Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Edisi Lengkap Bahasa Indonesia — Dua Puluh Bab, Pendamping Belajar Mandiri, dan Pelengkap C90

Jika \(X\) terhubung, maka \(X\) adalah subhimpunan terhubung maksimal dari dirinya; jadi satu-satunya komponen ialah \(X\text{.}\) Sebaliknya, andaikan \(X\) tidak terhubung dan \(X=U\sqcup V\) suatu pemisahan. Setiap subhimpunan terhubung hanya dapat bertemu salah satu dari \(U\) dan \(V\text{,}\) sebab irisan dengan keduanya akan memisahkannya. Ambil \(u\in U\) dan \(v\in V\text{.}\) Komponen yang memuat \(u\) termuat dalam \(U\text{,}\) sedangkan komponen yang memuat \(v\) termuat dalam \(V\text{;}\) keduanya berbeda. Jadi ruang dengan tepat satu komponen harus terhubung.

Tuliskan komponen-komponen \(X\) sebagai \(C_1,\ldots,C_n\text{.}\) Masing-masing \(C_i\) tertutup. Untuk suatu \(i\text{,}\) komponen-komponen mempartisi \(X\text{,}\) sehingga \(X\setminus C_i=\bigcup_{j\ne i}C_j\text{.}\) Gabungan di ruas kanan berhingga dan setiap sukunya tertutup, maka komplemen \(C_i\) tertutup. Jadi \(C_i\) terbuka. Karena \(i\) sembarang, semua komponen terbuka.

Ambil \(X=\mathbb R\text{,}\) \(S=\{0\}\text{,}\) dan \(Y=S^1\text{.}\) Kedua ruang terhubung, sedangkan \(X\setminus S=(-\infty,0)\cup(0,\infty)\) tidak terhubung, jadi \(S\) adalah himpunan pemutus. Tetapkan \(f(x)=p\) untuk suatu \(p\in S^1\text{.}\) Fungsi ini kontinu dan \(f(S)=\{p\}\text{.}\) Namun \(S^1\setminus\{p\}\) homeomorfik dengan \(\mathbb R\text{,}\) sehingga terhubung. Jadi \(f(S)\) bukan himpunan pemutus bagi \(Y\text{.}\)

Dalam topologi diskret, \(\{a\}\) dan komplemennya \(\{b,c,d\}\) sama-sama buka. Keduanya tak kosong, saling lepas, dan gabungannya \(X\text{.}\) Jadi keduanya membentuk pemisahan.

Ruang berhingga terputus tepat bila mempunyai himpunan klopen sejati tak kosong. Komplemen himpunan buka sejati yang tercantum berturut-turut adalah \(\{b,c,d\}\text{,}\) \(\{a,c,d\}\text{,}\) \(\{a,b,d\}\text{,}\) \(\{c,d\}\text{,}\) \(\{b,d\}\text{,}\) \(\{a,d\}\text{,}\) dan \(\{d\}\text{.}\) Tidak satu pun berada dalam \(\tau\text{.}\) Jadi tidak ada himpunan klopen sejati tak kosong dan \(X\) terhubung.

Himpunan \(\{c\}\) dan \(\{a,b,d\}\) sama-sama buka menurut daftar \(\tau\text{.}\) Keduanya tak kosong, saling lepas, dan menutupi \(X\text{,}\) sehingga membentuk pemisahan. Maka \(X\) tidak terhubung.

Baik \(\{b\}\) maupun komplemennya \(\{a,c,d\}\) termasuk dalam \(\tau\text{.}\) Pasangan ini merupakan dua himpunan buka tak kosong yang saling lepas dan menutupi \(X\text{.}\) Jadi \(X\) tidak terhubung.

Komplemen \(\{a\}\text{,}\) \(\{b\}\text{,}\) dan \(\{a,b\}\) masing-masing ialah \(\{b,c,d\}\text{,}\) \(\{a,c,d\}\text{,}\) dan \(\{c,d\}\text{.}\) Tidak satu pun tercantum sebagai himpunan buka. Jadi tidak ada himpunan klopen sejati tak kosong; akibatnya \(X\) terhubung.

Keempat komplemen tersebut ialah \(\{b,c,d\}\text{,}\) \(\{a,c,d\}\text{,}\) \(\{c,d\}\text{,}\) dan \(\{d\}\text{.}\) Tidak satu pun termasuk dalam \(\tau\text{.}\) Dengan demikian tidak ada subhimpunan klopen sejati tak kosong, sehingga \(X\) terhubung.

Himpunan \(\{b\}\) buka dan komplemennya \(\{a,c,d\}\) juga buka. Kedua himpunan itu tak kosong, saling lepas, dan menutupi \(X\text{;}\) jadi keduanya adalah suatu pemisahan. Maka \(X\) tidak terhubung.

Tak satu pun dari lima komplemen yang disebutkan dalam petunjuk termasuk dalam \(\tau\text{.}\) Jadi tidak ada himpunan buka sejati tak kosong yang juga tertutup. Karena pemisahan akan memberikan tepat himpunan semacam itu, pemisahan tidak ada dan \(X\) terhubung.

Komplemen \(\{a\}\text{,}\) \(\{b\}\text{,}\) \(\{a,b\}\text{,}\) \(\{a,c\}\text{,}\) dan \(\{a,b,c\}\) berturut-turut ialah \(\{b,c,d\}\text{,}\) \(\{a,c,d\}\text{,}\) \(\{c,d\}\text{,}\) \(\{b,d\}\text{,}\) dan \(\{d\}\text{.}\) Semuanya tidak buka. Jadi tidak ada pemisahan dan \(X\) terhubung.

Himpunan \(\{b\}\) serta komplemennya \(\{a,c,d\}\) sama-sama anggota \(\tau\text{.}\) Keduanya tak kosong, saling lepas, dan menutupi \(X\text{.}\) Jadi pasangan tersebut memisahkan \(X\text{,}\) sehingga ruang tidak terhubung.

Komplemen himpunan buka sejati yang tercantum ialah \(\{b,c,d\}\text{,}\) \(\{a,c,d\}\text{,}\) \(\{c,d\}\text{,}\) \(\{b,d\}\text{,}\) \(\{d\}\text{,}\) dan \(\{c\}\text{.}\) Tidak satu pun merupakan anggota \(\tau\text{.}\) Maka tidak ada himpunan klopen sejati tak kosong dan \(X\) terhubung.

Himpunan \(\{a\}\) dan \(\{b,c,d\}\) termasuk dalam \(\tau\text{.}\) Keduanya tak kosong, saling lepas, dan gabungannya \(X\text{.}\) Jadi pasangan tersebut adalah pemisahan, sehingga \(X\) tidak terhubung.

Daftar pada tahap kedua adalah tepat daftar komplemen semua anggota sejati tak kosong dari \(\tau\text{.}\) Tidak satu pun muncul dalam \(\tau\text{.}\) Jadi tak ada himpunan klopen sejati tak kosong, padahal setiap pemisahan akan menghasilkan himpunan demikian. Oleh sebab itu \(X\) terhubung.

Himpunan \(\{b\}\) buka, dan komplemennya \(\{a,c,d\}\) juga tercantum dalam \(\tau\text{.}\) Kedua himpunan itu membentuk pemisahan \(X=\{b\}\sqcup\{a,c,d\}\text{.}\) Jadi \(X\) tidak terhubung.

Satu-satunya himpunan buka sejati tak kosong ialah \(\{a\}\text{,}\) tetapi komplemennya \(\{b,c,d\}\) tidak termasuk dalam \(\tau\text{.}\) Jadi \(\{a\}\) tidak klopen dan tidak ada kandidat lain untuk membentuk pemisahan. Maka \(X\) terhubung.

Baik \(\{b,c,d\}\) maupun \(\{c,d\}\) tidak termasuk dalam \(\tau\text{.}\) Karena itu, tidak satu pun himpunan buka sejati tak kosong juga tertutup. Pemisahan tidak mungkin ada, sehingga \(X\) terhubung.

Tiga komplemen tersebut semuanya tidak berada dalam \(\tau\text{.}\) Dengan demikian tidak ada himpunan klopen sejati tak kosong. Kriteria klopen bagi keterputusan lalu menunjukkan bahwa \(X\) terhubung.

Komplemen \(\{a\}\text{,}\) \(\{b,c\}\text{,}\) dan \(\{a,b,c\}\) berturut-turut adalah ketiga himpunan pada petunjuk. Tidak satu pun buka. Jadi tidak ada pasangan himpunan buka tak kosong yang saling berkomplemen, sehingga tidak ada pemisahan dan \(X\) terhubung.

Tidak satu pun dari \(\{b,c,d\}\text{,}\) \(\{c,d\}\text{,}\) atau \(\{b\}\) tercantum dalam \(\tau\text{.}\) Jadi setiap himpunan buka sejati tak kosong gagal menjadi tertutup. Karena itu pemisahan tidak ada dan \(X\) terhubung.

Keempat himpunan pada petunjuk adalah komplemen semua himpunan buka sejati tak kosong, dan tidak satu pun merupakan anggota \(\tau\text{.}\) Jadi tak ada himpunan klopen sejati tak kosong; akibatnya \(X\) terhubung.

Himpunan \(\{a\}\) dan \(\{b,c,d\}\) sama-sama buka, tak kosong, saling lepas, dan menutupi \(X\text{.}\) Maka \(X=\{a\}\sqcup\{b,c,d\}\) adalah suatu pemisahan, sehingga ruang tidak terhubung.

Tak satu pun dari empat komplemen pada petunjuk berada dalam \(\tau\text{.}\) Karena itu tidak ada subhimpunan sejati tak kosong yang sekaligus buka dan tertutup. Kriteria klopen menunjukkan bahwa \(X\) terhubung.

Daftar pada petunjuk memuat semua komplemen himpunan buka sejati tak kosong, dan tak satu pun ada dalam \(\tau\text{.}\) Maka tidak tersedia pasangan buka komplementer untuk membentuk pemisahan. Jadi \(X\) terhubung.

Baik \(\{a,b\}\) maupun \(\{c,d\}\) adalah anggota \(\tau\text{.}\) Keduanya tak kosong, saling lepas, dan gabungannya \(X\text{.}\) Jadi keduanya membentuk pemisahan dan \(X\) tidak terhubung.

Tidak satu pun himpunan pada daftar komplemen itu termasuk dalam \(\tau\text{.}\) Jadi tidak ada himpunan klopen sejati tak kosong, dan karenanya tidak ada pemisahan. Dengan demikian \(X\) terhubung.

Himpunan \(\{b,c,d\}\) dan \(\{d\}\) tidak termasuk dalam \(\tau\text{.}\) Jadi tidak ada himpunan buka sejati tak kosong yang sekaligus tertutup. Karena pemisahan setara dengan adanya himpunan semacam itu, \(X\) terhubung.

Himpunan \(\{a\}\) dan \(\{b,c,d\}\) sama-sama buka, tak kosong, dan saling lepas, serta gabungannya adalah \(X\text{.}\) Dengan demikian keduanya merupakan pemisahan dan \(X\) tidak terhubung.

Satu-satunya himpunan buka sejati tak kosong adalah \(\{a,b\}\text{.}\) Komplemennya \(\{c,d\}\) tidak termasuk dalam \(\tau\text{,}\) sehingga \(\{a,b\}\) tidak klopen. Tidak ada pemisahan dan \(X\) terhubung.

Himpunan \(\{a,b\}\) dan \(\{c,d\}\) terbuka, tak kosong, saling lepas, dan menutupi \(X\text{.}\) Pasangan ini merupakan pemisahan, jadi \(X\) tidak terhubung.

Baik \(\{c,d\}\) maupun \(\{d\}\) tidak berada dalam \(\tau\text{.}\) Jadi tidak ada himpunan klopen sejati tak kosong dan tidak mungkin ada pemisahan. Maka \(X\) terhubung.

Tiga komplemen pada petunjuk semuanya tidak tercantum dalam \(\tau\text{.}\) Dengan demikian tidak ada subhimpunan sejati tak kosong yang klopen. Kriteria klopen untuk keterputusan menunjukkan bahwa \(X\) terhubung.

Himpunan \(\{d\}\) tidak buka, sehingga \(\{a,b,c\}\) bukan himpunan klopen sejati. Tidak ada kandidat lain untuk sisi pemisahan. Oleh karena itu \(X\) terhubung.

Satu-satunya himpunan buka tak kosong adalah \(X\) sendiri. Karena pemisahan memerlukan dua himpunan buka tak kosong yang saling lepas, tidak ada pemisahan. Jadi \(X\) terhubung.

Ambil \(A=X=\{0,1\}\) dengan topologi \(\{\emptyset,\{1\},X\}\text{.}\) Ruang ini terhubung: satu-satunya himpunan buka sejati tak kosong ialah \(\{1\}\text{,}\) sedangkan komplemennya \(\{0\}\) tidak buka. Namun lingkungan buka \(\{1\}\) tidak bertemu \(A\setminus\{1\}=\{0\}\text{.}\) Jadi \(1\) bukan titik limit \(A\text{,}\) meskipun \(A\) terhubung dan mempunyai dua titik.

Dalam ruang Hausdorff \(\mathbb R\text{,}\) ambil \(A=\{0,1\}\text{.}\) Himpunan berhingga ini kompak. Dalam topologi subruang, \(\{0\}=A\cap(-1/2,1/2)\) dan \(\{1\}=A\cap(1/2,3/2)\) adalah himpunan buka tak kosong yang saling lepas dan menutupi \(A\text{.}\) Jadi \(A\) tidak terhubung.

Ambil \(A=\mathbb R\) di dalam ruang Hausdorff \(\mathbb R\text{.}\) Sebagai interval, \(A\) terhubung. Akan tetapi, selimut buka \(\{(-n,n):n\in\mathbb N\}\) menutupi \(\mathbb R\) dan tidak mempunyai subselimut berhingga: setiap subkoleksi berhingga termuat dalam satu \((-N,N)\) dan melewatkan titik di luar interval itu. Jadi \(A\) tidak kompak.

Dalam ruang diskret tak kosong \(X\text{,}\) pilih \(x\in X\text{.}\) Subruang \(A=\{x\}\) tidak dapat ditulis sebagai gabungan dua himpunan tak kosong yang saling lepas, sehingga terhubung. Jadi tidak benar bahwa setiap subhimpunan ruang diskret tidak terhubung. Secara lengkap, subruang diskret terhubung tepat bila memiliki paling banyak satu titik.

Topologi subruang pada \(\{a,b\}\) ialah \(\{\emptyset,\{a\},\{a,b\}\}\text{.}\) Karena komplemen relatif \(\{a\}\text{,}\) yaitu \(\{b\}\text{,}\) tidak buka, subruang itu terhubung. Setiap superset sejati yang lebih besar tidak terhubung: \(\{a,b,c\}\) dipisahkan oleh \(\{a,b\}\) dan \(\{c\}\text{;}\) \(\{a,b,d\}\) dipisahkan oleh \(\{a,b\}\) dan \(\{d\}\text{;}\) sedangkan \(X\) dipisahkan oleh \(\{a,b\}\) dan \(\{c,d\}\text{.}\) Jadi \(\{a,b\}\) maksimal di antara subhimpunan terhubung dan merupakan sebuah komponen.

Memang \(U\) dan \(V\) terbuka dan \(A\subseteq U\cup V\text{.}\) Namun \(U\cap A=\{c,d\}\) dan \(V\cap A=\{c\}\text{,}\) sehingga \(U\cap V\cap A=\{c\}\ne\emptyset\text{.}\) Karena irisan relatifnya tidak saling lepas, \(U\) dan \(V\) bukan pemisahan bagi \(A\text{.}\)

Ruang \(X\) sendiri terhubung, sebab komplemen \(\{a\}\text{,}\) \(\{b,c\}\text{,}\) dan \(\{a,b,c\}\) masing-masing \(\{b,c,d\}\text{,}\) \(\{a,d\}\text{,}\) dan \(\{d\}\text{,}\) yang tidak buka. Setelah \(d\) dihapus, topologi subruang pada \(X\setminus\{d\}=\{a,b,c\}\) adalah \(\{\emptyset,\{a\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}\text{.}\) Di sana \(\{a\}\) dan \(\{b,c\}\) membentuk pemisahan. Jadi penghapusan \(d\) memutus ruang, sehingga \(d\) adalah titik pemutus dan pernyataan tersebut salah.