Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Edisi Lengkap Bahasa Indonesia — Dua Puluh Bab, Pendamping Belajar Mandiri, dan Pelengkap C90

Steven Schlicker

Bagian Ruang Fungsi dan Topologinya

Himpunan semua pemetaan kontinu \(X\to Y\) sendiri dapat diperlakukan sebagai ruang topologi. Pilihan topologi pada ruang fungsi menentukan apa arti pemetaan yang dekat, keluarga pemetaan yang kontinu, dan bentuk tepat prinsip bahwa pemetaan dua variabel dapat dipandang sebagai keluarga pemetaan satu variabel. Bagian ini membedakan topologi kekonvergenan titik demi titik, topologi seragam, dan topologi kompak-terbuka, lalu menjelaskan peran kekompakan lokal dalam pemetaan evaluasi dan hukum eksponensial.
Modul orisinal ini berlisensi CC BY 4.0 dan terpisah dari turunan GVSU yang diperlakukan secara konservatif sebagai CC BY-NC-SA 3.0. Modul ini bukan teks atau solusi resmi GVSU serta tidak menyatakan atau menyiratkan dukungan penulis atau institusi sumber. Provenans produksi berbantuan model: OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra.

Subbagian Topologi titik demi titik sebagai topologi hasil kali

Definisi U.123.

Untuk ruang \(X\) dan \(Y\text{,}\) himpunan semua fungsi \(X\to Y\) diidentifikasi dengan hasil kali \(Y^X=\prod_{x\in X}Y\text{.}\) Topologi titik demi titik adalah topologi hasil kali pada \(Y^X\text{.}\) Jika hanya fungsi kontinu yang dipertimbangkan, tulis \(C_p(X,Y)\) untuk \(C(X,Y)\) dengan topologi subruang tersebut.
Untuk \(x\in X\) dan \(U\subseteq Y\) terbuka, tetapkan \([x,U]=\{f:f(x)\in U\}\text{.}\) Himpunan-himpunan ini merupakan subbasis. Lingkungan dasar suatu fungsi hanya membatasi nilainya pada berhingga banyak titik domain.

Bukti.

Proyeksi koordinat hasil kali tepat merupakan pemetaan \(\operatorname{ev}_x\text{.}\) Karakterisasi kekonvergenan net dalam hasil kali menyatakan bahwa kekonvergenan terjadi tepat bila semua proyeksi koordinat konvergen. Prapeta himpunan terbuka \(U\) di bawah proyeksi itu adalah \([x,U]\text{,}\) sehingga evaluasi tetap kontinu.

Catatan U.125.

Kekontinuan setiap evaluasi tetap tidak berarti bahwa evaluasi bersama \(\operatorname{ev}:C_p(X,Y)\times X\to Y\text{,}\) \((f,x)\mapsto f(x)\text{,}\) kontinu. Untuk topologi titik demi titik, lingkungan suatu fungsi tidak mengendalikan nilainya pada seluruh lingkungan titik \(x\text{.}\) Kegagalan ini menjadi salah satu alasan menggunakan topologi kompak-terbuka.

Subbagian Topologi seragam

Definisi U.126.

Jika \((Y,d)\) ruang metrik, ganti \(d\) dengan metrik terbatas ekuivalen \(\bar d(y,z)=\min\{1,d(y,z)\}\) bila perlu, lalu definisikan
\begin{equation*} d_\infty(f,g)=\sup_{x\in X}\bar d(f(x),g(x)). \end{equation*}
Topologi metrik ini pada \(Y^X\text{,}\) dan topologi subruangnya pada \(C(X,Y)\text{,}\) disebut topologi seragam. Kekonvergenan terhadap \(d_\infty\) tepat merupakan kekonvergenan seragam.

Catatan U.127.

Konstruksi ini tidak bergantung pada rumus metrik tertentu bila kodomain diberi struktur seragam. Untuk entourage \(V\) pada \(Y\text{,}\) lingkungan seragam diagonal pada ruang fungsi terdiri atas pasangan \((f,g)\) dengan \((f(x),g(x))\in V\) untuk setiap \(x\text{.}\) Jadi istilah “seragam” memerlukan metrik atau struktur seragam pada kodomain; topologi kodomain saja tidak selalu menentukan pilihan itu.

Bukti.

Untuk setiap \(x\text{,}\) ketaksamaan \(\bar d(f_\lambda(x),f(x))\le d_\infty(f_\lambda,f)\) memberi kekonvergenan koordinat. Secara topologis, bola seragam yang cukup kecil di sekitar \(f\) termuat dalam setiap lingkungan dasar titik demi titik yang hanya membatasi berhingga banyak koordinat.

Contoh U.129.

Pada \(X=\mathbb N\) diskret dan \(Y=\mathbb R\text{,}\) definisikan \(e_n(k)=1\) bila \(k=n\) dan \(e_n(k)=0\) selain itu. Untuk setiap \(k\) tetap, \(e_n(k)\to0\text{,}\) tetapi \(d_\infty(e_n,0)=1\text{.}\) Jadi topologi titik demi titik umumnya benar-benar lebih kasar daripada topologi seragam.

Subbagian Topologi kompak-terbuka

Definisi U.130.

Untuk himpunan kompak \(K\subseteq X\) dan himpunan terbuka \(U\subseteq Y\text{,}\) tulis
\begin{equation*} [K,U]=\{f\in C(X,Y):f(K)\subseteq U\}. \end{equation*}
Topologi kompak-terbuka pada \(C(X,Y)\) adalah topologi yang mempunyai semua \([K,U]\) sebagai subbasis. Ruang yang dihasilkan ditulis \(C_k(X,Y)\text{.}\)

Bukti.

Setiap singleton \(\{x\}\) kompak dan \([\{x\},U]=[x,U]\text{,}\) sehingga semua subbasis titik demi titik terbuka dalam topologi kompak-terbuka.
Andaikan \(X\) kompak Hausdorff. Bola seragam kecil di sekitar \(f\) dapat dipilih agar termuat dalam irisan berhingga subbasis \([K_i,U_i]\) yang memuat \(f\text{:}\) kekompakan setiap \(f(K_i)\) memberi jarak positif yang seragam dari komplemen \(U_i\) setelah subbasis diperhalus dengan bola-bola metrik. Untuk arah sebaliknya, bagi setiap \(\varepsilon>0\text{,}\) kontinuitas \(f\) memberi selimut buka \(X\) oleh prapeta bola-bola berjari-jari \(\varepsilon/3\text{.}\) Kekompakan Hausdorff memberi penyusutan berhingga selimut itu menjadi himpunan-himpunan kompak \(K_j\) yang masih menutupi \(X\text{.}\) Jika \(U_j\) adalah bola berjari-jari \(2\varepsilon/3\) yang sesuai, irisan \([K_j,U_j]\) mengendalikan jarak seragam dari \(f\text{.}\) Maka kedua topologi sama.

Contoh U.132.

Pada \(C(\mathbb R,\mathbb R)\text{,}\) fungsi \(f_n(x)=x/n\) konvergen ke nol secara seragam pada setiap subhimpunan kompak, maka konvergen dalam topologi kompak-terbuka, tetapi tidak konvergen seragam pada seluruh \(\mathbb R\text{.}\) Sebaliknya, barisan tonjolan segitiga setinggi satu yang berpusat di \(1/n\text{,}\) berpenyangga di \((1/n-1/n^2,1/n+1/n^2)\text{,}\) dan bernilai nol di luar penyangga, konvergen titik demi titik ke nol tetapi tidak konvergen kompak-terbuka karena supremumnya pada \([0,1]\) selalu satu.

Subbagian Evaluasi dan komposisi

Bukti.

Ambil \((f,x)\) dan himpunan buka \(U\) yang memuat \(f(x)\text{.}\) Karena \(f^{-1}(U)\) lingkungan buka \(x\) dan \(X\) kompak lokal Hausdorff, pilih lingkungan buka \(V\) dari \(x\) dengan \(K=\overline V\) kompak dan \(K\subseteq f^{-1}(U)\text{.}\) Maka \(f\in[K,U]\text{,}\) dan untuk setiap \(g\in[K,U]\) serta \(v\in V\) berlaku \(g(v)\in U\text{.}\) Jadi \([K,U]\times V\) dipetakan ke \(U\text{.}\)

Bukti.

Cukup periksa prapeta subbasis \([K,U]\) di sekitar pasangan \((g,f)\) dengan \(g(f(K))\subseteq U\text{.}\) Himpunan \(f(K)\) kompak dan termuat dalam himpunan buka \(g^{-1}(U)\text{.}\) Dalam ruang kompak lokal Hausdorff, pilih himpunan buka \(W\) dengan \(f(K)\subseteq W\subseteq\overline W=L\subseteq g^{-1}(U)\) dan \(L\) kompak. Maka \([L,U]\) adalah lingkungan \(g\) dan \([K,W]\) adalah lingkungan \(f\text{.}\) Untuk \((g',f')\in[L,U]\times[K,W]\text{,}\) berlaku \(f'(K)\subseteq W\subseteq L\text{,}\) sehingga \(g'(f'(K))\subseteq U\text{.}\) Jadi produk kedua lingkungan itu dipetakan ke \([K,U]\text{.}\)

Subbagian Jembatan hukum eksponensial

Bukti.

Jika \(F\) kontinu dan \([K,U]\) memuat \(\widehat F(z_0)\text{,}\) maka \(F(\{z_0\}\times K)\subseteq U\text{.}\) Kekompakan \(K\) dan lemma tabung menghasilkan lingkungan \(W\) dari \(z_0\) dengan \(F(W\times K)\subseteq U\text{.}\) Jadi \(\widehat F^{-1}([K,U])\) terbuka. Sebaliknya, jika \(G:Z\to C_k(X,Y)\) kontinu, maka \(G^\vee=\operatorname{ev}\circ(G\times\operatorname{id}_X)\) kontinu oleh teorema evaluasi. Kedua konstruksi jelas saling invers.

Catatan U.136.

Pernyataan di atas adalah korespondensi pada aras himpunan pemetaan kontinu. Untuk menyatakan bahwa pemetaan kanonik antara dua ruang fungsi merupakan homeomorfisme tanpa hipotesis tambahan, kategori ruang kompak-terbangkitkan biasanya digunakan. Pada kategori ruang topologi biasa, hipotesis kekompakan lokal pada variabel domain adalah jembatan yang mencegah klaim eksponensial terlalu luas.

Subbagian Jembatan terbatas menuju Teorema Arzelà–Ascoli

Definisi U.137.

Keluarga \(\mathcal F\subseteq C(X,Y)\) antara ruang metrik disebut ekukontinu jika untuk setiap \(\varepsilon>0\) dan setiap \(x\in X\) terdapat \(\delta>0\) sehingga \(d_X(x,x')<\delta\) mengakibatkan \(d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon\) untuk semua \(f\in\mathcal F\text{.}\)

Bukti.

Untuk arah perlu, kekompakan penutup memberi keterbatasan total dalam metrik supremum. Jaring \(\varepsilon\) berhingga yang terdiri atas fungsi kontinu mempunyai batas seragam bersama dan modulus kontinuitas lokal bersama; pendekatan setiap anggota keluarga oleh jaring itu memberi keterbatasan seragam dan ekukontinuitas.
Untuk arah cukup, pilih untuk setiap skala \(1/n\) suatu jaring berhingga pada \(X\text{.}\) Keterbatasan nilai pada titik-titik jaring dan proses diagonal menghasilkan, dari setiap barisan di \(\mathcal F\text{,}\) subbarisan yang konvergen pada gabungan terhitung titik-titik jaring. Ekukontinuitas meningkatkan kekonvergenan itu menjadi kekonvergenan seragam pada seluruh \(X\text{;}\) limit seragam tetap kontinu. Jadi setiap barisan mempunyai subbarisan konvergen. Karena ruang fungsi bermetrik, kekompakan sekuensial setara dengan kekompakan penutup.

Catatan U.139.

Bentuk umum untuk kodomain metrik mengganti “dibatasi seragam” dengan syarat bahwa \(\{f(x):f\in\mathcal F\}\) mempunyai penutup kompak untuk setiap \(x\text{.}\) Modul ini memakai bentuk bernilai real agar jembatan menuju analisis tetap terbatas dan hipotesisnya eksplisit.

Subbagian Latihan Penguasaan dengan Dukungan Bertahap

Buktikan langsung dari basis hasil kali bahwa net \(f_\lambda:X\to Y\) konvergen ke \(f\) dalam \(Y^X\) jika dan hanya jika \(f_\lambda(x)\to f(x)\) untuk setiap \(x\in X\text{.}\)
Petunjuk.
Lingkungan dasar hasil kali hanya membatasi berhingga banyak koordinat.
Jawaban.
Gunakan keterarahan untuk memilih satu indeks yang bekerja bagi semua koordinat dalam himpunan berhingga itu.
Solusi.
Jika net konvergen dalam hasil kali, kontinuitas proyeksi koordinat memberi kekonvergenan pada setiap titik. Sebaliknya, ambil lingkungan dasar \(N=\bigcap_{j=1}^r[x_j,U_j]\) dari \(f\text{.}\) Untuk setiap \(j\text{,}\) kekonvergenan \(f_\lambda(x_j)\to f(x_j)\) memberi indeks \(\lambda_j\) setelah mana nilai berada dalam \(U_j\text{.}\) Karena himpunan indeks terarah dan jumlahnya berhingga, ada indeks \(\lambda_0\) yang mendominasi semuanya. Untuk \(\lambda\ge\lambda_0\text{,}\) \(f_\lambda\in N\text{.}\) Maka net konvergen dalam topologi hasil kali.
Berikan rumus eksplisit untuk tonjolan segitiga \(b_n\) pada \([0,1]\) yang berpusat di \(1/n\text{,}\) setinggi satu, berpenyangga selebar \(2/n^2\text{,}\) lalu buktikan bahwa \(b_n\to0\) titik demi titik tetapi tidak kompak-terbuka.
Petunjuk.
Gunakan \(b_n(x)=\max\{0,1-n^2|x-1/n|\}\text{.}\)
Jawaban.
Setiap titik tetap akhirnya berada di luar penyangga, tetapi \(\sup_{[0,1]}b_n=1\text{.}\)
Solusi.
Rumus pada petunjuk kontinu, bernilai satu di \(1/n\text{,}\) dan nol bila \(|x-1/n|\ge1/n^2\text{.}\) Untuk \(x=0\text{,}\) semua nilainya nol. Untuk \(x>0\) tetap, pusat dan seluruh penyangga akhirnya terletak di sebelah kiri \(x\text{,}\) sehingga \(b_n(x)=0\) untuk semua \(n\) cukup besar. Jadi kekonvergenan titik demi titik berlaku. Namun domain \([0,1]\) kompak dan \(b_n(1/n)=1\text{,}\) sehingga jarak seragam dari nol selalu satu. Pada domain kompak, topologi kompak-terbuka sama dengan topologi seragam; maka tidak ada kekonvergenan kompak-terbuka.
Tunjukkan bahwa \(f_n(x)=x/n\) pada \(C(\mathbb R,\mathbb R)\) konvergen ke nol dalam topologi kompak-terbuka tetapi tidak dalam topologi seragam yang dibentuk oleh \(\bar d(s,t)=\min\{1,|s-t|\}\text{.}\)
Petunjuk.
Setiap himpunan kompak dalam \(\mathbb R\) terbatas; untuk kegagalan seragam pilih \(x=n\text{.}\)
Jawaban.
Pada \([-M,M]\text{,}\) supremum galat paling besar \(M/n\text{,}\) sedangkan supremum global terpotong selalu satu.
Solusi.
Jika \(K\subseteq\mathbb R\) kompak, pilih \(M\) dengan \(K\subseteq[-M,M]\text{.}\) Maka \(\sup_{x\in K}|f_n(x)|\le M/n\to0\text{,}\) yang memberi kekonvergenan seragam pada setiap kompak dan karenanya kekonvergenan kompak-terbuka. Di seluruh domain, untuk setiap \(n\) pilih \(x=n\text{;}\) maka \(\bar d(f_n(n),0)=1\text{.}\) Jadi \(d_\infty(f_n,0)=1\) untuk semua \(n\text{,}\) sehingga tidak ada kekonvergenan seragam.
Isi rincian bukti bahwa evaluasi \(C_k(X,Y)\times X\to Y\) kontinu ketika \(X\) kompak lokal Hausdorff.
Petunjuk.
Susutkan \(f^{-1}(U)\) ke lingkungan dengan penutup kompak.
Jawaban.
Lingkungan produk yang diperlukan adalah \([\overline V,U]\times V\text{.}\)
Solusi.
Ambil \((f,x)\) dan lingkungan buka \(U\) dari \(f(x)\text{.}\) Himpunan \(f^{-1}(U)\) terbuka dan memuat \(x\text{.}\) Sifat kompak lokal Hausdorff memberi himpunan buka \(V\) dengan \(x\in V\subseteq\overline V\subseteq f^{-1}(U)\) dan \(\overline V\) kompak. Karena itu \(f\in[\overline V,U]\text{.}\) Jika \((g,v)\in[\overline V,U]\times V\text{,}\) maka \(v\in\overline V\) dan \(g(v)\in U\text{.}\) Jadi prapeta setiap lingkungan \(U\) memuat lingkungan produk dari \((f,x)\text{,}\) yang membuktikan kekontinuan.
Misalkan \(X\) kompak lokal Hausdorff. Buktikan kedua arah korespondensi \(C(Z\times X,Y)\cong C(Z,C_k(X,Y))\) dan periksa bahwa kedua konstruksi saling invers.
Petunjuk.
Untuk arah maju gunakan kekompakan \(K\text{;}\) untuk arah balik faktorkan melalui evaluasi.
Jawaban.
\(\widehat F(z)(x)=F(z,x)\) dan \(G^\vee(z,x)=G(z)(x)\text{.}\)
Solusi.
Jika \(F\) kontinu dan \(\widehat F(z_0)\in[K,U]\text{,}\) maka \(F(\{z_0\}\times K)\subseteq U\text{.}\) Untuk setiap \(x\in K\text{,}\) kontinuitas memberi lingkungan produk yang dipetakan ke \(U\text{;}\) pilih subpenutup berhingga atas \(K\) dan irisankan lingkungan faktor \(Z\text{.}\) Diperoleh lingkungan \(W\) dari \(z_0\) dengan \(F(W\times K)\subseteq U\text{,}\) jadi \(\widehat F\) kontinu. Jika \(G\) kontinu, maka \(G^\vee=\operatorname{ev}\circ(G\times\operatorname{id}_X)\) kontinu. Akhirnya, \((\widehat F)^\vee(z,x)=F(z,x)\) dan \(\widehat{G^\vee}(z)(x)=G(z)(x)\text{,}\) sehingga konstruksi itu saling invers.
Misalkan \(X\) ruang metrik kompak, \(x_0\in X\text{,}\) dan \(L,M>0\text{.}\) Tunjukkan bahwa keluarga semua fungsi \(f:X\to\mathbb R\) yang memenuhi \(|f(x)-f(y)|\le Ld(x,y)\) dan \(|f(x_0)|\le M\) mempunyai penutup kompak dalam topologi seragam.
Petunjuk.
Gunakan diameter \(X\) untuk batas seragam dan konstanta Lipschitz untuk ekukontinuitas.
Jawaban.
Keluarga dibatasi oleh \(M+L\operatorname{diam}(X)\) dan mempunyai pilihan \(\delta=\varepsilon/L\text{.}\)
Solusi.
Karena \(X\) kompak, diameternya \(D\) berhingga. Untuk setiap \(x\in X\) dan setiap fungsi dalam keluarga, \(|f(x)|\le|f(x_0)|+|f(x)-f(x_0)|\le M+LD\text{.}\) Jadi keluarga dibatasi seragam. Jika \(\varepsilon>0\) dan \(L>0\text{,}\) ambil \(\delta=\varepsilon/L\text{;}\) maka \(d(x,y)<\delta\) mengakibatkan \(|f(x)-f(y)|<\varepsilon\) secara seragam terhadap \(f\text{.}\) Keluarga itu ekukontinu. Teorema Arzelà–Ascoli memberi penutup kompak dalam metrik supremum. Jika \(L=0\text{,}\) semua fungsi konstan dan kesimpulannya langsung berlaku.
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>