Misalkan \((Y_1, \tau_1)\) dan \((Y_2, \tau_2)\) merupakan ruang topologi, dengan \(Y_1 = \{a,b,c\}\) dan \(\tau_1 = \{\emptyset, \{a\}, \{b,c\}, Y_1\}\text{,}\) serta \(Y_2 = \{1,2\}\) dan \(\tau_2 = \{\emptyset, \{1\}, Y_2\}\text{.}\) Carilah semua himpunan berbentuk
dan periksalah bahwa himpunan-himpunan tersebut membangkitkan topologi hasil kali pada \(Y_1 \times Y_2\text{.}\)
(b)
Misalkan \(X_{i}\text{,}\) untuk \(i\) dari \(1\) sampai \(n\text{,}\) merupakan ruang topologi dan misalkan \(X = \Pi_{i=1}^n X_i\text{.}\) Tunjukkan bahwa koleksi
merupakan subbasis bagi topologi kotak pada \(X\text{.}\)
2.
Misalkan \(X\) merupakan himpunan bilangan real dengan topologi metrik Euklides standar dan misalkan \(Y\) merupakan bilangan real dengan topologi diskret.
(a)
Jelaskan mengapa himpunan semua “interval horizontal” berbentuk
\begin{equation*}
I= (a,b) \times \{c\} = \{(x,c) \mid a \lt x \lt b\}
\end{equation*}
merupakan basis bagi topologi hasil kali pada \(X \times Y\text{.}\)
(b)
Carilah interior dan penutup setiap subhimpunan \(X \times Y\) berikut.
(i)
\(A = \{(x,0) \mid 0 \leq x \lt 1\}\)
(ii)
\(B = \{(0,y) \mid 0 \leq y \lt 1\}\)
(iii)
\(C = \{(x,y) \mid 0 \leq x \lt 1, 0 \leq y \lt 1\}\)
3.
Misalkan \(X_1\) dan \(X_2\) merupakan ruang topologi, misalkan \(A_1\) subhimpunan dari \(X_1\text{,}\) dan misalkan \(A_2\) subhimpunan dari \(X_2\text{.}\) Gunakan topologi hasil kali pada \(X_1 \times X_2\text{.}\) Buktikan setiap pernyataan berikut.
Misalkan \(X\) dan \(Y\) merupakan ruang topologi, dan misalkan \(\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in I}\) serta \(\{V_{\beta}\}_{\beta \in J}\) merupakan koleksi himpunan buka masing-masing dalam \(X\) dan \(Y\text{,}\) untuk suatu himpunan indeks \(I\) dan \(J\text{.}\) Tunjukkan bahwa
Jika \(\CB_X\) merupakan basis bagi topologi \(\tau_X\) pada ruang \(X\) dan \(\CB_Y\) merupakan basis bagi topologi \(\tau_Y\) pada ruang \(Y\text{,}\) tunjukkan bahwa \(\CB_X \times \CB_Y\) merupakan basis bagi topologi hasil kali pada \(X \times Y\text{.}\)
6.
Buktikan bahwa hasil kali sembarang banyaknya ruang terhubung yang berhingga bersifat terhubung.
7.
Buktikan bahwa hasil kali sembarang banyaknya ruang kompak yang berhingga bersifat kompak.
8.
(a)
Buktikan bahwa jika \((X_1, \tau_1)\) dan \((X_2, \tau_2)\) merupakan ruang topologi terhubung lintasan, maka \(X_1 \times X_2\) dengan topologi hasil kali merupakan ruang topologi terhubung lintasan.
(b)
Buktikan bahwa hasil kali sembarang banyaknya ruang terhubung lintasan yang berhingga bersifat terhubung lintasan.
9.
Misalkan \(X_1\) dan \(X_2\) merupakan ruang topologi dan \(X = X_1 \times X_2\text{.}\) Benarkah bahwa jika \(X\) kompak, maka \(X_1\) dan \(X_2\) keduanya kompak? Buktikan jawaban Anda.
10.
Misalkan \(X_1\) dan \(X_2\) merupakan ruang topologi dan misalkan \(\pi_i : X_1 \times X_2 \to X_i\) pemetaan proyeksi. Kita telah menunjukkan bahwa \(\pi_i\) kontinu. Sekarang tunjukkan bahwa \(\pi_i\) merupakan pemetaan buka untuk \(i\) yang sama dengan 1 dan 2. Gunakan topologi hasil kali standar.
11.
Misalkan \(X_1\) dan \(X_2\) merupakan ruang topologi dengan kardinalitas sekurang-kurangnya 2. Misalkan \(X = X_1 \times X_2\text{.}\) Buktikan bahwa topologi ruang hasil kali pada \(X = X_1 \times X_2\) merupakan topologi diskret jika dan hanya jika topologi pada \(X_1\) dan \(X_2\) merupakan topologi diskret.
12.
Untuk setiap pernyataan berikut, jawablah benar jika pernyataan itu selalu benar. Jika pernyataan itu hanya kadang-kadang benar atau tidak pernah benar, jawablah salah dan berikan contoh konkret yang menunjukkan bahwa pernyataan tersebut salah. Jika suatu pernyataan benar, jelaskan alasannya. Sepanjang latihan ini, misalkan \(X_1\) dan \(X_2\) merupakan ruang topologi dan \(X = X_1 \times X_2\) dengan topologi hasil kali.
(a)
Jika \(A_1 \subseteq X_1\) dan \(A_2 \subseteq X_2\text{,}\) maka \((X_1 \times X_2) \setminus (A_1 \times A_2) = (X_1 \setminus A_1) \times (X_2 \setminus A_2)\text{.}\)
(b)
Jika \(A_1 \subseteq X_1\) dan \(A_2 \subseteq X_2\text{,}\) maka \(\Bdry(A_1 \times A_2) \subseteq \Bdry{A_1} \times \Bdry{A_2}\text{.}\)
(c)
Jika \(A_1 \subseteq X_1\) dan \(A_2 \subseteq X_2\text{,}\) maka \(\Bdry{A_1} \times \Bdry{A_2} \subseteq \Bdry(A_1 \times A_2)\text{.}\)
(d)
Jika \(O_1\) subhimpunan buka dari \(X_1\) dan \(O_2\) subhimpunan buka dari \(X_2\text{,}\) maka \(O_1 \times O_2\) merupakan subhimpunan buka dari \(X_1 \times X_2\text{.}\)
(e)
Jika \(O_1\) subhimpunan dari \(X_1\) dan \(O_2\) subhimpunan dari \(X_2\text{,}\) serta \(O_1 \times O_2\) subhimpunan buka dari \(X_1 \times X_2\text{,}\) maka \(O_1\) merupakan subhimpunan buka dari \(X_1\) dan \(O_2\) merupakan subhimpunan buka dari \(X_2\text{.}\)
(f)
Jika \(C_1\) subhimpunan tertutup dari \(X_1\) dan \(C_2\) subhimpunan tertutup dari \(X_2\text{,}\) maka \(C_1 \times C_2\) merupakan subhimpunan tertutup dari \(X_1 \times X_2\text{.}\)
(g)
Jika \(C_1\) subhimpunan dari \(X_1\) dan \(C_2\) subhimpunan dari \(X_2\text{,}\) serta \(C_1 \times C_2\) subhimpunan tertutup dari \(X_1 \times X_2\text{,}\) maka \(C_1\) merupakan subhimpunan tertutup dari \(X_1\) dan \(C_2\) merupakan subhimpunan tertutup dari \(X_2\text{.}\)
