Definisi 18.9.
Suatu subruang \(C\) dari ruang topologi \(X\) disebut komponen (atau komponen terhubung) dari \(X\) jika \(C\) terhubung dan tidak ada subruang terhubung yang lebih besar dari \(X\) yang memuat \(C\text{.}\)
Bagian Komponen
Sebagaimana ditunjukkan oleh Kegiatan 18.6, ruang seperti \(A = (1,2) \cup (3,4)\) tidak terhubung. Meskipun demikian, \(A\) tersusun atas dua subhimpunan terhubung \((1,2)\) dan \((3,4)\text{.}\) Subhimpunan-subhimpunan terhubung ini disebut komponen.
Sebagai contoh, jika \(X = (1,2) \cup [4,10) \cup \{-1,15\}\text{,}\) maka komponen-komponen dari \(X\) adalah \((1,2)\text{,}\) \([4,10)\text{,}\) \(\{-1\}\text{,}\) dan \(\{15\}\text{.}\) Sebagaimana ditunjukkan oleh kegiatan berikutnya, kita selalu dapat mempartisi suatu ruang topologi menjadi gabungan saling lepas dari komponen-komponen.
Kegiatan 18.7.
Misalkan \((X, \tau)\) suatu ruang topologi tak kosong.
(a)
Tunjukkan bahwa jika \(x \in X\text{,}\) maka \(\{x\}\) terhubung.
(b)
Andaikan \(X\) suatu ruang topologi dan \(\{A_{\alpha}\}\text{,}\) untuk \(\alpha\) dalam suatu himpunan indeks \(I\text{,}\) merupakan suatu koleksi subhimpunan terhubung dari \(X\text{.}\) Misalkan \(A = \bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}\text{.}\) Andaikan \(\bigcap_{\alpha \in I} A_{\alpha} \neq \emptyset\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(A\) merupakan subhimpunan terhubung dari \(X\text{.}\)
(c)
Bagian (a) menunjukkan bahwa setiap unsur dalam \(X\) termasuk dalam suatu subhimpunan terhubung dari \(X\text{.}\) Jadi, kita dapat menuliskan \(X\) sebagai suatu gabungan subhimpunan-subhimpunan terhubung. Namun, mungkin terdapat tumpang tindih. Untuk menghilangkan tumpang tindih tersebut, kita mendefinisikan relasi \(\sim\) berikut pada \(X\text{:}\) Untuk \(x\) dan \(y\) dalam \(X\text{,}\) \(x \sim y\) jika \(x\) dan \(y\) termuat dalam subhimpunan terhubung yang sama dari \(X\text{.}\) Seperti halnya setiap relasi, kita menanyakan apakah \(\sim\) merupakan relasi ekuivalensi.
(i)
Apakah \(\sim\) merupakan relasi refleksif? Mengapa atau mengapa tidak?
(ii)
Apakah \(\sim\) merupakan relasi simetris? Mengapa atau mengapa tidak?
(iii)
Apakah \(\sim\) merupakan relasi transitif? Mengapa atau mengapa tidak?
Kegiatan 18.7 menunjukkan bahwa relasi \(\sim\) merupakan relasi ekuivalensi, sehingga relasi tersebut mempartisi ruang topologi yang mendasarinya, \(X\text{,}\) menjadi himpunan-himpunan saling lepas. Jika \(x \in X\text{,}\) maka kelas ekuivalensi dari \(x\) merupakan subhimpunan terhubung dari \(X\text{.}\) Tidak mungkin ada subhimpunan terhubung yang lebih besar dari \(X\) yang memuat \(x\text{,}\) karena kelas-kelas ekuivalensi saling lepas atau sama. Jadi, kelas-kelas ekuivalensi tersebut tepat merupakan komponen-komponen terhubung dari \(X\text{.}\) Komponen-komponen dari suatu ruang topologi \(X\) memenuhi beberapa sifat.
- Setiap \(a \in X\) merupakan anggota tepat satu komponen terhubung \(C_a\) dari \(X\text{.}\)
- Suatu komponen \(C_a\) memuat semua subhimpunan terhubung dari \(X\) yang memuat \(a\text{.}\) Jadi, \(C_a\) merupakan gabungan semua subhimpunan terhubung dari \(X\) yang memuat \(a\text{.}\)
- Jika \(a\) dan \(b\) berada dalam \(X\text{,}\) maka \(C_a = C_b\) atau \(C_a \cap C_b = \emptyset\text{.}\)
- Setiap subhimpunan terhubung dari \(X\) merupakan subhimpunan dari suatu komponen terhubung.
- Setiap komponen terhubung dari \(X\) merupakan subhimpunan tertutup dari \(X\text{.}\)
- Ruang \(X\) terhubung jika dan hanya jika \(X\) mempunyai tepat satu komponen terhubung.
