Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Edisi Lengkap Bahasa Indonesia — Dua Puluh Bab, Pendamping Belajar Mandiri, dan Pelengkap C90

Misalkan \((X, \tau_X)\) dan \((Y, \tau_Y)\) merupakan ruang topologi terhubung. Untuk membuktikan bahwa \(X \times Y\) terhubung, kita akan menuliskan \(X \times Y\) sebagai gabungan subruang-subruang terhubung yang beririsan tidak kosong. Misalkan \(a \in X\text{.}\) Ruang \(X_a = \{a\} \times Y\) homeomorfik dengan \(Y\) melalui pemetaan \(i\) yang mengirim \((a,t) \in \{a\} \times Y\) ke titik \(t \in Y\text{.}\) Karena \(Y\) terhubung, \(X_a\) juga terhubung. Misalkan \(b \in Y\text{.}\) Ruang \(Y_b = X \times \{b\}\) homeomorfik dengan \(X\) melalui pemetaan \(i\) yang mengirim \((s,b) \in X \times \{b\}\) ke titik \(s \in X\text{.}\) Karena \(X\) terhubung, \(Y_b\) juga terhubung. (Pemeriksaan homeomorfisme-homeomorfisme ini diserahkan kepada pembaca.) Titik \((a,b)\) berada dalam \(X_a \cap Y_b\text{,}\) sehingga \(X_a \cap Y_b \neq \emptyset\) untuk setiap \(b \in Y\text{.}\) Berdasarkan Lema 20.6, diperoleh bahwa \(X_a \cup \left( \bigcup_{t \in Y} Y_t \right)\) terhubung. Tinggal dibuktikan bahwa \(X_a \cup \left( \bigcup_{t \in Y} Y_t \right) = X \times Y\text{;}\) setelah itu kita telah menunjukkan bahwa \(X \times Y\) terhubung. Fakta bahwa \(X_a \subseteq X \times Y\) dan \(Y_t \subseteq X \times Y\) untuk setiap \(t \in Y\) menyiratkan \(X_a \cup \left( \bigcup_{t \in Y} Y_t \right) \subseteq X \times Y\text{.}\) Jadi, tinggal ditunjukkan bahwa \(X \times Y \subseteq X_a \cup \left( \bigcup_{t \in Y} Y_t \right)\text{.}\) Misalkan \((u,v) \in X \times Y\text{.}\) Maka \(u \in X\text{,}\) \(v \in Y\text{,}\) dan \((u,v) \in Y_v\text{.}\) Jadi, \(X \times Y \subseteq X_a \cup \left( \bigcup_{t \in Y} Y_t \right)\text{,}\) sehingga \(X \times Y = X_a \cup \left( \bigcup_{t \in Y} Y_t \right)\text{.}\) Oleh karena itu, \(X \times Y\) terhubung.

Misalkan \((X, \tau_X)\) dan \((Y, \tau_Y)\) merupakan ruang topologi kompak. Misalkan \(\CC = \{O_{\alpha}\}\) selimut buka bagi \(X \times Y\text{,}\) dengan \(\alpha\) berada dalam suatu himpunan indeks \(I\text{.}\) Misalkan \(a \in X\) dan misalkan \(Y_a = \{a\} \times Y\text{.}\) Karena \(Y_a\) homeomorfik dengan \(Y\text{,}\) kita mengetahui bahwa \(Y_a\) kompak. Koleksi \(\{O_{\alpha} \cap Y_a\}\) merupakan selimut buka bagi \(Y_a\text{,}\) sehingga memiliki subselimut berhingga \(\{O_{\alpha_i}\}_{1 \leq i \leq n}\text{.}\) Himpunan \(N_a = \bigcup_{1 \leq i \leq n} O_{\alpha_i}\) merupakan himpunan buka yang memuat \(Y_a\text{.}\) Kita akan menunjukkan bahwa terdapat lingkungan \(W_a\) dari \(a\) sedemikian sehingga \(N_a\) memuat seluruh himpunan \(W_a \times Y\text{.}\)

Selimuti himpunan \(Y_a\) dengan himpunan-himpunan buka yang termuat dalam \(N_a\) (karena \(N_a\) buka, kita dapat mengiris sembarang himpunan buka dengan \(N_a\) dan tetap memperoleh himpunan buka). Setiap himpunan buka merupakan gabungan elemen-elemen basis, sehingga kita dapat menyelimuti \(Y_a\) dengan elemen-elemen basis \(U \times V\) yang termuat dalam \(N_a\text{.}\) Karena \(Y_a\) kompak, terdapat koleksi berhingga elemen basis \(U_1 \times V_1\text{,}\) \(U_2 \times V_2\text{,}\) \(\ldots\text{,}\) \(U_m \times V_m\) yang termuat dalam \(N_a\) dan menyelimuti \(Y_a\text{.}\) Anggaplah setiap \(U_i \times V_i\) beririsan dengan \(Y_a\) (jika tidak, kita dapat membuang himpunan tersebut dan tetap memiliki selimut). Misalkan \(W_a = U_1 \cap U_2 \cap \cdots \cap U_m\text{.}\) Karena \(a \in U_i\) untuk setiap \(i\text{,}\) kita mengetahui bahwa \(W_a\) tidak kosong. Setiap \(U_i\) buka dalam \(X\text{,}\) sehingga \(W_a\) buka dalam \(X\text{.}\) Jadi, \(W_a\) merupakan lingkungan \(a\) dalam \(X\text{.}\) Sekarang kita tunjukkan bahwa \(W_a \times Y \subseteq \bigcup_{1 \leq i \leq m} U_i \times V_i\text{.}\) Misalkan \((x,y) \in W_a \times Y\text{.}\) Karena koleksi \(\{U_i \times V_i\}_{1 \leq i \leq m}\) menyelimuti \(Y_a\text{,}\) titik \((a,y)\) berada dalam \(U_k \times V_k\) untuk suatu \(k\) di antara \(1\) dan \(m\text{.}\) Jadi, \(y \in V_k\text{.}\) Namun, \(x \in W_a = \bigcap_{1 \leq i \leq m} U_i\text{,}\) sehingga \(x \in U_k\text{.}\) Jadi, \((x,y) \in U_k \times V_k\text{,}\) dan kita menyimpulkan bahwa \(W_a \times Y \subseteq \bigcup_{1 \leq i \leq m} U_i \times V_i\text{.}\)

Jadi, untuk setiap \(a \in X\text{,}\) himpunan \(N_a\) memuat himpunan berbentuk \(W_a \times Y\text{,}\) dengan \(W_a\) suatu lingkungan dari \(a\) dalam \(X\text{.}\) Maka \(W_a \times Y\) diselimuti oleh suatu subselimut berhingga dari selimut buka \(\CC\) bagi \(X \times Y\text{.}\) Koleksi \(\{W_a \times Y\}_{a \in X}\) merupakan selimut buka bagi \(X \times Y\text{.}\) Karena \(X\) kompak, terdapat subselimut berhingga \(W_1\text{,}\) \(W_2\text{,}\) \(\ldots\text{,}\) \(W_r\) dari selimut buka \(\{W_a\}_{a \in X}\) bagi \(X\text{.}\) Koleksi tersebut benar-benar menyelimuti \(X\text{.}\) Dengan demikian, himpunan-himpunan \(W_1 \times Y\text{,}\) \(W_2 \times Y\text{,}\) \(\ldots\text{,}\) \(W_r \times Y\) menyelimuti \(X \times Y\text{.}\) Untuk setiap \(i\text{,}\) himpunan \(W_i \times Y\) diselimuti oleh berhingga banyaknya himpunan dalam \(\CC\text{,}\) sehingga koleksi semua himpunan tersebut membentuk subselimut berhingga bagi \(X \times Y\) dari \(\CC\text{.}\) Oleh karena itu, \(X \times Y\) kompak.