Teorema 19.10.
Jika ruang topologi \(X\) terhubung lintasan, maka \(X\) terhubung.
Bagian Keterhubungan Lintasan dan Keterhubungan
Keterhubungan lintasan dan keterhubungan merupakan konsep yang berbeda, tetapi keduanya saling berkaitan. Dalam bagian ini kita akan menunjukkan bahwa setiap ruang terhubung lintasan juga harus terhubung. Nanti kita akan melihat bahwa konversnya tidak benar, kecuali pada ruang topologi berhingga.
Bukti.
Andaikan \(X\) terhubung lintasan. Misalkan \(a \in X\) dan, untuk setiap \(x \in X\text{,}\) misalkan \(p_x\) suatu lintasan dari \(a\) ke \(x\text{.}\) Misalkan \(C_x = p_x([0,1])\text{.}\) Himpunan \(C_x\) merupakan citra kontinu dari himpunan terhubung \([0,1]\) dalam \(\R\text{,}\) sehingga \(C_x\) terhubung. Selain itu, \(p_x(0) = a \in C_x\) dan \(p_x(1) = x \in C_x\text{.}\) Jadi, setiap himpunan \(C_x\) memuat \(a\text{,}\) sehingga \(\bigcap_{x \in X} C_x\) tidak kosong. Oleh karena itu,
\begin{equation*}
C = \bigcup_{x \in X} C_x
\end{equation*}
merupakan subhimpunan terhubung dari \(X\text{.}\) Namun, setiap \(x \in X\) berada dalam suatu \(C_x\text{,}\) sehingga \(C = X\text{.}\) Kita menyimpulkan bahwa \(X\) terhubung.
Dalam bagian-bagian berikutnya kita menyelidiki implikasi sebaliknya dari Teorema 19.10 — yaitu, apakah keterhubungan mengakibatkan keterhubungan lintasan.
