Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Edisi Lengkap Bahasa Indonesia — Dua Puluh Bab, Pendamping Belajar Mandiri, dan Pelengkap C90

Dari \(\tau_1\) diperoleh empat prapeta, dan dari \(\tau_2\) tiga prapeta; himpunan kosong dan seluruh ruang muncul pada kedua daftar, sehingga ada lima yang berbeda. Untuk setiap \(O_1\in\tau_1\) dan \(O_2\in\tau_2\text{,}\) \((O_1\times Y_2)\cap(Y_1\times O_2)=O_1\times O_2\text{.}\) Jadi irisan berhingga subbasis menghasilkan basis produk, dan semua gabungannya menghasilkan topologi hasil kali. Rubrik: daftar harus bebas duplikasi dan pembangkitan harus dibuktikan melalui irisan.

Keanggotaan suatu titik \((x_i)\) pada ruas kiri berarti \(x_i\in O_i\) untuk setiap \(i\text{,}\) yang ekuivalen dengan keanggotaannya pada tiap prapeta di ruas kanan. Sebaliknya, irisan sebarang berhingga silinder proyeksi dapat disatukan per koordinat menjadi kotak basis, dengan faktor takdibatasi diganti \(X_i\text{.}\) Maka koleksi silinder adalah subbasis. Rubrik: bukti harus mencakup kedua arah: subbasis menghasilkan basis dan irisan subbasis tetap disempurnakan oleh basis.

Untuk \((x,c)\in X\times Y\text{,}\) pilih interval \((a,b)\ni x\text{;}\) maka \((a,b)\times\{c\}\) memuat titik tersebut. Jika titik berada dalam dua interval horizontal, kedua koordinat keduanya harus sama dengan \(c\text{,}\) dan irisan interval real memuat interval terbuka lebih kecil di sekitar \(x\text{.}\) Kriteria basis terpenuhi. Rubrik: jawaban harus menggunakan sifat diskret dan memeriksa kedua aksioma basis.

Dalam faktor pertama, interior \([0,1)\) adalah \((0,1)\) dan penutupnya \([0,1]\text{.}\) Dalam faktor diskret, singleton \(\{0\}\) sekaligus buka dan tertutup. Mengambil hasil kali memberi kedua rumus. Rubrik: jawaban harus menjelaskan mengapa titik \(0\) bukan interior tetapi tetap berada dalam penutup.

Interior \(\{0\}\) dalam garis Euklides kosong, sedangkan penutupnya tetap \(\{0\}\text{.}\) Dalam faktor diskret, setiap subhimpunan—termasuk \([0,1)\)—buka dan tertutup. Maka interior produk kosong dan produknya tertutup. Rubrik: jangan memakai penutup Euklides pada faktor kedua; topologinya diskret.

Subhimpunan \([0,1)\) pada faktor kedua bersifat buka-tertutup karena topologinya diskret. Pada faktor pertama, interior dan penutup berturut-turut \((0,1)\) dan \([0,1]\text{.}\) Rumus produk memberi hasil. Rubrik: solusi harus menyebut topologi masing-masing faktor.

Jika \((x_1,x_2)\in\overline{A_1}\times\overline{A_2}\text{,}\) setiap \(U_i\ni x_i\) memotong \(A_i\text{;}\) pilih \(a_i\in U_i\cap A_i\text{,}\) maka \((a_1,a_2)\) berada dalam irisan lingkungan produk dengan \(A_1\times A_2\text{.}\) Sebaliknya, jika \(x_1\notin\overline{A_1}\text{,}\) ada lingkungan \(U_1\) yang menghindari \(A_1\text{,}\) sehingga \(U_1\times X_2\) menghindari produk; kasus koordinat kedua sama. Rubrik: kedua inklusi harus dibuktikan.

Ambil \((x_1,x_2)\) pada interior produk. Ada kotak buka basis \(U_1\times U_2\) yang memuat titik dan termuat dalam \(A_1\times A_2\text{.}\) Karena kotak memuat titik, kedua faktor takkosong; memilih satu titik pada faktor lain menunjukkan \(U_1\subseteq A_1\) dan \(U_2\subseteq A_2\text{.}\) Jadi \(x_i\in\operatorname{Int}(A_i)\text{.}\) Sebaliknya, hasil kali kedua interior adalah himpunan buka yang termuat dalam produk, sehingga sebenarnya sama. Rubrik: inklusi yang diminta harus terbukti; penguatan menjadi kesamaan harus dijustifikasi.

\((x,y)\) berada pada ruas kiri jika dan hanya jika ada \(\alpha\in I\) dan \(\beta\in J\) dengan \(x\in U_\alpha\) dan \(y\in V_\beta\text{.}\) Ini ekuivalen dengan \(x\in\bigcup_\alpha U_\alpha\) dan \(y\in\bigcup_\beta V_\beta\text{,}\) yakni keanggotaan pada ruas kanan. Rubrik: kedua kuantor eksistensial harus dipisahkan dengan benar.

\((x,y)\) berada pada irisan ruas kiri tepat ketika ia berada pada kedua hasil kali, yaitu \(x\in S_1\cap S_2\) dan \(y\in T_1\cap T_2\text{.}\) Syarat terakhir tepat menyatakan keanggotaan pada hasil kali di ruas kanan. Rubrik: pembuktian dua arah melalui keanggotaan sudah lengkap.