X)_\etale \subset (\textit{Spaces}/X)_\etale\) および \((\Sch/X)_{fppf} \subset (\textit{Spaces}/X)_{fppf}\) は、補題 0DFV により環付きトポスの同値を定める。 (2)–(7) はスキームの場合、すなわち『エタール・コホモロジー』補題 0DEW から従う。 この同値を介して準連接性を移すには、準連接性が加群の内在的性質であることを用いる。 『サイト上の加群』節 03DK を参照されたい。 若干の詳細は省略する。
補題
\(S\) をスキーム、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) に対し、写像 \[\pi_X^*\mathcal{F} \longrightarrow R\epsilon_{X, *}(a_X^*\mathcal{F}) \quad\text{および}\quad \mathcal{F} \longrightarrow Ra_{X, *}(a_X^*\mathcal{F})\] は同型である。
証明
これは補題 0DGN (6), (7) の直ちに従う帰結である。
補題
\(S\) をスキーム、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(\mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群の複体とする。\((\textit{Spaces}/X)_\etale\) 上で \[\mathcal{H}_\etale = \Ker(\pi_X^*\mathcal{F}_2 \to \pi_X^*\mathcal{F}_3)/ \Im(\pi_X^*\mathcal{F}_1 \to \pi_X^*\mathcal{F}_2)\] とおき、\((\textit{Spaces}/X)_{fppf}\) 上で \[\mathcal{H}_{fppf} = \Ker(a_X^*\mathcal{F}_2 \to a_X^*\mathcal{F}_3)/ \Im(a_X^*\mathcal{F}_1 \to a_X^*\mathcal{F}_2)\] とおく。このとき \(\mathcal{H}_\etale = \epsilon_{X, *}\mathcal{H}_{fppf}\) であり、 \((\textit{Spaces}/X)_\etale\) の任意のアフィン対象 \(U\) と \(p > 0\) に対し \[H^p_\etale(U, \mathcal{H}_\etale) = H^p_{fppf}(U, \mathcal{H}_{fppf}) = 0\] である。
より強いことが成り立つ。すなわち、\((\textit{Spaces}/X)_{fppf}\) 上の加群で、 fppf 局所的に補題の加群のように見えるものを
adequate 加群と呼ぶ。これらはすべての \(\mathcal{O}\)-加群の圏の弱 Serre 部分圏をなし、 そのコホモロジーは『Adequate 加群』節 06VF で研究される。
証明
\((\textit{Spaces}/X)_\etale\) の任意の対象 \(f : U \to X\) に対し、 節 0DG6 で論じた関手 \(i_f^* = i_f^{-1}\) を介する \(\mathcal{H}_\etale\) の \(U_\etale\) への制限 \(\mathcal{H}_\etale|_{U_\etale}\) を考える。層 \(\mathcal{H}_\etale|_{U_\etale}\) は複体 \(f^*\mathcal{F}_\bullet\) の次数 \(1\) の ホモロジーに等しい。これは環付きサイト \(U_\etale \to X_\etale\) の射として \(i_f \circ \pi_X = f\) であるためである。特に \(\mathcal{H}_\etale|_{U_\etale}\) は準連接 \(\mathcal{O}_U\)-加群である。 次に、\(g : V \to U\) を \((\textit{Spaces}/X)_\etale\) における平坦射とする。 サイトの射 \(V_\etale \to X_\etale\) として \[i_{f \circ g}^* \circ \pi_X^* = (f \circ g)^* = g^* \circ f^*\] であり、\(g\) は平坦、したがって \(g^*\) は完全なので、 \[\mathcal{H}_\etale|_{V_\etale} = g^*\left(\mathcal{H}_\etale|_{U_\etale}\right)\] を得る。 以上の準備により補題を証明できる。
\(f : U \to X\) を上記のものとし、 \(\mathcal{U} = \{g_i : U_i \to U\}_{i \in I}\) を fppf 被覆とする。 補題 0DGN (1) を \(\mathcal{H}_\etale|_{U_\etale}\) と上記の事実に適用すると、 \(\mathcal{H}_\etale\) と被覆 \(\mathcal{U}\) に対して層条件が成り立つ。 したがって \(\mathcal{H}_\etale\) は既に fppf 層であり、これは前層として \(\mathcal{H}_{fppf}\) が \(\mathcal{H}_\etale\) に等しいことを意味する。 特に \(\mathcal{H}_\etale = \epsilon_{X, *}\mathcal{H}_{fppf}\) である。
最後に消滅を証明するため、『サイト上のコホモロジー』補題 03F9 を用いる。 \(\mathcal{B}\) を \((\textit{Spaces}/X)_{fppf}\) のアフィン対象全体とし、 \(\text{Cov}\) を、\(U\) と \(U_i\) がアフィンである有限 fppf 被覆 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i = 1, \ldots, n}\) 全体とする。このとき \[{\check H}^p(\mathcal{U}, \mathcal{H}_\etale) = {\check H}^p(\mathcal{U}, \left(\mathcal{H}_\etale|_{U_\etale}\right)^a)\] である。実際、\(U\) 上平坦なアフィン・スキーム \(U_{i_0} \times_U \ldots \times_U U_{i_p}\) 上での \(\mathcal{H}_\etale\) の値は、最初の段落により、準連接加群 \(\mathcal{H}_\etale|_{U_\etale}\) の逆像の値と一致する。 したがって、『降下』補題 03FJ により消滅を得る。 これで証明が完了する。
補題
\(S\) をスキーム、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 \(K \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に対し、写像 \[L\pi_X^*K \longrightarrow R\epsilon_{X, *}(La_X^*K) \quad\text{および}\quad K \longrightarrow Ra_{X, *}(La_X^*K)\] は同型である。ここで \(a_X : \Sh((\textit{Spaces}/X)_{fppf}) \to \Sh(X_\etale)\) は上記の射である。
証明
問題は \(X\) 上エタール局所的なので、\(X\) はアフィンであると仮定してよい。 \(X = \Spec(A)\) とする。このとき『空間の導来圏』補題 071Q および 『スキームの導来圏』補題 06Z0 により \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X) = D(A)\) である。したがって、\(K\) を表す準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群の対応する複体 \(\mathcal{K}^\bullet\) をもつ \(A\)-加群の K-平坦複体
\(K^\bullet\) を選べる。\(\mathcal{K}^\bullet\) は \(\mathcal{O}_X\)-加群の K-平坦複体であると主張する。
主張の証明。『スキームの導来圏』補題 08DV により、\(\widetilde{K}^\bullet\) はスキーム \((\Spec(A), \mathcal{O}_{\Spec(A)})\) 上 K-平坦である。 次に、\(\epsilon\) を『空間の導来圏』補題 071Q のものとすると \(\mathcal{K}^\bullet = \epsilon^*\widetilde{K}^\bullet\) である。 したがって、『サイト上のコホモロジー』補題 0DEP と、スキームのエタール・サイトが 十分多くの点をもつこと（『エタール・コホモロジー』注意 040S）により、 \(\mathcal{K}^\bullet\) は K-平坦である。
この主張により \(La_X^*K = a_X^*\mathcal{K}^\bullet\) および \(L\pi_X^*K = \pi_X^*\mathcal{K}^\bullet\) である。 証明の第一部は、準連接加群の逆像 \(a_X^*\mathcal{K}^n\) が \(\epsilon_{X, *}\)、それぞれ \(a_{X, *}\) に対して非輪状であることを示している。 ならば Leray の非輪状性補題で証明は終わるはずではないか。 実はそうではない。Leray の非輪状性補題は下に有界な複体にしか適用できないからである。 しかし次の段落では、我々の複体が準連接加群の下に有界な複体の導来極限なので、 結果が下に有界な場合から従うことを示す。
\(\pi_X^*\mathcal{K}^\bullet\) と \(a_X^*\mathcal{K}^\bullet\) のコホモロジー層は、 補題 0DGQ により \((\textit{Spaces}/X)_\etale\) のアフィン対象上で高次コホモロジー群が消滅する。 したがって、『サイト上のコホモロジー』補題 0D6P により \[L\pi_X^*K = R\lim \tau_{\geq -n}(L\pi_X^*K) \quad\text{および}\quad La_X^*K = R\lim \tau_{\geq -n}(La_X^*K)\] である。
\(L\pi_X^*K = R\epsilon_{X, *}(La_X^*\mathcal{F})\) の証明。 上記により \[R\epsilon_{X, *}La_X^*K = R\lim R\epsilon_{X, *}(\tau_{\geq -n}(La_X^*K))\] である。『サイト上のコホモロジー』補題 0A07 を参照されたい。 \(\tau_{\geq -n}(La_X^*K)\) は \(\tau_{\geq -n}(a_X^*\mathcal{K}^\bullet)\) で表されるが、これは \(a_X^*(\tau_{\geq -n}\mathcal{K}^\bullet)\) と同じとは限らない。 しかし、系 \[\{\tau_{\geq -n}(a_X^*\mathcal{K}^\bullet)\}_{n \geq 1} \quad\text{および}\quad \{a_X^*(\tau_{\geq -n}\mathcal{K}^\bullet)\}_{n \geq 1}\] は pro-系として同型であることは明らかである。 Leray の非輪状性補題 （『導来圏』補題 015E）と補題の第一部により \[R\epsilon_{X, *}(a_X^*(\tau_{\geq -n}\mathcal{K}^\bullet)) = \pi_X^*(\tau_{\geq -n}\mathcal{K}^\bullet)\] である。次に、系 \[\{\tau_{\geq -n}(\pi_X^*\mathcal{K}^\bullet)\}_{n \geq 1} \quad\text{および}\quad \{\pi_X^*(\tau_{\geq -n}\mathcal{K}^\bullet)\}_{n \geq 1}\] が pro-系として同型であることを用いる。最後に、すべてを次のようにまとめる。 \[\begin{align*} R\epsilon_{X, *}La_X^*K & = R\epsilon_{X, *} (R\lim \tau_{\geq -n}(La_X^*K)) \\ & = R\lim R\epsilon_{X, *}(\tau_{\geq -n}(La_X^*K)) \\ & = R\lim R\epsilon_{X, *}(\tau_{\geq -n}(a_X^*\mathcal{K}^\bullet)) \\ & = R\lim R\epsilon_{X, *}(a_X^*(\tau_{\geq -n}\mathcal{K}^\bullet)) \\ & = R\lim \pi_X^*(\tau_{\geq -n}\mathcal{K}^\bullet) \\ & = R\lim \tau_{\geq -n}(\pi_X^*\mathcal{K}^\bullet) \\ & = R\lim \tau_{\geq -n}(L\pi_X^*K) \\ & = L\pi_X^*K \end{align*}\] ここで第四および第六の等号では、同型な pro-系は同じ \(R\lim\) をもつことを用いた （細部は省略する）。補題 0DGQ で証明された複体 \(\tau_{\geq -n}a_X^*\mathcal{K}^\bullet\) の項のコホモロジーについて より多くを用いれば、この段階を避けられる。実際、そこから直接 \(R\epsilon_{X, *}(\tau_{\geq -n}(a_X^*\mathcal{K}^\bullet)) = \tau_{\geq -n}(\pi_X^*\mathcal{K}^\bullet)\) が従う。
等式 \(K = Ra_{X, *}(La_X^*\mathcal{F})\) も全く同じ方法で証明される。 最後の段階で『空間の導来圏』補題 08F6 による \(K = R\lim \tau_{\geq -n}K\) を用いる。
ph トポロジーとエタール・トポロジーの比較
本節は『エタール・コホモロジー』節 0DDV の類似である。
\(S\) をスキーム、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 圏 \(\textit{Spaces}/X\) 上で ph トポロジーとエタール・トポロジーを考える。 『空間上のトポロジー』補題 0DFH により、 すべてのエタール被覆は ph 被覆なので、恒等関手 \((\textit{Spaces}/X)_\etale \to (\textit{Spaces}/X)_{ph}\) は連続である。 したがって、『サイト』命題 00X6 を適用すると、 サイトの射 \[\epsilon_X : (\textit{Spaces}/X)_{ph} \longrightarrow (\textit{Spaces}/X)_\etale\] を定める。\(\epsilon_{X, *}\) は台となる前層上では恒等関手であり、 \(\epsilon_X^{-1}\) はエタール層にその ph 層化を対応させることに注意する。 大エタール・サイトと小エタール・サイトを比較するサイトの射 \[\pi_X : (\textit{Spaces}/X)_\etale \longrightarrow X_{spaces, \etale}\] を考える。節 0DG6 を参照されたい。その合成はサイトの射 \[a_X = \pi_X \circ \epsilon_X : (\textit{Spaces}/X)_{ph} \longrightarrow X_{spaces, \etale}\] を定める。\(\mathcal{H}\) が \((\textit{Spaces}/X)_{ph}\) 上のアーベル層ならば、 \((\textit{Spaces}/X)_{ph}\) の対象 \(U\) 上の \(\mathcal{H}\) のコホモロジーを \(H^n_{ph}(U, \mathcal{H})\) と書く。
補題
\(S\) をスキーム、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。
\(\mathcal{F} \in \Sh(X_\etale)\) に対し \(\epsilon_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = \pi_X^{-1}\mathcal{F}\) かつ \(a_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{F}\) である。
捩れ層 \(\mathcal{F} \in \textit{Ab}(X_\etale)\) に対し、\(i > 0\) ならば \(R^i\epsilon_{X, *}(a_X^{-1}\mathcal{F}) = 0\) である。
証明
\(a_X^{-1}\mathcal{F} = \epsilon_X^{-1} \pi_X^{-1}\mathcal{F}\) である。 補題 0DG7 により、エタール層 \(\pi_X^{-1}\mathcal{F}\) は ph トポロジーに対する層である。 したがって、これは \(a_X^{-1}\mathcal{F}\) に等しい （\(\epsilon_X\) による逆像は ph 層化で与えられる）。さらに、 \(\epsilon_{X, *}\) は台となる前層上では恒等であることを想起する。 これで (1) は補題 0DG7 における \(\pi_X^{-1}\) の明示的記述から直ちに従う。
(2) はスキームの場合、すなわち『エタール・コホモロジー』補題 0DE4 (1) に帰着して証明する。 すべての代数空間はエタール局所的にスキームなので、これは「明らかにうまくいく」。 以下に詳細を記すが、読者には証明を飛ばすことを勧める。
\((\textit{Spaces}/X)_{ph}\) 上のアーベル層 \(\mathcal{H}\) に対し、
高次順像 \(R^p\epsilon_{X, *}\mathcal{H}\) は \((\textit{Spaces}/X)_\etale\) 上の前層
\(U \mapsto H^p_{ph}(U, \mathcal{H})\) に付随する層である。 『サイト上のコホモロジー』補題 072W を参照されたい。 \((\textit{Spaces}/X)_\etale\) のすべての対象はスキームによる被覆をもつので、 \(U/X\) がスキームであり \(\xi \in H^p_{ph}(U, a_X^{-1}\mathcal{F})\) が与えられたとき、 \(\xi\) の \(U_i\) への制限が零になるようなエタール被覆 \(\{U_i \to U\}\) を見つけられることを示せば十分である。ここで \[\begin{align*} H^p_{ph}(U, a_X^{-1}\mathcal{F}) & = H^p((\textit{Spaces}/U)_{ph}, (a_X^{-1}\mathcal{F})|_{\textit{Spaces}/U}) \\ & = H^p((\Sch/U)_{ph}, (a_X^{-1}\mathcal{F})|_{\Sch/U}) \end{align*}\] である。第二の同一視は補題 0DFV によるもので、第一は制限に関する一般論 （『サイト上のコホモロジー』補題 03F3）である。 最初の段落と、スキームの場合の対応する結果 （『エタール・コホモロジー』補題 0DDW）を見ると、層 \((a_X^{-1}\mathcal{F})|_{\Sch/U}\) は「\(a_U\) のスキーム版」による逆像と一致する。 したがって、各 \(i\) について我々の類が \(H^p((\Sch/U_i)_{ph}, (a_X^{-1}\mathcal{F})|_{\Sch/U_i})\) で消えるようなエタール被覆 \(\{U_i \to U\}\) を見つけられる。 『エタール・コホモロジー』補題 0DE4 を参照されたい （ここで用いるべき正確な主張は、すべての \(n\) について \(V_n\) が成り立つことであり、 これはスキームの場合の (2) の主張である）。同じ公式を今度は \(U_i\) に用いて 戻すと、望むとおり \(\xi\) の \(U_i\) 上への制限は零である。
スキームの場合に行われた難しい仕事から、小エタール・サイトに由来する アーベル捩れ層については、エタール・コホモロジーと ph コホモロジーが一致する。
補題
\(S\) をスキーム、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。 コホモロジー層が捩れ層である \(K \in D^+(X_\etale)\) に対し、写像 \[\pi_X^{-1}K \longrightarrow R\epsilon_{X, *}a_X^{-1}K \quad\text{および}\quad K \longrightarrow Ra_{X, *}a_X^{-1}K\] は同型である。ここで \(a_X : \Sh((\textit{Spaces}/X)_{ph}) \to \Sh(X_\etale)\) は上記の射である。
証明
第二の主張だけを証明する。第一の主張はより容易で、全く同じ方法で証明される。 \(K\) が単一のアーベル捩れ層で与えられる場合に帰着できる。 実際、\(K\) をアーベル捩れ層の下に有界な複体 \(\mathcal{F}^\bullet\) で表す。 これは『サイト上のコホモロジー』補題 0DD7 により可能である。 層の場合から、\(\mathcal{F}^n = a_{X, *} a_X^{-1} \mathcal{F}^n\) であり、 \(q > 0\) に対して層 \(R^qa_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F}^n\) は零である。 Leray の非輪状性補題 （『導来圏』補題 015E）を \(a_X^{-1}\mathcal{F}^\bullet\) と関手 \(a_{X, *}\) に適用して結論を得る。 以下では \(K = \mathcal{F}\) とし、\(\mathcal{F}\) はアーベル捩れ層であると仮定する。
補題 0DGT により \(a_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = \mathcal{F}\) である。 したがって、\(q > 0\) に対し \(R^qa_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = 0\) であることを示せば十分である。 このために
\(a_X = \epsilon_X \circ \pi_X\) と Leray スペクトル系列 （『サイト上のコホモロジー』補題 0734）を用いることができる。 補題 0DGT により、\(i > 0\) に対し \(R^i\epsilon_{X, *}(a_X^{-1}\mathcal{F}) = 0\) である。 \(\epsilon_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} = \pi_X^{-1}\mathcal{F}\) であり、 補題 0DGC により、\(j > 0\) に対し \(R^j\pi_{X, *}(\pi_X^{-1}\mathcal{F}) = 0\) である。これで証明が完了する。
補題
\(S\) をスキーム、\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする。上記の \(a_X : \Sh((\textit{Spaces}/X)_{ph}) \to \Sh(X_\etale)\) に対し、
\(X_\etale\) 上のアーベル捩れ層 \(\mathcal{F}\) について
\(H^q(X_\etale, \mathcal{F}) = H^q_{ph}(X, a_X^{-1}\mathcal{F})\) であり、コホモロジー層が捩れ層である \(K \in D^+(X_\etale)\) について
\(H^q(X_\etale, K) = H^q_{ph}(X, a_X^{-1}K)\) である。例：\(A\) がアーベル捩れ群ならば \(H^q_\etale(X, \underline{A}) = H^q_{ph}(X, \underline{A})\) である。
証明
補題
\(S\) をスキームとし、\(f : X \to Y\) を \(S\) 上の代数空間の射とする。 このとき、トポスの可換図式 \[\xymatrix{ \Sh((\textit{Spaces}/X)_{ph}) \ar[rr]_{f_{big, ph}} \ar[d]_{\epsilon_X} & & \Sh((\textit{Spaces}/Y)_{ph}) \ar[d]^{\epsilon_Y} \\ \Sh((\textit{Spaces}/X)_\etale) \ar[rr]^{f_{big, \etale}} & & \Sh((\textit{Spaces}/Y)_\etale) }\] および \[\xymatrix{ \Sh((\textit{Spaces}/X)_{ph}) \ar[rr]_{f_{big, ph}} \ar[d]_{a_X} & & \Sh((\textit{Spaces}/Y)_{ph}) \ar[d]^{a_Y} \\ \Sh(X_\etale) \ar[rr]^{f_{small}} & & \Sh(Y_\etale) }\] が存在し、
\(a_X = \pi_X \circ \epsilon_X\) および \(a_Y = \pi_X \circ \epsilon_X\) である。
証明
これは関係する射の定義を書き下せば直ちに従う。 『空間上のトポロジー』節 0DFF および節 0DG6 を参照されたい。
補題
補題 0DGW において \(f\) が固有ならば、
\(a_Y^{-1} \circ f_{small, *} = f_{big, ph, *} \circ a_X^{-1}\) であり、
コホモロジー層が捩れ層である \(D^+(X_\etale)\) の \(K\) に対し
\(a_Y^{-1}(Rf_{small, *}K) = Rf_{big, ph, *}(a_X^{-1}K)\) である。
証明
(1) の証明。補題 0DGD (1) の証明を 繰り返してもよいが、ここではその結果から導く。 \(\epsilon_{Y, *}\) は台となる前層上では恒等関手なので、同型を反映する。 補題 0DGT により \(\epsilon_{Y, *} \circ a_Y^{-1} = \pi_Y^{-1}\) であり、\(X\) についても同様である。 標準写像 \(a_Y^{-1}f_{small, *}\mathcal{F} \to f_{big, ph, *}a_X^{-1}\mathcal{F}\) が同型であることを示すには、 \[\begin{align*} \pi_Y^{-1}f_{small, *}\mathcal{F} & = \epsilon_{Y, *}a_Y^{-1}f_{small, *}\mathcal{F} \\ & \to \epsilon_{Y, *}f_{big, ph, *}a_X^{-1}\mathcal{F} \\ & = f_{big, \etale, *} \epsilon_{X, *}a_X^{-1}\mathcal{F} \\ & = f_{big, \etale, *}\pi_X^{-1}\mathcal{F} \end{align*}\] が同型であることを示せば十分である。これは補題 0DGD (1) である。
(2) を示すため、次を用いる。 \[\begin{align*} R\epsilon_{Y, *}Rf_{big, ph, *}a_X^{-1}K & = Rf_{big, \etale, *}R\epsilon_{X, *}a_X^{-1}K \\ & = Rf_{big, \etale, *}\pi_X^{-1}K \\ & = \pi_Y^{-1}Rf_{small, *}K \\ & = R\epsilon_{Y, *} a_Y^{-1}Rf_{small, *}K \end{align*}\]
第一の等号は補題 0DGW の可換図式と 『サイト上のコホモロジー』補題 0D6E による。 次の第二の等号は補題 0DGU である。 第三は補題 0DGD (2) であり、 第四は再び補題 0DGU である。 したがって基底変換写像 \(a_Y^{-1}(Rf_{small, *}K) \to Rf_{big, ph, *}(a_X^{-1}K)\) は同型 \[R\epsilon_{Y, *}a_Y^{-1}Rf_{small, *}K \to R\epsilon_{Y, *}Rf_{big, ph, *}a_X^{-1}K\] を誘導する。次の注意により証明が完了する：コホモロジー層が捩れ層である \(D^+(Y_\etale)\) の \(L\) と、\(D^+((\textit{Spaces}/Y)_{ph})\) の \(M\) をもち、 \(\alpha : a_Y^{-1}L \to M\) である写像を考える。 \(R\epsilon_{Y, *}\alpha\) が同型ならば、\(\alpha\) は同型である。 実際、\(H^i(\alpha)\) が同型であることを \(i\) について帰納的に示す。 十分小さいすべての \(i\) についてこれは成り立つ。 \(i \leq i_0\) について成り立つとする。この範囲では \(H^i(M) = a_Y^{-1}H^i(L)\) なので、補題 0DGT により、\(j > 0\) および \(i \leq i_0\) に対し \(R^j\epsilon_{Y, *}H^i(M) = 0\) である。ゆえにスペクトル系列の議論により \(\epsilon_{Y, *}H^{i_0 + 1}(M) = H^{i_0 + 1}(R\epsilon_{Y, *}M)\) である。 したがって \(\epsilon_{Y, *}H^{i_0 + 1}(M) = \pi_Y^{-1}H^{i_0 + 1}(L) = \epsilon_{Y, *}a_Y^{-1}H^{i_0 + 1}(L)\) である。 これは望むとおり \(H^{i_0 + 1}(\alpha)\) が同型であることを意味する （\(\epsilon_{Y, *}\) は台となる前層上で恒等なので同型を反映する）。