Definisi U.79.
Subhimpunan \(K\subseteq X\) disebut lingkungan kompak dari \(x\) jika \(K\) kompak dan memuat suatu himpunan buka yang mengandung \(x\text{.}\) Ruang \(X\) disebut kompak lokal jika setiap titik mempunyai lingkungan kompak.
Bagian Kekompakan Lokal dan Kompaktifikasi Satu Titik
Kekompakan global sering terlalu kuat untuk ruang seperti \(\mathbb R^n\text{,}\) tetapi banyak argumen hanya memerlukan lingkungan kompak di sekitar setiap titik. Kekompakan lokal menangkap keadaan itu. Pada ruang Hausdorff tak kompak, semua arah menuju tak hingga kemudian dapat disatukan menjadi satu titik melalui kompaktifikasi satu titik.
Subbagian Lingkungan kompak dan penyusutan lokal
Teorema U.80.
Jika \(X\) kompak lokal dan Hausdorff, maka untuk setiap titik \(x\) dan lingkungan buka \(O\) dari \(x\text{,}\) terdapat himpunan buka \(V\) dengan \(x\in V\subseteq\overline V\subseteq O\) dan \(\overline V\) kompak. Khususnya, setiap ruang kompak lokal Hausdorff bersifat reguler.
Bukti.
Pilih lingkungan kompak \(K\) dari \(x\) dan himpunan buka \(U\) dengan \(x\in U\subseteq K\text{.}\) Dalam ruang Hausdorff, \(K\) tertutup dan, sebagai ruang kompak Hausdorff, bersifat reguler. Himpunan \(U\cap O\) terbuka relatif dalam \(K\) dan memuat \(x\text{.}\) Pilih himpunan buka relatif \(W\) dalam \(K\) dengan \(x\in W\subseteq\overline W^{,K}\subseteq U\cap O\text{.}\) Karena \(W\subseteq U\) dan \(U\) terbuka dalam \(X\text{,}\) \(W\) dapat ditulis sebagai himpunan buka \(V\) dalam \(X\text{.}\) Penutupnya dalam \(X\) sama dengan penutupnya dalam subruang tertutup \(K\text{,}\) sehingga kompak dan termuat dalam \(O\text{.}\)
Contoh U.81.
Ruang \(\mathbb R^n\) kompak lokal: bola buka \(B_1(x)\) termuat dalam bola tertutup \(\overline{B_1(x)}\text{,}\) yang kompak menurut Teorema Heine–Borel. Ruang itu tidak kompak bila \(n\ge1\text{.}\)
Subbagian Pewarisan dan hasil kali
Teorema U.82.
Subruang tertutup dari ruang kompak lokal bersifat kompak lokal. Subruang terbuka dari ruang kompak lokal Hausdorff juga kompak lokal dan Hausdorff.
Bukti.
Misalkan \(F\) tertutup dalam \(X\) dan \(x\in F\text{.}\) Jika \(K\) lingkungan kompak \(x\) dalam \(X\text{,}\) maka \(K\cap F\) kompak dan memuat lingkungan relatif dari \(x\text{;}\) jadi \(F\) kompak lokal.
Misalkan \(U\) terbuka dalam ruang kompak lokal Hausdorff dan \(x\in U\text{.}\) Teorema penyusutan memberi himpunan buka \(V\) dengan \(x\in V\subseteq\overline V\subseteq U\) dan \(\overline V\) kompak. Maka \(\overline V\) adalah lingkungan kompak \(x\) di dalam subruang \(U\text{.}\) Sifat Hausdorff bersifat herediter.
Teorema U.83.
Misalkan semua \(X_i\) tak kosong dan Hausdorff. Hasil kali \(\prod_{i\in I}X_i\) kompak lokal jika dan hanya jika setiap \(X_i\) kompak lokal dan semua kecuali berhingga banyak faktor \(X_i\) kompak.
Bukti.
Untuk arah maju, pilih titik dasar pada semua faktor. Setiap faktor homeomorfik dengan irisan tertutup yang membiarkan satu koordinat berubah, maka merupakan subruang tertutup dari hasil kali kompak lokal dan karena itu kompak lokal. Pilih lingkungan basis hasil kali \(B=\prod_iU_i\) yang termuat dalam suatu lingkungan kompak \(K\text{.}\) Hanya berhingga banyak \(U_i\) yang berbeda dari \(X_i\text{.}\) Untuk indeks lain, proyeksi \(K\) memuat seluruh \(X_i\text{;}\) karena proyeksi kontinu dari ruang kompak adalah kompak, \(X_i\) kompak.
Untuk arah balik, pisahkan berhingga banyak faktor yang mungkin tidak kompak dari semua faktor kompak. Hasil kali semua faktor kompak adalah kompak menurut Teorema Tychonoff. Hasil kali berhingga ruang kompak lokal Hausdorff bersifat kompak lokal: kalikan lingkungan kompak pada setiap koordinat. Hasil kali ruang kompak lokal dengan ruang kompak kembali kompak lokal, sehingga seluruh hasil kali kompak lokal.
Catatan U.84.
Kekompakan lokal tidak herediter untuk subruang sebarang. Sebagai contoh, subruang \(\mathbb Q\subseteq\mathbb R\) tidak kompak lokal: penutup relatif setiap lingkungan rasional memuat barisan Cauchy rasional yang menuju bilangan irasional dan karena itu tidak kompak.
Subbagian Kompaktifikasi satu titik
Definisi U.85.
Misalkan \(X\) ruang kompak lokal Hausdorff yang tidak kompak dan pilih titik baru \(\infty\notin X\text{.}\) Pada \(\alpha X=X\cup\{\infty\}\text{,}\) nyatakan semua himpunan buka dalam \(X\) tetap terbuka, dan nyatakan himpunan yang memuat \(\infty\) terbuka tepat ketika komplemennya dalam \(X\) kompak. Ruang \(\alpha X\) disebut kompaktifikasi satu titik atau kompaktifikasi Alexandroff dari \(X\text{.}\)
Teorema U.86.
Ruang \(\alpha X\) adalah ruang kompak Hausdorff, dan \(X\) merupakan subruang terbuka padat di dalamnya.
Bukti.
Keluarga yang dinyatakan terbuka membentuk topologi: irisan berhingga lingkungan \(\infty\) berkomplemen gabungan berhingga himpunan kompak, sedangkan gabungan sebarang lingkungan \(\infty\) berkomplemen irisan tertutup dari salah satu komplemen kompak dan karena itu kompak. Topologi terinduksi pada \(X\) adalah topologi semula dan \(X\) terbuka.
Untuk selimut buka \(\alpha X\text{,}\) pilih anggota \(U_\infty\) yang memuat \(\infty\text{.}\) Komplemen \(K=\alpha X\setminus U_\infty\) kompak dalam \(X\text{,}\) sehingga dapat ditutupi oleh berhingga banyak anggota selimut. Bersama \(U_\infty\text{,}\) ini memberi subselimut berhingga.
Dua titik dalam \(X\) dipisahkan oleh sifat Hausdorff \(X\text{.}\) Untuk \(x\in X\) dan \(\infty\text{,}\) gunakan teorema penyusutan untuk memilih himpunan buka \(V\) dengan \(x\in V\) dan \(\overline V\) kompak. Himpunan \(V\) dan \(\alpha X\setminus\overline V\) merupakan lingkungan buka saling lepas dari \(x\) dan \(\infty\text{.}\) Jadi \(\alpha X\) Hausdorff. Terakhir, setiap lingkungan \(\infty\) memotong \(X\) karena jika tidak, komplemennya adalah seluruh \(X\text{,}\) yang tidak kompak. Maka \(X\) padat.
Teorema U.87.
Jika \(Y\) kompak Hausdorff, \(X\) subruang terbuka padat dari \(Y\text{,}\) dan \(Y\setminus X\) terdiri atas satu titik, maka terdapat homeomorfisme \(\alpha X\to Y\) yang membatasi pada identitas \(X\text{.}\)
Bukti.
Kirim titik \(\infty\) ke satu-satunya titik \(Y\setminus X\) dan tetapkan identitas pada \(X\text{.}\) Pemetaan ini bijektif. Jika \(U\) lingkungan titik tambahan di \(Y\text{,}\) komplemennya tertutup dalam ruang kompak, maka kompak dan termuat dalam \(X\text{;}\) prapeta \(U\) karena itu terbuka dalam \(\alpha X\text{.}\) Kekontinuan pada titik-titik \(X\) jelas. Bijeksi kontinu dari ruang kompak ke ruang Hausdorff adalah homeomorfisme.
Contoh U.88.
Kompaktifikasi satu titik \(\mathbb R^n\) homeomorfik dengan bola \(n\)-dimensi \(S^n\text{;}\) titik tambahan adalah kutub yang hilang pada proyeksi stereografik. Kompaktifikasi satu titik ruang diskret \(\mathbb N\) homeomorfik dengan \(\{0\}\cup\{1/n:n\ge1\}\text{,}\) dengan \(\infty\) dipetakan ke \(0\text{.}\)
Subbagian Latihan Penguasaan dengan Dukungan Bertahap
Pemeriksaan U.89. Ruang Euklides kompak lokal.
Buktikan bahwa \(\mathbb R^n\) kompak lokal tetapi tidak kompak untuk \(n\ge1\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Gunakan bola tertutup untuk sifat lokal dan selimut bola berpusat di asal untuk nonkekompakan.
Bola tertutup kompak menurut Heine–Borel; selimut \(\{B_k(0):k\ge1\}\) tidak mempunyai subselimut berhingga.
Untuk setiap \(x\text{,}\) bola tertutup \(\overline{B_1(x)}\) kompak menurut Heine–Borel dan memuat lingkungan buka \(B_1(x)\text{,}\) jadi merupakan lingkungan kompak. Di sisi lain, \(\{B_k(0):k\in\mathbb Z^+\}\) menyelimuti \(\mathbb R^n\text{.}\) Gabungan berhingga keluarga bersarang ini sama dengan bola terbesar dan tidak menutupi seluruh ruang. Maka \(\mathbb R^n\) tidak kompak.
Pemeriksaan U.90. Subruang terbuka dan tertutup.
Buktikan bahwa subruang tertutup dari ruang kompak lokal tetap kompak lokal, dan bahwa subruang terbuka dari ruang kompak lokal Hausdorff tetap kompak lokal.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Irisankan lingkungan kompak dengan subruang tertutup; untuk subruang terbuka, susutkan lingkungan agar penutupnya tetap di dalam subruang.
Gunakan \(K\cap F\) pada kasus tertutup dan \(\overline V\subseteq U\) pada kasus terbuka.
Jika \(F\) tertutup dan \(K\) lingkungan kompak \(x\in F\text{,}\) maka \(K\cap F\) tertutup dalam \(K\text{,}\) sehingga kompak, dan memuat lingkungan relatif \(F\) dari \(x\text{.}\) Jika \(U\) terbuka dan \(x\in U\text{,}\) teorema penyusutan pada ruang Hausdorff memberi \(V\) terbuka dengan \(x\in V\subseteq\overline V\subseteq U\) dan \(\overline V\) kompak. Penutup itu menjadi lingkungan kompak \(x\) dalam \(U\text{.}\)
Pemeriksaan U.91. Topologi kompaktifikasi satu titik.
Verifikasi langsung bahwa keluarga himpunan buka pada \(\alpha X\) dalam definisi kompaktifikasi satu titik benar-benar merupakan topologi.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Terjemahkan gabungan dan irisan himpunan yang memuat \(\infty\) menjadi irisan dan gabungan komplemen kompak.
Gunakan kestabilan kekompakan terhadap gabungan berhingga dan terhadap subhimpunan tertutup.
Himpunan kosong dan seluruh \(\alpha X\) memenuhi definisi. Irisan berhingga himpunan yang memuat \(\infty\) mempunyai komplemen berupa gabungan berhingga himpunan kompak, maka kompak. Untuk gabungan sebarang yang memuat \(\infty\text{,}\) pilih satu anggota \(U_0\) yang memuat titik itu. Komplemen gabungan adalah irisan semua komplemen dan merupakan subhimpunan tertutup dari komplemen kompak \(\alpha X\setminus U_0\text{;}\) jadi kompak. Operasi yang hanya melibatkan himpunan buka dalam \(X\) mengikuti topologi \(X\text{,}\) dan kasus campuran mengikuti dua argumen yang sama.
Pemeriksaan U.92. Kompaktifikasi satu titik ruang diskret terhitung.
Tunjukkan bahwa kompaktifikasi satu titik \(\mathbb N\) diskret homeomorfik dengan \(A=\{0\}\cup\{1/n:n\ge1\}\) dalam \(\mathbb R\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Kirim \(n\) ke \(1/n\) dan \(\infty\) ke \(0\text{.}\)
Lingkungan \(0\) di \(A\) memuat semua kecuali berhingga banyak titik \(1/n\text{.}\)
Pemetaan yang diberikan bijektif. Setiap \(1/n\) terisolasi dalam \(A\text{,}\) sesuai dengan keterbukaan titik \(n\text{.}\) Suatu lingkungan relatif dari \(0\) memuat \(A\cap(-\varepsilon,\varepsilon)\) dan karena itu semua kecuali berhingga banyak \(1/n\text{.}\) Sebaliknya, setiap himpunan yang memuat \(0\) dan semua kecuali berhingga banyak \(1/n\) memuat lingkungan relatif \(0\text{.}\) Ini tepat bersesuaian dengan lingkungan \(\infty\) yang berkomplemen kompak; pada ruang diskret, subhimpunan kompak tepat subhimpunan berhingga. Jadi bijeksi tersebut homeomorfisme.
Pemeriksaan U.93. Keunikan kompaktifikasi satu titik.
Misalkan \(Y\) kompak Hausdorff, \(X\) terbuka padat dalam \(Y\text{,}\) dan \(Y\setminus X=\{p\}\text{.}\) Buktikan bahwa perluasan identitas yang mengirim \(\infty\) ke \(p\) adalah homeomorfisme \(\alpha X\to Y\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Komplemen lingkungan \(p\) tertutup dalam ruang kompak dan termuat dalam \(X\text{.}\)
Perluasan itu bijektif kontinu; gunakan teorema bijeksi kompak-ke-Hausdorff.
Pemetaan perluasan jelas bijektif dan kontinu pada \(X\text{.}\) Jika \(U\) lingkungan buka \(p\text{,}\) komplemen \(Y\setminus U\) tertutup dalam ruang kompak, sehingga kompak; karena tidak memuat \(p\text{,}\) komplemen itu termuat dalam \(X\text{.}\) Prapeta \(U\) karena itu merupakan lingkungan \(\infty\) dalam \(\alpha X\text{.}\) Jadi pemetaan kontinu di semua titik. Domainnya kompak dan kodomainnya Hausdorff, maka bijeksi kontinu itu homeomorfisme.
Pemeriksaan U.94. Pemetaan proper dan titik di tak hingga.
Misalkan \(X,Y\) ruang kompak lokal Hausdorff tak kompak dan \(f:X\to Y\) kontinu. Buktikan bahwa rumus \(\bar f(\infty_X)=\infty_Y\) memperluas \(f\) menjadi pemetaan kontinu \(\alpha X\to\alpha Y\) jika dan hanya jika \(f\) proper, yakni prapeta setiap subhimpunan kompak \(Y\) kompak dalam \(X\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Uji kekontinuan di titik tambahan pada lingkungan yang berkomplemen kompak.
Prapeta \(\alpha Y\setminus K\) adalah \(\alpha X\setminus f^{-1}(K)\text{.}\)
Jika \(f\) proper dan \(K\subseteq Y\) kompak, maka \(f^{-1}(K)\) kompak. Karena itu prapeta lingkungan \(\alpha Y\setminus K\) dari \(\infty_Y\) adalah lingkungan \(\alpha X\setminus f^{-1}(K)\) dari \(\infty_X\text{.}\) Jadi \(\bar f\) kontinu di titik tambahan dan sudah kontinu pada \(X\text{.}\)
Sebaliknya, andaikan \(\bar f\) kontinu dan \(K\subseteq Y\) kompak. Dalam ruang Hausdorff \(\alpha Y\text{,}\) himpunan \(K\) tertutup. Maka \(\bar f^{-1}(K)\) tertutup dalam ruang kompak \(\alpha X\text{,}\) sehingga kompak. Himpunan ini tidak memuat \(\infty_X\) dan sama dengan \(f^{-1}(K)\text{,}\) jadi \(f\) proper.
