Bagian Himpunan Terhubung
Seperti yang telah kita pelajari dalam kegiatan pratinjau, himpunan terhubung adalah himpunan yang tidak dapat dipisahkan menjadi gabungan himpunan-himpunan buka yang saling lepas. Karakterisasi lain dari keterhubungan akan ditetapkan dalam kegiatan berikut.
Kegiatan 18.2.
Misalkan \((X, \tau)\) suatu ruang topologi.
(a)
Asumsikan bahwa \(X\) merupakan ruang terhubung, dan misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\) yang sekaligus buka dan tertutup. Apa yang terjadi jika kita menggabungkan \(A\) dan \(X \setminus A\text{?}\) Apa yang dapat kita simpulkan dari fakta bahwa \(X\) terhubung mengenai \(A\text{?}\)
(b)
Sekarang asumsikan bahwa satu-satunya subhimpunan dari \(X\) yang sekaligus buka dan tertutup adalah \(\emptyset\) dan \(X\text{.}\) Apakah harus berlaku bahwa \(X\) terhubung? Buktikan pernyataan Anda.
(c)
Rangkum hasil kegiatan ini menjadi suatu teorema berbentuk “Suatu ruang topologi \((X, \tau)\) terhubung jika dan hanya jika ...”.
Contoh baku ruang topologi terhubung adalah ruang metrik \((\R, d_E)\text{.}\)
Teorema 18.2.
Ruang metrik \((\R, d_E)\) merupakan ruang topologi terhubung.
Bukti.
Kita menggunakan pembuktian dengan kontradiksi dan mengasumsikan bahwa terdapat himpunan buka takkosong \(U\) dan \(V\) sedemikian sehingga \(\R = U \cup V\) dan \(U \cap V = \emptyset\text{.}\) Misalkan \(a \in U\) dan \(b \in V\text{.}\) Karena \(U \cap V = \emptyset\text{,}\) kita mengetahui bahwa \(a \neq b\text{.}\) Tanpa mengurangi keumuman, kita dapat mengasumsikan \(a \lt b\text{.}\) Misalkan \(U' = U \cap [a,b]\) dan \(V' = V \cap [a,b]\text{.}\) Himpunan \(V'\) dibatasi dari bawah oleh \(a\text{,}\) sehingga \(x = \inf\{v \mid v \in V'\}\) ada. Karena \(\R = U \cup V\text{,}\) harus berlaku bahwa \(x \in U\) atau \(x \in V\text{.}\)
Misalkan \(x \in U\text{.}\) Fakta bahwa \(U\) merupakan himpunan buka menyiratkan bahwa terdapat \(\epsilon \gt 0\) sedemikian sehingga \(B(x, \epsilon) \subseteq U\text{.}\) Namun, dengan demikian \(B(x, \epsilon) \cap V = \emptyset\text{,}\) sehingga \(d(x,v) \geq \epsilon\) untuk setiap \(v \in V\text{.}\) Ini berarti bahwa \(x+\epsilon \lt v\) untuk setiap \(v \in V'\text{,}\) bertentangan dengan fakta bahwa \(x\) merupakan batas bawah terbesar. Kita menyimpulkan bahwa \(x \notin U\text{.}\)
Dengan demikian, \(x \in V\text{.}\) Karena \(a \in U\text{,}\) kita mengetahui bahwa \(x \neq a\text{.}\) Fakta bahwa \(V\) merupakan himpunan buka memberi tahu kita bahwa terdapat \(\delta \gt 0\) sedemikian sehingga \(B(x, \delta) \subseteq V\text{.}\) Kita dapat memilih \(\delta\) agar \(\delta \lt x-a\text{.}\) Karena \(x > a\text{,}\) interval \((x-\delta,
x)\) merupakan subhimpunan dari \(V'\text{,}\) sehingga \(x\) bukan batas bawah untuk \(V\text{.}\)
Setiap kemungkinan menghasilkan kontradiksi, sehingga kita menyimpulkan bahwa himpunan \(U\) dan \(V\) tersebut tidak mungkin ada. Oleh karena itu, \((\R, d_E)\) merupakan ruang topologi terhubung.
Seperti yang mungkin Anda duga, keterhubungan merupakan sifat topologis.
Kegiatan 18.3.
Misalkan \((X, \tau_X)\) dan \((Y, \tau_Y)\) ruang-ruang topologi, dan misalkan \(f : X \to Y\) suatu fungsi kontinu. Asumsikan bahwa \(X\) merupakan subhimpunan terhubung dari \(X\text{.}\) Tujuan kita adalah membuktikan bahwa \(f(X)\) merupakan subruang terhubung dari \(Y\text{.}\)
Misalkan \(Z = f(X)\) dan definisikan \(g: X \to Z\) dengan \(g(x) = f(x)\text{.}\) Maka \(g\) merupakan fungsi kontinu yang memetakan \(X\) pada \(Z\text{.}\) Jadi, kita meninjau \(g\) sebagai pengganti \(f\text{.}\)
(a)
Untuk memperoleh kontradiksi, asumsikan bahwa \(Z\) tidak terhubung. Apa yang kemudian kita asumsikan mengenai \(Z\text{?}\)
(b)
Misalkan \(U\) dan \(V\) himpunan buka takkosong yang saling lepas dalam \(Z\) sedemikian sehingga \(U \cup V = Z\text{.}\) Misalkan \(R = g^{-1}(U)\) dan \(S = g^{-1}(V)\text{.}\)
(i)
Jelaskan mengapa \(R\) dan \(S\) merupakan himpunan buka dalam \(X\text{.}\)
(ii)
Tunjukkan bahwa \(R \cup S = X\text{.}\) (Petunjuk: \(X = g^{-1}(Z)\text{.}\))
(iii)
Tunjukkan bahwa \(R\) dan \(S\) merupakan himpunan takkosong.
Petunjuk.Gunakan fakta bahwa \(g\) merupakan suatu surjeksi.
(iv)
Sekarang tunjukkan bahwa \(R \cap S = \emptyset\text{.}\) (Petunjuk: \(R \cap S = g^{-1}(U) \cap g^{-1}(V)\text{.}\))
(c)
Jelaskan bagaimana kita telah membuktikan pernyataan berikut.
Teorema 18.3.
Misalkan \((X, \tau_X)\) dan \((Y, \tau_Y)\) ruang-ruang topologi, dan misalkan \(f : X \to Y\) suatu fungsi kontinu. Jika \(X\) terhubung, maka \(f(X)\) terhubung.
Fakta bahwa keterhubungan dipertahankan oleh fungsi kontinu berarti bahwa keterhubungan merupakan sifat yang dimiliki bersama oleh setiap ruang topologi yang homeomorfik, sebagaimana ditunjukkan oleh akibat berikut.
Corollary 18.4.
Misalkan \((X, \tau_X)\) dan \((Y, \tau_Y)\) ruang topologi yang homeomorfik. Maka \(X\) terhubung jika dan hanya jika \(Y\) terhubung.
Bukti.
Misalkan
\((X, \tau_X)\) dan
\((Y, \tau_Y)\) ruang topologi, serta misalkan
\(f: X \to Y\) suatu homeomorfisme. Asumsikan bahwa
\(X\) terhubung. Karena
\(f\) kontinu,
Teorema 18.3 menunjukkan bahwa
\(f(X) = Y\) terhubung. Implikasi sebaliknya mengikuti dari fakta bahwa
\(f^{-1}\) merupakan homeomorfisme.
Ingatlah bahwa
\((\R,d_E)\) homeomorfik dengan subruang topologi
\((a,b)\text{,}\) \((-\infty,
b)\text{,}\) dan
\((a,\infty)\) untuk setiap
\(a, b \in \R\text{.}\) Fakta bahwa
\((\R, d_E)\) terhubung (
Teorema 18.2) memungkinkan kita menyimpulkan bahwa semua interval buka terhubung. Tampaknya wajar jika semua interval tertutup (atau setengah tertutup) juga terhubung. Selanjutnya kita akan membahas pertanyaan ini. Sebelum sampai pada hasil tersebut, kita meninjau perumusan alternatif untuk subhimpunan terhubung.
Perhatikan himpunan \(A = (-1,0) \cup (4,5)\) dalam \(\R\text{.}\) Misalkan \(U = (-2,3)\) dan \(V=(2,6)\) dalam \(\R\text{.}\) Perhatikan bahwa \(U' = U \cap A = (-1,0)\) dan \(V' = V \cap A = (4,5)\text{,}\) sehingga \(U\) dan \(V\) merupakan himpunan buka dalam \(\R\) yang memisahkan himpunan \(A\) menjadi dua bagian yang saling lepas. Kita mengetahui bahwa \(U'\) dan \(V'\) buka dalam \(A\) dan \(A = U' \cup V'\) dengan \(U' \cap V' = \emptyset\text{.}\) Jadi, untuk menunjukkan bahwa suatu subhimpunan dari ruang topologi \(X\) tidak terhubung, contoh ini mengisyaratkan bahwa cukup untuk menemukan himpunan buka takkosong \(U\) dan \(V\) dalam \(X\) dengan \(U \cap V \cap A = \emptyset\) dan \(A \subseteq (U \cup V)\text{.}\) Perhatikan bahwa \(U \cap V = \emptyset\) tidak perlu berlaku. Fakta bahwa cara ini berlaku secara umum merupakan hasil teorema berikut.
Teorema 18.5.
Misalkan \(X\) suatu ruang topologi. Suatu subhimpunan \(A\) dari \(X\) terputus jika dan hanya jika terdapat himpunan buka \(U\) dan \(V\) dalam \(X\) dengan
\(A \subseteq (U \cup V)\text{,}\)
\(U \cap A \neq \emptyset\text{,}\)
\(V \cap A \neq \emptyset\text{,}\) dan
\(U \cap V \cap A = \emptyset\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \(X\) suatu ruang topologi, dan misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Pertama-tama kita mengasumsikan bahwa \(A\) terputus dan menunjukkan bahwa terdapat himpunan buka \(U\) dan \(V\) dalam \(X\) yang memenuhi syarat-syarat yang diberikan. Karena \(A\) terputus, terdapat himpunan buka takkosong \(U'\) dan \(V'\) dalam \(A\) sedemikian sehingga \(U' \cup V' = A\) dan \(U' \cap V' = \emptyset\text{.}\) Karena \(U'\) dan \(V'\) buka dalam \(A\text{,}\) terdapat himpunan buka \(U\) dan \(V\) dalam \(X\) sedemikian sehingga \(U' = U \cap A\) dan \(V' = V \cap A\text{.}\) Sekarang
\begin{equation*}
A = U' \cup V' = (U \cap A) \cup (V \cap A) = (U \cup V) \cap A\text{,}
\end{equation*}
sehingga \(A \subseteq U \cup V\text{.}\) Berdasarkan konstruksi, \(U \cap A = U'\) dan \(V \cap A = V'\) tidak kosong. Terakhir,
\begin{equation*}
U \cap V \cap A = (U \cap A) \cap (V \cap A) = U' \cap V' = \emptyset\text{.}
\end{equation*}
Jadi, kita telah menemukan himpunan \(U\) dan \(V\) yang memenuhi syarat-syarat teorema kita.
Pembuktian implikasi sebaliknya diserahkan kepada kegiatan berikut.
Kegiatan 18.4.
Misalkan \(X\) suatu ruang topologi, dan misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Asumsikan bahwa terdapat himpunan buka \(U\) dan \(V\) dalam \(X\) dengan \(A \subseteq U \cup V\text{,}\) \(U \cap A \neq \emptyset\text{,}\) \(V \cap A \neq \emptyset\text{,}\) dan \(U \cap V \cap A = \emptyset\text{.}\) Buktikan bahwa \(A\) terputus.
Syarat-syarat dalam
Teorema 18.5 menyediakan cara yang mudah untuk menunjukkan bahwa suatu himpunan terputus, sehingga setiap pasangan himpunan
\(U\) dan
\(V\) yang memenuhi syarat-syarat
Teorema 18.5 diberi nama khusus.
Definisi 18.6.
Misalkan \(X\) suatu ruang topologi, dan misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Suatu pemisahan dari \(A\) adalah pasangan subhimpunan buka takkosong \(U\) dan \(V\) dari \(X\) sedemikian sehingga
\(A \subseteq (U \cup V)\text{,}\)
\(U \cap A \neq \emptyset\text{,}\)
\(V \cap A \neq \emptyset\text{,}\) dan
\(U \cap V \cap A = \emptyset\text{.}\)
Jika \(X\) merupakan ruang topologi yang terputus, maka suatu pemisahan dari \(X\) adalah pasangan \(U\text{,}\) \(V\) berupa himpunan buka takkosong yang saling lepas sedemikian sehingga \(U \cup V = X\text{.}\)
