Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Edisi Lengkap Bahasa Indonesia — Dua Puluh Bab, Pendamping Belajar Mandiri, dan Pelengkap C90

Potongan pertama menelusuri ruas \([x,c]\) dan potongan kedua ruas \([c,y]\text{;}\) keduanya berada dalam \(A\) oleh hipotesis. Masing-masing kontinu dan keduanya bernilai \(c\) pada \(t=1/2\text{,}\) sehingga Lemma Penempelan memberi kontinuitas \(p\text{.}\) Karena \(p(0)=x\) dan \(p(1)=y\text{,}\) setiap pasangan titik dapat dihubungkan. Jadi \(A\) terhubung lintasan.

Karena pembatasan \(f|_P\) kontinu dan \(P\) terhubung lintasan, \(f(P)\) terhubung lintasan. Pilih \(p\in P\) dan biarkan \(Q=PC_Y(f(p))\text{.}\) Semua titik \(f(P)\) dapat dihubungkan ke \(f(p)\text{,}\) sehingga \(f(P)\subseteq Q\) dan karenanya \(P\subseteq f^{-1}(Q)\text{.}\) Jika \(X\) terhubung lintasan, ambil \(P=X\text{.}\) Maka \(f(X)\subseteq Q\text{;}\) karena \(f\) surjektif, \(Y=f(X)=Q\text{,}\) sehingga \(Y\) terhubung lintasan.

Keempat setengah-sumbu terbuka itu masing-masing homeomorfik dengan \((0,\infty)\text{,}\) sehingga terhubung lintasan. Andaikan sebuah lintasan menghubungkan titik pada dua setengah-sumbu berbeda. Citra lintasan terhubung dan, di dalam silang, satu-satunya titik tempat dua sumbu atau dua sisi suatu sumbu bertemu adalah asal. Secara lebih eksplisit, proyeksi koordinat yang relevan harus berubah dari nilai taknol menjadi nol, dan perpindahan ke sumbu lain memaksa kedua koordinat nol pada suatu parameter. Itu akan memasukkan asal ke citra, padahal asal telah dihapus. Maka tidak ada komponen yang lebih besar.

Singleton \(\{1\}\) adalah himpunan buka terkecil yang memuat \(1\text{.}\) Himpunan buka yang memuat \(2\) beririsan menjadi \(\{1,2\}\text{;}\) untuk \(3\) menjadi \(\{1,3\}\text{.}\) Satu-satunya himpunan buka yang memuat \(4\) adalah \(X\text{,}\) jadi \(U_4=X\text{.}\) Teorema ruang berhingga memberi bahwa \(U_4=X\) terhubung lintasan. Dengan demikian hanya ada satu komponen lintasan. Karena terhubung lintasan mengakibatkan terhubung, \(X\) terhubung.

Andaikan \(X\) lokal terhubung lintasan, \(O\) buka, dan \(P\) komponen lintasan \(O\text{.}\) Untuk \(p\in P\text{,}\) ada lingkungan buka terhubung lintasan \(V\) dengan \(p\in V\subseteq O\text{.}\) Karena \(V\) bertemu \(P\text{,}\) maksimalitas komponen memberi \(V\subseteq P\text{.}\) Maka setiap titik \(P\) mempunyai lingkungan buka dalam \(P\text{,}\) jadi \(P\) terbuka.

Sebaliknya, ambil titik \(x\) dan lingkungan \(N\text{.}\) Pilih himpunan buka \(O\) dengan \(x\in O\subseteq N\text{.}\) Komponen lintasan \(P\) dari \(O\) yang memuat \(x\) terbuka menurut hipotesis, terhubung lintasan menurut definisi, dan memenuhi \(x\in P\subseteq N\text{.}\) Jadi \(X\) lokal terhubung lintasan.

Pemetaan \(x\mapsto(x,\sin(1/x))\) kontinu pada \((0,1]\text{,}\) sehingga grafik \(G\) terhubung. Setiap titik \((0,y)\) dengan \(-1\leq y\leq1\) adalah titik limit grafik, dan penutupan \(G\) tepat \(T\text{.}\) Penutupan himpunan terhubung terhubung, jadi \(T\) terhubung.

Andaikan lintasan \(p(t)=(u(t),v(t))\) berawal pada ruas vertikal dan berakhir pada grafik. Biarkan \(t_0\) batas terakhir dari bagian awal saat \(u(t)=0\text{.}\) Ada deret \(t_n\downarrow t_0\) dengan \(u(t_n)>0\) dan \(u(t_n)\to0\text{.}\) Pada titik-titik itu \(v(t_n)=\sin(1/u(t_n))\text{.}\) Kekontinuan lintasan dan peralihan melalui semua nilai kecil positif memaksa nilai ini berosilasi mendekati \(1\) dan \(-1\) secara arbitrer dekat \(t_0\text{,}\) sehingga \(v(t)\) tidak mempunyai limit di \(t_0\text{.}\) Kontradiksi. Jadi kedua bagian berada dalam komponen lintasan berbeda.

Ambil \(x\in A_r\) dan \(y\in A_s\text{,}\) dengan \(r\leq s\) setelah menukar nama bila perlu. Pilih \(z_i\in A_i\cap A_{i+1}\text{.}\) Dalam \(A_r\) ada lintasan dari \(x\) ke \(z_r\text{;}\) dalam setiap \(A_i\) berikutnya ada lintasan dari \(z_{i-1}\) ke \(z_i\text{;}\) dan dalam \(A_s\) ada lintasan dari \(z_{s-1}\) ke \(y\text{.}\) Bagi \([0,1]\) menjadi berhingga banyak subinterval tertutup, reparametrisasi lintasan-lintasan itu, lalu terapkan Lemma Penempelan berulang kali. Hasilnya lintasan dalam gabungan dari \(x\) ke \(y\text{.}\)

Setiap komponen lintasan terbuka karena \(X\) lokal terhubung lintasan. Komplemen suatu komponen adalah gabungan semua komponen lain, maka terbuka; jadi setiap komponen juga tertutup. Komponen-komponen saling lepas, menutupi \(X\text{,}\) dan masing-masing terhubung lintasan menurut definisi. Selimut buka oleh semua komponen mempunyai subselimut berhingga karena \(X\) kompak. Saling lepasnya komponen berarti komponen yang tidak dipilih tidak mungkin tertutupi, sehingga sebenarnya hanya ada berhingga banyak komponen. Akhirnya, \(X\) terhubung lintasan jika dan hanya jika semua titik berada dalam satu kelas lintasan, yakni tepat ketika dekomposisi berhingga itu mempunyai satu bagian.