Menentukan apakah dua ruang topologi homeomorfik dapat menjadi hal yang sulit. Kadang-kadang kita dapat menggunakan invarian topologi untuk menentukan bahwa ruang-ruang tersebut tidak homeomorfik. Sebagai contoh, jika \(X\) terhubung dan \(Y\) tidak terhubung, maka \(X\) dan \(Y\) tidak homeomorfik. Namun, hanya karena dua ruang terhubung, tidak serta-merta berarti bahwa ruang-ruang tersebut homeomorfik. Sebagai contoh, perhatikan ruang \((0,2)\) dan \([0,2)\text{.}\) Keduanya merupakan subhimpunan terhubung dari \(\R\text{.}\) Jika kita menghapus suatu titik, misalnya 1, dari himpunan \((0,2)\text{,}\) ruang yang dihasilkan, \((0,1) \cup (1,2)\text{,}\) tidak lagi terhubung. Hasil yang sama berlaku jika kita menghapus titik mana pun dari \((0,2)\text{.}\) Akan tetapi, jika kita menghapus titik \(0\) dari \([0,2)\text{,}\) ruang yang dihasilkan, \((0,2)\text{,}\) terhubung. Jadi, ruang \((0,2)\) dan \([0,2)\) secara mendasar berbeda dalam hal ini, dan karenanya tidak homeomorfik. Setiap himpunan yang dapat kita hapus dari suatu himpunan terhubung untuk memperoleh himpunan yang tidak terhubung disebut himpunan pemutus.
Definisi18.10.
Suatu subhimpunan \(S\) dari ruang topologi terhubung \(X\) disebut himpunan pemutus dari \(X\) jika himpunan \(X \setminus S\) tidak terhubung. Suatu titik \(p\) dalam ruang topologi terhubung \(X\) disebut titik pemutus jika \(X \setminus \{p\}\) tidak terhubung.
Contoh18.11.
(a)
Titik \(1\) merupakan titik pemutus dari ruang \((0,2)\text{.}\) Bahkan, setiap titik dalam \((0,2)\) merupakan titik pemutus dari \((0,2)\text{.}\)
(b)
Misalkan \(D = \{(x,y) \mid x^2+y^2 \leq 4\}\) dalam \((\R^2, d_E)\text{.}\) Artinya, \(D\) merupakan cakram tertutup berjari-jari \(2\) pada bidang. Himpunan \(D\) tidak mempunyai titik pemutus. Akan tetapi, jika \(S = \{(x,y) \mid x^2+y^2 = 1\}\text{,}\) maka \(D \setminus S\) terdiri atas dua komponen terhubung: bola buka \(B((0,0),1)\) dan anulus \(\{(x,y) \mid 1 \lt x^2+y^2 \leq 4\}\text{,}\) sebagaimana diilustrasikan dalam Gambar 18.12. Jadi, \(S\) merupakan himpunan pemutus dari \(D\text{.}\)
Gambar18.12.Cakram \(D\) dan himpunan pemutus \(S\text{.}\)
Setelah memperoleh suatu sifat baru, kita kemudian menanyakan apakah sifat tersebut merupakan invarian topologi.
Teorema18.13.
Misalkan \(X\) dan \(Y\) ruang topologi terhubung dan misalkan \(f:X \to Y\) suatu homeomorfisme. Jika \(S \subset X\) merupakan himpunan pemutus, maka \(f(S)\) merupakan himpunan pemutus dari \(Y\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \(X\) dan \(Y\) ruang topologi dengan \(f : X \to Y\) suatu homeomorfisme. Misalkan \(S\) suatu himpunan pemutus dari \(X\text{.}\) Misalkan \(U\) dan \(V\) membentuk suatu pemisahan dari \(X \setminus S\text{.}\) Kita akan menunjukkan bahwa \(f(U)\) dan \(f(V)\) membentuk suatu pemisahan dari \(Y \setminus f(S)\text{,}\) yang akan membuktikan bahwa \(f(S)\) merupakan himpunan pemutus dari \(Y\text{.}\) Karena \(f^{-1}\) kontinu, himpunan \(f(U)\) dan \(f(V)\) merupakan himpunan buka dalam \(Y\text{.}\) Selanjutnya, kita membuktikan bahwa \((Y \setminus f(S)) \subseteq (f(U) \cup f(V))\text{.}\) Misalkan \(y \in Y \setminus f(S)\text{.}\) Karena \(f\) surjektif, terdapat \(x \in X\) dengan \(f(x) = y\text{.}\) Fakta bahwa \(y \notin f(S)\) berarti bahwa \(x \notin S\text{.}\) Jadi \(x \in (X \setminus S) \subseteq (U \cup V)\text{.}\) Jika \(x \in U\text{,}\) maka \(f(x) = y \in f(U)\text{,}\) dan jika \(x \in V\text{,}\) maka \(x = f(y) \in f(V)\text{.}\) Jadi \((Y \setminus f(S)) \subseteq (f(U) \cup f(V))\text{.}\)
Sekarang kita menunjukkan bahwa \(f(U) \cap (Y \setminus f(S)) \neq \emptyset\) dan \(f(V) \cap (Y \setminus f(S)) \neq \emptyset\text{.}\) Karena \(U\) dan \(V\) membentuk suatu pemisahan dari \(X \setminus S\text{,}\) kita mengetahui bahwa \(U \cap (X \setminus S) \neq \emptyset\) dan \(V \cap (X \setminus S) \neq \emptyset\text{.}\) Misalkan \(x \in U \cap (X \setminus S)\text{.}\) Maka \(x \in U\) dan \(x \notin S\text{.}\) Jadi \(f(x) \in f(U)\text{,}\) dan fakta bahwa \(f\) injektif mengakibatkan \(f(x) \notin f(S)\text{.}\) Dengan demikian, \(f(x) \in f(U) \cap (Y \setminus f(S))\text{.}\) Argumen yang sama menunjukkan bahwa \(x \in V \cap (X \setminus S)\) mengakibatkan \(f(x) \in f(V) \cap (Y \setminus f(S))\text{.}\) Jadi \(f(U) \cap (Y \setminus f(S)) \neq \emptyset\) dan \(f(V) \cap (Y \setminus f(S)) \neq \emptyset\text{.}\)
Terakhir, kita menunjukkan bahwa \(f(U) \cap f(V) \cap (Y \setminus f(S)) = \emptyset\text{.}\) Andaikan \(y \in f(U) \cap f(V) \cap (Y \setminus f(S))\text{.}\) Misalkan \(x \in X\) sedemikian sehingga \(f(x) = y\text{.}\) Karena \(f\) injektif, kita mengetahui bahwa \(f(x) \in f(U)\) berarti \(x \in U\text{.}\) Jadi \(x \in U \cap V\text{.}\) Fakta bahwa \(y \in Y \setminus f(S)\) berarti bahwa \(y \notin f(S)\text{.}\) Dengan demikian, \(x \notin S\text{.}\) Jadi \(x \in X \setminus S\text{.}\) Maka kita memperoleh \(x \in U \cap V \cap (X \setminus S) = \emptyset\text{.}\) Diperoleh \(f(U) \cap f(V) \cap (Y \setminus f(S)) = \emptyset\text{.}\) Oleh karena itu, \(f(U)\) dan \(f(V)\) membentuk suatu pemisahan dari \(Y \setminus f(S)\text{,}\) dan \(f(S)\) merupakan himpunan pemutus dari \(Y\text{.}\)
Kegiatan18.8.
(a)
Gunakan gagasan himpunan/titik pemutus untuk menjelaskan mengapa lingkaran satuan dalam \(\R^2\) tidak homeomorfik dengan interval \([0,1]\) dalam \(\R\text{.}\) Catatan: lingkaran satuan adalah himpunan \(\{(x,y) \mid x^2+y^2 = 1\}\text{.}\) Buatlah gambar untuk mengilustrasikan penjelasan Anda. (Bukti formal tidak diperlukan, tetapi Anda perlu memberikan alasan yang meyakinkan.)
(b)
Perhatikan subhimpunan-subhimpunan berikut dari \(\R^2\) dengan topologi subruang:
\begin{equation*}
A = \{ (x,y) \mid x^2+y^2 =1\} \ \ \ \text{ dan } \ \ \ B = \{ (x,0) \mid -1 \leq x \leq 1\}\text{.}
\end{equation*}
Apakah \(A \cup B\) homeomorfik dengan \(A\text{?}\) (Bukti formal tidak diperlukan, tetapi Anda perlu memberikan alasan yang meyakinkan.)
Kita telah melihat bahwa ekuivalensi topologi merupakan relasi ekuivalensi, yang mempartisi koleksi semua ruang topologi menjadi kelas-kelas homeomorfisme yang saling lepas. Invarian topologi kemudian dapat membantu kita mengidentifikasi kelas-kelas tempat berbagai ruang berada. Namun, secara umum, membuktikan bahwa dua ruang homeomorfik dapat lebih sulit daripada membuktikan bahwa keduanya tidak homeomorfik.
Kegiatan18.9.
Perhatikan ruang \(S_1 = \R\text{,}\)\(S_2 = (0,1)\) dalam \(\R\text{,}\)\(S_3 = [-1,1]\) dalam \(\R\text{,}\) ruas garis \(S_4\) dalam \(\R^2\) di antara titik \((0,0)\) dan \((2,2)\text{,}\) ruang \(S_5\) yang ditentukan oleh huruf { X}, dan ruang \(S_6\) yang ditentukan oleh huruf { Y} dalam \(\R^2\text{.}\) Identifikasilah kelas-kelas homeomorfisme berbeda yang ditentukan oleh keenam ruang ini. Bukti formal tidak diperlukan, tetapi Anda perlu memberikan argumen yang meyakinkan.
