Kegiatan 20.2.
Misalkan \((X, \tau_X)\) dan \((Y, \tau_Y)\) merupakan ruang topologi, dan misalkan \(\CB\) didefinisikan seperti dalam (20.1). Buktikan bahwa \(\CB\) merupakan basis bagi suatu topologi pada \(X \times Y\text{.}\)
Bagian Topologi pada Hasil Kali Ruang Topologi
Dalam kegiatan pratinjau, kita mengetahui bahwa kita tidak dapat membentuk topologi pada hasil kali \(X \times Y\) dari ruang-ruang topologi \((X, \tau_X)\) dan \((Y , \tau_Y)\) hanya dengan mengambil himpunan-himpunan berbentuk \(U \times V\text{,}\) dengan \(U \in \tau_X\) dan \(V \in \tau_Y\text{,}\) sebagai himpunan buka, sebab koleksi himpunan tersebut tidak tertutup terhadap gabungan sebarang. Sebagai gantinya, kita dapat mempertimbangkan semua gabungan himpunan berbentuk \(U \times V\text{,}\) dengan \(U\) buka dalam \(X\) dan \(V\) buka dalam \(Y\text{.}\) Dengan kata lain, anggaplah himpunan-himpunan tersebut sebagai basis bagi topologi pada \(X \times Y\text{.}\)
Argumen dari Kegiatan 20.2 dapat diperluas ke hasil kali sejumlah berhingga ruang topologi. Misalkan \(n\) bilangan bulat positif dan \((X_i, \tau_i)\) ruang topologi untuk \(i\) dari \(1\) sampai \(n\text{.}\) Misalkan
\begin{equation*}
\CB = \left\{ \Pi_{i=1}^n O_i \mid O_i \text{ buka dalam } X_i\right\}\text{.}
\end{equation*}
Karena \(X_i \in \tau_i\) untuk setiap \(i\text{,}\) setiap titik dalam \(\Pi_{i=1}^n X_i\) termuat dalam suatu himpunan di \(\CB\text{.}\) Jadi, \(\CB\) memenuhi syarat pertama bagi suatu basis. Sekarang kita tunjukkan bahwa \(\CB\) memenuhi syarat kedua bagi suatu basis. Misalkan \(B_1 = \Pi_{i=1}^n U_i\) dan \(B_2 = \Pi_{i=1}^n V_i\) untuk suatu himpunan buka \(U_i\) dan \(V_i\) dalam \(X_i\text{.}\) Misalkan \((x_i) \in (B_1 \cap B_2)\text{.}\) Maka, untuk setiap \(j\text{,}\) kita memiliki \(x_j \in U_j \cap V_j\text{,}\) sehingga
\begin{equation*}
(x_i) \in \Pi_{i=1}^n (U_i \cap V_i)\text{.}
\end{equation*}
Karena \(U_i \cap V_i\) merupakan himpunan buka dalam \(X_i\text{,}\) diperoleh bahwa \(\Pi_{i=1}^n (U_i \cap V_i)\) berada dalam \(\CB\text{.}\) Jadi, \(\CB\) merupakan basis bagi suatu topologi pada \(X \times Y\text{.}\)
Topologi yang dibangkitkan oleh hasil kali himpunan-himpunan buka ini disebut topologi kotak atau topologi hasil kali.
Definisi 20.1.
Misalkan \((X_{\alpha}, \tau_{\alpha})\) merupakan suatu koleksi ruang topologi untuk \(\alpha\) dalam suatu himpunan indeks berhingga \(I\text{.}\) Topologi kotak atau topologi hasil kali pada hasil kali \(\Pi_{\alpha \in I} X_{\alpha}\) adalah topologi dengan basis
\begin{equation*}
\CB = \left\{ \Pi_{\alpha \in I} U_{\alpha} \mid U_{\alpha} \in \tau_{\alpha} \text{ untuk setiap } \alpha \in I \right\}\text{.}
\end{equation*}
Dengan demikian, kita selalu dapat menjadikan hasil kali ruang-ruang topologi sebagai ruang topologi dengan menggunakan topologi kotak.
