Definisi 19.1.
Misalkan \(X\) suatu ruang topologi. Sebuah lintasan dari titik \(a\) ke titik \(b\) dalam \(X\) adalah fungsi kontinu \(p: [0,1] \to X\) sedemikian sehingga \(p(0) = a\) dan \(p(1)=b\text{.}\)
Bagian Pendahuluan
Kita telah mendefinisikan keterhubungan berdasarkan dapat atau tidaknya suatu ruang dipisahkan oleh himpunan-himpunan buka. Ada cara lain untuk memandang keterhubungan. Sebagai contoh, subhimpunan \((0,1)\) terhubung dalam \(\R\) karena kita dapat menggambar sebuah ruas garis (yang akan kita sebut lintasan) di antara sembarang dua titik dalam \((0,1)\) dan tetap berada di dalam himpunan \((0,1)\text{.}\) Jadi, sebagai alternatif, kita dapat menganggap suatu ruang topologi terhubung jika selalu ada lintasan dari satu titik ke titik lain dalam ruang tersebut. Walaupun ini merupakan gagasan keterhubungan yang baru, kita akan melihat bahwa keterhubungan lintasan dan keterhubungan saling berkaitan.
Secara intuitif, suatu ruang terhubung lintasan jika terdapat lintasan di dalam ruang itu di antara sembarang dua titiknya. Untuk memformalkan gagasan ini, kita perlu mendefinisikan apa yang dimaksud dengan lintasan. Secara sederhana, lintasan adalah kurva kontinu di antara dua titik. Oleh karena itu, kita dapat mendefinisikan lintasan sebagai fungsi kontinu.
Dengan gagasan lintasan, sekarang kita dapat mendefinisikan keterhubungan lintasan.
Definisi 19.2.
Subruang \(A\) dari ruang topologi \(X\) disebut terhubung lintasan jika, untuk sembarang \(a, b \in A\text{,}\) terdapat lintasan di dalam \(A\) dari \(a\) ke \(b\text{.}\)
Aktivitas Persiapan 19.1.
(a)
Apakah \(\R\) dengan topologi metrik Euklides terhubung lintasan? Jelaskan.
(b)
Apakah \(\R\) dengan topologi komplemen berhingga terhubung lintasan? Jelaskan.
(c)
Misalkan \(A = \{b,c\}\) dalam \((X, \tau)\) dengan \(X= \{a,b,c,d,e,f\}\) dan
\begin{equation*}
\tau = \{\emptyset,\{a\}, \{c,d\}, \{a,c,d\}, \{b,c,d,e,f\}, X\}\text{.}
\end{equation*}
Apakah \(A\) terhubung? Apakah \(A\) terhubung lintasan? Jelaskan.
