Latihan

Latihan Latihan

1.

Ingat dari Definisi 12.13 bahwa jika \(\tau_1\) dan \(\tau_2\) merupakan dua topologi pada himpunan \(X\) sedemikian sehingga \(\tau_1 \subseteq \tau_2\text{,}\) maka \(\tau_1\) disebut topologi yang lebih kasar (atau lebih lemah) daripada \(\tau_2\text{,}\) atau \(\tau_2\) disebut topologi yang lebih halus (atau lebih kuat) daripada \(\tau_1\text{.}\) Dalam latihan ini kita menyelidiki apakah kekompakan merupakan sifat yang diteruskan dari topologi yang lebih lemah ke topologi yang lebih kuat atau dari yang lebih kuat ke yang lebih lemah. Misalkan \(\tau_1\) dan \(\tau_2\) merupakan dua topologi pada himpunan \(X\text{.}\) Jika \(\tau_1 \subseteq \tau_2\text{,}\) apa yang tersirat oleh keterhubungan terhadap \(\tau_1\) atau \(\tau_2\text{,}\) jika ada, tentang kekompakan terhadap topologi yang lain? Berikan alasan untuk jawaban Anda.

2.

Misalkan \(f: [a,b] \to \R\) merupakan fungsi kontinu dari interval tertutup ke bilangan real. Misalkan \(U = f(u)\) dan \(V = f(v)\) sedemikian sehingga \(U \leq f(x) \leq V\) untuk setiap \(x \in [a,b]\text{.}\) Buktikan bahwa terdapat \(w\) di antara \(u\) dan \(v\) sedemikian sehingga \(f(w)(b-a) = \int_a^b f(t) \, dt\text{.}\)

3.

Misalkan \(A\) subhimpunan terhubung dari ruang topologi \(X\text{.}\) Buktikan atau sangkal:

(a)

\(\Int(A)\) terhubung

(b)

\(\overline{A}\) terhubung

(c)

\(\Bdry(A)\) terhubung

4.

Misalkan \(X = \R\) dengan topologi komplemen berhingga. Kita telah menunjukkan bahwa setiap subhimpunan dari ruang topologi mana pun dengan topologi komplemen berhingga bersifat kompak. Sekarang tentukan semua subhimpunan terhubung dari \(X\text{.}\) Buktikan hasil Anda.

5.

Berikan contoh, beserta alasannya, berupa subhimpunan \(A\) dan \(B\) dari suatu ruang topologi untuk menggambarkan setiap keadaan berikut, atau jelaskan mengapa contoh semacam itu tidak ada:

(a)

\(A\) dan \(B\) terhubung, tetapi \(A \cap B\) tidak terhubung

(b)

\(A\) dan \(B\) terhubung, tetapi \(A \setminus B\) tidak terhubung

(c)

\(A\) dan \(B\) tidak terhubung, tetapi \(A \cup B\) terhubung

(d)

\(A\) dan \(B\) terhubung dan \(A \cap B \neq \emptyset\text{,}\) tetapi \(A \cup B\) tidak terhubung.

(e)

\(A\) dan \(B\) terhubung dan \(\overline{A} \cap \overline{B} \neq \emptyset\text{,}\) tetapi \(A \cup B\) tidak terhubung.

6.

Misalkan \(f: S^1 \to \R\) merupakan fungsi kontinu. Tunjukkan bahwa terdapat titik \(x \in S^1\) yang memenuhi \(f(x) = f(-x)\text{.}\)

7.

Misalkan \(a, b \in \R\) dengan \(a \lt b\text{.}\) Jelaskan mengapa tidak ada dua di antara himpunan \((a,b)\text{,}\) \((a,b]\text{,}\) dan \([a,b]\) yang homeomorfik.

8.

Misalkan \(K = \left\{\frac{1}{k} \mid k \text{ adalah bilangan bulat positif} \right\}\text{.}\) Misalkan \(\B\) koleksi semua interval buka berbentuk \((a,b)\) dan semua himpunan berbentuk \((a,b) \setminus K\text{,}\) dengan \(a \lt b\) bilangan real sebagaimana dalam Contoh 13.13. Misalkan \(\tau_K\) topologi yang dibangkitkan oleh \(\B\text{.}\) Tunjukkan bahwa \((\R, \tau_K)\) merupakan ruang terhubung.

9.

Meskipun \(X = (0,1) \cup (1,2)\) bukan ruang terhubung, jika \(x\) merupakan sembarang unsur di \(X\text{,}\) kita dapat mengelilingi \(x\) dengan suatu subhimpunan terhubung dari \(X\text{.}\) Inilah gagasan keterhubungan lokal.

Definisi. Ruang topologi \(X\) disebut terhubung secara lokal di suatu titik \(x \in X\) jika setiap lingkungan \(U\) dari \(x\) memuat lingkungan buka dan terhubung dari \(x\text{.}\) Ruang topologi \(X\) disebut terhubung secara lokal jika \(X\) terhubung secara lokal di setiap titik dalam \(X\text{.}\)

(a)

Berikan contoh ruang yang terhubung secara lokal tetapi tidak terhubung.

(b)

Wajar jika kita menduga bahwa ruang terhubung bersifat terhubung secara lokal. Namun, hal itu tidak selalu benar. Tinjau ruang \(X = A \cup B\) sebagai subruang dari \(\R^2\) dengan topologi metrik Euklides standar, dengan \(A = \{(x,y) \mid x \text{ irasional dan } 0 \leq y \leq 1\}\) dan \(B = \{(x,y) \mid x \text{ rasional dan } -1 \leq y \leq 0\}\text{.}\)

(i)

Jelaskan mengapa \(X\) terhubung.

(ii)

Tunjukkan bahwa \(X\) tidak terhubung secara lokal.

Petunjuk.

Misalkan \(x\) suatu titik yang tidak berada pada sumbu-\(x\text{,}\) lalu temukan bola buka di sekitar \(x\) yang tidak beririsan dengan sumbu-\(x\text{.}\)

(c)

Buktikan bahwa ruang topologi \(X\) terhubung secara lokal jika dan hanya jika, untuk setiap himpunan buka \(O\) di \(X\text{,}\) komponen-komponen terhubung dari \(O\) terbuka di \(X\text{.}\)

10.

Misalkan \(A\) dan \(B\) subhimpunan tak kosong dari ruang topologi \(X\text{.}\)

(a)

Buktikan bahwa \(A \cup B\) tidak terhubung jika \((\overline{A} \cap B ) \cup (A \cap \overline{B}) = \emptyset\text{.}\)

(b)

Buktikan bahwa \(X\) terhubung jika dan hanya jika, untuk setiap pasangan subhimpunan tak kosong \(A\) dan \(B\) dari \(X\) sedemikian sehingga \(X = A \cup B\text{,}\) berlaku \((\overline{A} \cap B ) \cup (A \cap \overline{B}) \neq \emptyset\text{.}\)

11.

Berikan contoh untuk setiap hal berikut.

(a)

Ruang topologi dengan tepat satu titik pemutus.

(b)

Ruang topologi dengan tepat dua titik pemutus.

(c)

Ruang topologi dengan tak berhingga banyak titik pemutus.

(d)

Ruang topologi tanpa titik pemutus.

12.

Misalkan \(a, b \in \R\) dengan \(a \lt b\text{.}\) Buktikan bahwa suatu homeomorfisme \(f: [a,b] \to [a,b]\) memetakan titik ujung ke titik ujung.

13.

Misalkan \(X\) dan \(Y\) ruang-ruang topologi.

(a)

Andaikan \(X\) dan \(Y\) merupakan ruang-ruang yang homeomorfik. Buktikan bahwa terdapat korespondensi satu-satu antara komponen-komponen terhubung dari \(X\) dan komponen-komponen terhubung dari \(Y\text{.}\)

(b)

Andaikan \(X\) dan \(Y\) merupakan ruang-ruang yang homeomorfik. Buktikan bahwa terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan titik pemutus dari \(X\) dan himpunan titik pemutus dari \(Y\text{.}\)

(c)

Pandang setiap huruf dalam pernyataan berikut sebagai ruang topologi dengan topologi metrik Euklides standar.

TOPOLOGY IS NEAT

Kelompokkan huruf-huruf dalam pernyataan tersebut ke dalam kelas-kelas homeomorfisme yang saling lepas. Jelaskan secara terperinci alasan pengelompokan Anda.

14.

Misalkan \((X, \tau)\) ruang topologi.

(a)

Buktikan bahwa \(X\) tidak terhubung jika dan hanya jika \(X\) memiliki subhimpunan sejati yang sekaligus buka dan tertutup.

(b)

Buktikan bahwa \(X\) tidak terhubung jika dan hanya jika terdapat fungsi kontinu surjektif dari \(X\) ke suatu ruang topologi diskret dengan dua titik.

15.

Misalkan \(X\) himpunan bilangan real.

(a)

Tinjau \(X\) dengan topologi \(\tau_1 = \{\emptyset, [0,1], X\}\text{.}\) Buktikan atau sangkal: \(X\) terhubung.

(b)

Tinjau \(X\) dengan topologi \(\tau_2 = \{U \subseteq X \mid 0 \in U\} \cup \{\emptyset\}\text{.}\)

(i)

Buktikan atau sangkal: \(X\) terhubung.

(ii)

Buktikan atau sangkal: \(X \setminus \{0\}\) terhubung.

16.

Misalkan \(X\) himpunan tak kosong dan \(p\) suatu unsur tetap di \(X\text{.}\) Misalkan \(\tau_p\) topologi titik khusus dan \(\tau_{\overline{p}}\) topologi titik yang dikecualikan pada \(X\text{.}\) Artinya,

\(\tau_{p}\) adalah koleksi subhimpunan dari \(X\) yang terdiri atas \(\emptyset\text{,}\) \(X\text{,}\) dan semua subhimpunan dari \(X\) yang memuat \(p\text{.}\)
\(\tau_{\overline{p}}\) adalah koleksi subhimpunan dari \(X\) yang terdiri atas \(\emptyset\text{,}\) \(X\text{,}\) dan semua subhimpunan dari \(X\) yang tidak memuat \(p\text{.}\)

Fakta bahwa topologi titik khusus dan topologi titik yang dikecualikan benar-benar merupakan topologi dibahas dalam Latihan 9 dan Latihan 10. Tentukan, beserta bukti, subhimpunan-subhimpunan terhubung dari \(X\) ketika

(a)

\(X\) memiliki topologi titik khusus \(\tau_p\)

(b)

\(X\) memiliki topologi titik yang dikecualikan \(\tau_{\overline{p}}\text{.}\)

17.

Misalkan \((X, \tau)\) ruang topologi dan \(A\) subhimpunan terhubung dari \(X\text{.}\)

(a)

Tunjukkan bahwa jika \(X\) Hausdorff, maka \(A'\) terhubung.

(b)

Misalkan \((X, \tau) = (\R, \tau_0)\text{,}\) dengan \(\tau_0\) topologi titik khusus pada \(X\text{.}\) Jelaskan mengapa \(A = \Z\) merupakan subhimpunan terhubung dari \(X\text{.}\) Tentukan \(\Z'\) dalam \((\R, \tau_0)\text{.}\) Benarkah bahwa dalam setiap ruang topologi, jika \(A\) terhubung, maka \(A'\) juga terhubung? Jelaskan. (Lihat Latihan 16.)

18.

Misalkan \(X\) ruang topologi. Buktikan setiap pernyataan berikut.

(a)

Setiap \(a \in X\) merupakan unsur dari tepat satu komponen terhubung \(C_a\) dari \(X\text{.}\)

(b)

Komponen \(C_a\) memuat semua subhimpunan terhubung dari \(X\) yang memuat \(a\text{.}\) Jadi, \(C_a\) merupakan gabungan semua subhimpunan terhubung dari \(X\) yang memuat \(a\text{.}\)

(c)

Jika \(a\) dan \(b\) berada di \(X\text{,}\) maka \(C_a = C_b\) atau \(C_a \cap C_b = \emptyset\text{.}\)

(d)

Setiap subhimpunan terhubung dari \(X\) merupakan subhimpunan dari suatu komponen terhubung.

(e)

Setiap komponen terhubung dari \(X\) merupakan subhimpunan tertutup dari \(X\text{.}\)

(f)

Ruang \(X\) terhubung jika dan hanya jika \(X\) memiliki tepat satu komponen terhubung.

19.

Misalkan \(X\) ruang topologi yang hanya memiliki berhingga banyak komponen terhubung. Tunjukkan bahwa setiap komponen dari \(X\) terbuka.

20.

Misalkan \(X\) dan \(Y\) ruang-ruang terhubung dengan \(f : X \to Y\) suatu fungsi kontinu. Benarkah bahwa jika \(S\) merupakan himpunan pemutus dari \(X\text{,}\) maka \(f(S)\) merupakan himpunan pemutus dari \(Y\text{?}\) Buktikan jawaban Anda.

21.

Misalkan \(X = \{a,b,c,d\}\text{.}\) Terdapat 355 topologi berbeda pada \(X\text{,}\) tetapi semuanya terbagi ke dalam 33 kelas homeomorfisme berbeda yang tercantum di bawah ini. Daftar tersebut diurutkan berdasarkan banyaknya himpunan satu titik dalam topologi secara menurun, lalu, jika jumlah itu sama, berdasarkan banyaknya subhimpunan dua titik secara menaik dan kemudian banyaknya subhimpunan tiga titik secara menaik. Dalam topologi mana saja \(X\) terhubung? Buktikan jawaban Anda.

(a)

topologi diskret

(b)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a,b,c\}, X\}\)

(c)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a,b,c\}, \{a,b,d\}, X\}\)

(d)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a,d\}, \{a,b,c\}, \{a,b,d\}, \{a,c,d\}, X\}\)

(e)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, X\}\)

(f)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, \{a,b,c\}, X\}\)

(g)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, \{a,c,d\}, X\}\)

(h)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, \{a,b,c\}, \{a,b,d\}, X\}\)

(i)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{a,b,c\}, X\}\)

(j)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{a,b,c\}, \{a,c,d\}, X\}\)

(k)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{a,b,c\}, \{a,b,d\}, X\}\)

(l)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, \{c,d\}, \{a,c,d\}, \{b,c,d\}, X\}\)

(m)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{a,d\}, \{a,b,c\}, \{a,b,d\}, X\}\)

(n)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{a,d\}, \{a,b,c\}, \{a,b,d\}, \{a,c,d\}, X\}\)

(o)

\(\{\emptyset, \{a\}, X\}\)

(p)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{a,b\}, X\}\)

(q)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{a,b\}, \{a,b,c\}, X\}\)

(r)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{b,c\}, \{a,b,c\}, X\}\)

(s)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{a,b\}, \{a,c,d\}, X\}\)

(t)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{a,b\}, \{a,b,c\}, \{a,b,d\}, X\}\)

(u)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{b,c\}, \{a,b,c\}, \{b,c,d\}, X\}\)

(v)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{a,b,c\}, X\}\)

(w)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{a,b,c\}, \{a,b,d\}, X\}\)

(x)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{c,d\}, \{a,b\}, \{a,c,d\}, X\}\)

(y)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{a,d\}, \{a,b,c\}, \{a,b,d\}, \{a,c,d\}, X\}\)

(z)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{a,b,c\}, X\}\)

(aa)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{b,c,d\}, X\}\)

(ab)

\(\{\emptyset, \{a,b\}, X\}\)

(ac)

\(\{\emptyset, \{a,b\}, \{c,d\}, X\}\)

(ad)

\(\{\emptyset, \{a,b\}, \{a,b,c\}, X\}\)

(ae)

\(\{\emptyset, \{a,b\}, \{a,b,c\}, \{a,b,d\}, X\}\)

(af)

\(\{\emptyset, \{a,b,c\}, X\}\)

(ag)

\(\{\emptyset, X\}\)

22.

Untuk setiap pernyataan berikut, jawablah benar jika pernyataan tersebut selalu benar. Jika pernyataan itu hanya kadang-kadang benar atau tidak pernah benar, jawablah salah dan berikan contoh konkret yang menunjukkan bahwa pernyataan tersebut salah. Jika suatu pernyataan benar, jelaskan alasannya.

(a)

Jika \(A\) merupakan subhimpunan terhubung dari ruang topologi \(X\) dengan \(|A| \geq 2\text{,}\) maka setiap titik dari \(A\) merupakan titik limit dari \(A\text{.}\)

(b)

Jika \(A\) merupakan subruang kompak dari ruang Hausdorff, maka \(A\) terhubung.

(c)

Jika \(A\) merupakan subruang terhubung dari ruang Hausdorff, maka \(A\) kompak.

(d)

Setiap subhimpunan dari ruang topologi dengan topologi diskret tidak terhubung.

(e)

Himpunan \(\{a,b\}\) merupakan komponen terhubung dari ruang topologi \(X = \{a,b,c,d\}\) dengan topologi

\begin{equation*} \tau = \{\emptyset, \{a\}, \{a,b\}, \{c\}, \{d\}, \{c,d\}, \{a,c,d\}, \{a,c\}, \{a,d\}, \{a,b,c\}, \{a,b,d\}, X\}\text{.} \end{equation*}

(f)

Himpunan \(U = \{a,c,d\}\) dan \(V = \{a,b,c\}\) membentuk suatu pemisahan bagi himpunan \(A = \{c,d\}\) dalam ruang topologi \(X = \{a,b,c,d\}\) dengan topologi

\begin{equation*} \tau = \{\emptyset, \{a\}, \{a,b\}, \{c\}, \{d\}, \{c,d\}, \{a,c,d\}, \{a,c\}, \{a,d\}, \{a,b,c,\}, \{a,b,d\}, X\}\text{.} \end{equation*}

(g)

Ruang topologi terhubung \(X = \{a,b,c,d\}\) dengan topologi

\begin{equation*} \tau = \{\emptyset, \{a\}, \{b,c\}, \{a,b,c\}, X\} \end{equation*}

tidak memiliki titik pemutus.