Bagian Ringkasan
Gagasan-gagasan penting yang kita bahas dalam bagian ini mencakup hal-hal berikut.
- Ruang topologi \((X,\tau)\) disebut terhubung jika \(X\) tidak dapat ditulis sebagai gabungan dua subhimpunan buka tak kosong yang saling lepas. Subhimpunan \(A\) dari ruang topologi \((X,\tau)\) disebut terhubung jika \(A\) terhubung dalam topologi subruang.
- Pemisahan suatu subhimpunan \(A\) dari ruang topologi \(X\) adalah sepasang subhimpunan buka tak kosong \(U\) dan \(V\) dari \(X\) sedemikian sehingga
- \(A \subseteq (U \cup V)\text{,}\)
- \(U \cap A \neq \emptyset\text{,}\)
- \(V \cap A \neq \emptyset\text{,}\) dan
- \(U \cap V \cap A = \emptyset\text{.}\)
Menunjukkan bahwa suatu himpunan memiliki pemisahan dapat menjadi cara praktis untuk menunjukkan bahwa himpunan tersebut tidak terhubung. - Subhimpunan terhubung dari \(\R\) adalah interval dan himpunan satu titik.
- Subruang \(C\) dari ruang topologi \(X\) merupakan komponen terhubung dari \(X\) jika \(C\) terhubung dan tidak ada subruang terhubung yang lebih besar di dalam \(X\) yang memuat \(C\text{.}\)
- Salah satu penerapan keterhubungan adalah Teorema Nilai Antara, yang menyatakan bahwa jika \(A\) merupakan subhimpunan terhubung dari ruang topologi \(X\) dan jika \(f : A \to \R\) merupakan fungsi kontinu, maka untuk setiap \(a,b \in A\) dan setiap \(y \in \R\) di antara \(f(a)\) dan \(f(b)\text{,}\) terdapat titik \(x \in A\) sedemikian sehingga \(f(x) = y\text{.}\)
- Subhimpunan \(S\) dari ruang topologi terhubung \(X\) merupakan himpunan pemutus dari \(X\) jika himpunan \(X \setminus S\) tidak terhubung, sedangkan titik \(p\) di \(X\) merupakan titik pemutus jika \(X \setminus \{p\}\) tidak terhubung. Sifat sebagai himpunan pemutus atau titik pemutus merupakan invarian topologi, sehingga kadang-kadang kita dapat menggunakan himpunan pemutus dan titik pemutus untuk menunjukkan bahwa ruang-ruang topologi tidak homeomorfik.
