Bagian Pendahuluan
Istilah “terhubung” semestinya membangkitkan gambaran tentang sesuatu yang terdiri atas satu bagian, bukan sesuatu yang terpisah. Ada lebih dari satu cara untuk menafsirkan gagasan keterhubungan dalam ruang topologi. Sebagai contoh, kita dapat menganggap suatu ruang topologi terhubung jika ruang tersebut tidak dapat dipisahkan menjadi bagian-bagian saling lepas dengan cara taktrivial apa pun. Kemungkinan lainnya, kita dapat menganggap suatu ruang topologi terhubung jika selalu ada lintasan dari satu titik di ruang tersebut ke titik lainnya, asalkan kita mendefinisikan apa yang dimaksud dengan “lintasan”. Keduanya merupakan gagasan keterhubungan yang berbeda, dan dalam bagian ini kita berfokus pada gagasan pertama.
Keterhubungan merupakan sifat yang penting, dan merupakan salah satu sifat yang kita jumpai dalam kalkulus. Sebagai contoh, dalam bagian ini kita akan melihat bahwa Teorema Nilai Antara bergantung pada subhimpunan terhubung dari \(\R\text{.}\) Untuk mendefinisikan himpunan terhubung, kita memerlukan cara untuk memahami kapan dan bagaimana suatu himpunan dapat dipisahkan menjadi bagian-bagian yang berbeda. Karena suatu topologi didefinisikan oleh himpunan-himpunan buka, ketika hendak memisahkan objek, kita akan melakukannya dengan himpunan buka. Gagasan ini serupa dengan gagasan yang mendasari ruang Hausdorff, hanya saja sekarang kita ingin mengetahui apakah suatu himpunan dapat dipisahkan dengan suatu cara, bukan memisahkan titik-titik.
Sebagai contoh yang memotivasi definisi, perhatikan himpunan \(X = (0,1) \cup (1,2)\) dan \(Y = [1,2]\) di \(\R\) dengan topologi Euklides. Perhatikan bahwa kita dapat menuliskan \(X\) sebagai gabungan dua himpunan buka yang saling lepas, yakni \(X_1 = (0,1)\) dan \(X_2 = (1,2)\text{.}\) Jadi, kita tidak seharusnya menganggap \(X\) terhubung. Akan tetapi, jika kita mencoba menuliskan \(Y\) sebagai gabungan dua subhimpunan, misalnya \(Y_1 = [1,1.5)\) dan \(Y_2 = [1.5,2]\text{,}\) kedua subhimpunan tersebut tidak mungkin sekaligus buka dan saling lepas. Jadi, \(Y\) adalah himpunan yang seharusnya kita anggap terhubung. Inilah gagasan keterhubungan yang ingin kita selidiki.
Definisi 18.1.
Suatu ruang topologi \((X,\tau)\) disebut terhubung jika \(X\) tidak dapat dituliskan sebagai gabungan dua subhimpunan buka yang saling lepas dan takkosong. Suatu subhimpunan \(A\) dari ruang topologi \((X,\tau)\) disebut terhubung jika \(A\) terhubung dalam topologi subruang.
Jika suatu himpunan \(X\) tidak terhubung, kita mengatakan bahwa \(X\) terputus. Jika \(X\) merupakan ruang topologi yang terputus, maka terdapat himpunan buka takkosong \(U\) dan \(V\) yang saling lepas sedemikian sehingga \(X = U \cup V\text{.}\)
Aktivitas Persiapan 18.1.
Dapatkah subhimpunan \(A\) dari ruang topologi \(X\) dituliskan sebagai gabungan dua himpunan buka relatif takkosong yang saling lepas?
(a)
Himpunan \(A = \{a, b\}\) dalam \((X, \tau)\) dengan \(X = \{a, b, c, d\}\) dan \(\tau = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}, X\}\text{.}\)
(b)
Himpunan \(A = \{a, b, c\}\) dalam \((X, \tau)\) dengan \(X = \{a,b,c,d,e,f\}\) dan
\begin{equation*}
\tau = \{\emptyset, \{a\}, \{c,d\}, \{a, c, d\}, \{b,c,d,e,f\}, X\}\text{.}
\end{equation*}
(c)
Himpunan \(A = X\) dengan \(X = \{a,b,c,d\}\) dan
\begin{equation*}
\tau = \{\emptyset, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{b,c\}, \{a,b,c\}, \{b,c,d\}, X\}\text{.}
\end{equation*}
(d)
Himpunan \(A = \{d, f\}\) dalam \(X = \{a, b, c, d, e, f\}\) dengan topologi diskret. Generalisasikan temuan Anda.
(e)
Himpunan \(A = \{a, c, d\}\) dalam \(X = \{a, b, c, d, e\}\) dengan topologi indiskret. Generalisasikan temuan Anda.
(f)
Himpunan \(A = \Z\) dalam \(X = \R\) dengan topologi komplemen berhingga. Generalisasikan temuan Anda.
(g)
Himpunan \(A = X\) dalam \(X = \{x \in \R \ \mid \ 1 \leq x \leq 2 \text{ atau } 3 \lt x \lt 4\}\) dengan topologi metrik subruang dari \((\R, d_E)\text{.}\)
(h)
Himpunan \(A = X\) dalam \(X = \left\{(x, y) \in \R^2 \ \mid \ y = \frac{1}{x} \text{ atau } y = 0\right\}\) dengan himpunan-himpunan buka
\begin{equation*}
\tau = \{U \cap X \ \mid \ U \text{ buka dalam topologi Euklides pada } \R^2\}\text{.}
\end{equation*}
