Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Edisi Lengkap Bahasa Indonesia — Dua Puluh Bab, Pendamping Belajar Mandiri, dan Pelengkap C90

Steven Schlicker

Bagian Metrisasi: dari Pseudometrik ke Teorema Urysohn

Topologi sering diberikan tanpa rumus jarak. Masalah metrisasi menanyakan kapan himpunan-himpunan buka itu sebenarnya dapat dihasilkan oleh suatu metrik. Modul ini membedakan pseudometrik dari metrik, membuktikan cara keduanya menghasilkan topologi, membangun metrik ekuivalen, dan memberi jalur bukti yang jujur untuk Teorema Metrisasi Urysohn.
Seluruh modul ini merupakan karya pendamping orisinal berlisensi CC BY 4.0. Modul ini bukan teks atau solusi resmi Steven Schlicker maupun Grand Valley State University dan tidak menyatakan atau menyiratkan dukungan mereka. Teks utama edisi tetap diperlakukan secara konservatif sebagai turunan CC BY-NC-SA 3.0. Provenans produksi berbantuan model: OpenAI Codex gpt-5.6-sol, Ultra.

Subbagian Pseudometrik, metrik, dan kuosien nol

Definisi U.95.

Sebuah pseudometrik pada himpunan \(X\) adalah fungsi \(p:X\times X\to[0,\infty)\) yang memenuhi
\begin{equation*} p(x,x)=0,\qquad p(x,y)=p(y,x),\qquad p(x,z)\leq p(x,y)+p(y,z). \end{equation*}
Sebuah metrik adalah pseudometrik yang juga memenuhi \(p(x,y)=0\Rightarrow x=y\text{.}\) Jadi pseudometrik mengizinkan dua titik berbeda berjarak nol, sedangkan metrik memisahkan titik.

Definisi U.96.

Untuk \(r>0\text{,}\) bola pseudometrik berpusat di \(x\) adalah \(B_p(x,r)=\{y\in X:p(x,y)<r\}\text{.}\) Topologi yang diinduksi oleh \(p\) terdiri atas semua \(U\subseteq X\) sedemikian sehingga untuk setiap \(x\in U\) ada \(r>0\) dengan \(B_p(x,r)\subseteq U\text{.}\)

Bukti.

Setiap titik \(x\) berada dalam setiap \(B_p(x,r)\text{.}\) Jika \(z\in B_p(x,r)\cap B_p(y,s)\text{,}\) pilih
\begin{equation*} 0<t<\min\{r-p(x,z),s-p(y,z)\}. \end{equation*}
Untuk \(w\in B_p(z,t)\text{,}\) ketaksamaan segitiga memberi \(p(x,w)<r\) dan \(p(y,w)<s\text{.}\) Jadi \(B_p(z,t)\) termuat dalam irisan kedua bola, tepat syarat basis.

Bukti.

Refleksivitas dan simetri langsung. Jika \(p(x,y)=p(y,z)=0\text{,}\) ketaksamaan segitiga memberi \(p(x,z)=0\text{,}\) jadi relasi transitif. Jika \(x\sim x'\) dan \(y\sim y'\text{,}\) maka
\begin{equation*} p(x,y)\leq p(x,x')+p(x',y')+p(y',y)=p(x',y'), \end{equation*}
dan pertukaran pasangan memberi ketaksamaan sebaliknya. Jadi rumus \(d\) tidak bergantung pada wakil. Semua aksioma metrik diwarisi, sedangkan \(d([x],[y])=0\) tepat ketika \([x]=[y]\text{.}\)
Bila \(p(x,y)=0\text{,}\) ketaksamaan segitiga memberi \(|p(x,z)-p(y,z)|\leq p(x,y)=0\text{.}\) Karena itu \(x\) dan \(y\) berada dalam bola-bola yang sama dan mempunyai lingkungan buka yang sama. Sebaliknya, jika \(p(x,y)>0\text{,}\) bola \(B_p(x,p(x,y)/2)\) memuat \(x\) tetapi tidak \(y\text{.}\)

Contoh U.99.

Pada himpunan dengan sedikitnya dua titik, fungsi \(p(x,y)=0\) untuk semua \(x,y\) adalah pseudometrik dan menginduksi topologi indisret. Ia bukan metrik. Kuosien nolnya terdiri atas satu titik.

Subbagian Informasi topologis yang dipaksa oleh metrik

Bukti.

Jika \(x\ne y\text{,}\) ambil \(r=d(x,y)/3\text{.}\) Bola \(B_d(x,r)\) dan \(B_d(y,r)\) saling lepas, sehingga ruang Hausdorff dan karenanya \(T_1\text{.}\) Jika \(F\) tertutup dan \(x\notin F\text{,}\) komplemen \(X\setminus F\) terbuka, jadi ada \(r>0\) dengan \(B_d(x,r)\cap F=\emptyset\text{.}\) Bola \(B_d(x,r/3)\) dan gabungan \(\bigcup_{y\in F}B_d(y,r/3)\) memisahkan \(x\) dan \(F\text{;}\) maka ruang reguler.
Untuk setiap lingkungan \(U\) dari \(x\text{,}\) pilih \(r>0\) dengan \(B_d(x,r)\subseteq U\text{,}\) lalu pilih \(n\) dengan \(1/n<r\text{.}\) Ini membuktikan sifat terhitung pertama.

Catatan U.101.

Ruang metrik tidak harus terhitung kedua. Himpunan tak terhitung dengan metrik diskret adalah ruang metrik, tetapi setiap basis harus memuat semua singleton dan karena itu tak terhitung. Jadi keterhitungan kedua dalam Teorema Urysohn adalah hipotesis cukup yang kuat, bukan syarat perlu bagi setiap ruang yang dapat dimetrisasi.

Bukti.

Kekontinuan topologis diterapkan pada bola \(B_\rho(f(x),\varepsilon)\) menghasilkan bola domain yang termuat dalam prapetanya. Sebaliknya, syarat epsilon-delta membuat prapeta setiap bola kodomain menjadi lingkungan setiap titiknya, sehingga prapeta setiap himpunan buka adalah buka.

Subbagian Metrik ekuivalen dan gabungan pseudometrik

Definisi U.103.

Dua metrik pada himpunan yang sama disebut ekuivalen secara topologis jika keduanya menginduksi topologi yang sama. Ini lebih lemah daripada ekuivalensi seragam: topologi yang sama tidak harus memberi barisan Cauchy yang sama.

Bukti.

Fungsi \(t\mapsto\min\{1,t\}\text{,}\) \(t\mapsto t/(1+t)\text{,}\) dan \(t\mapsto t^\alpha\) meningkat, bernilai nol tepat di nol, dan bersifat subaditif pada \([0,\infty)\text{;}\) jadi komposisinya dengan \(d\) memenuhi ketaksamaan segitiga. Untuk radius kecil, bola-bolanya diperoleh dari bola \(d\) dengan perubahan radius monoton. Misalnya, untuk \(0<r<1\text{,}\)
\begin{equation*} B_{d_2}(x,r)=B_d\left(x,\frac{r}{1-r}\right), \end{equation*}
sedangkan \(B_{d^\alpha}(x,r)=B_d(x,r^{1/\alpha})\text{.}\) Maka basis lingkungannya sama.

Contoh U.105.

Pada \(\R\text{,}\) metrik biasa \(d(x,y)=|x-y|\) dan \(\rho(x,y)=|\arctan x-\arctan y|\) menginduksi topologi yang sama, karena \(\arctan\) adalah homeomorfisme ke \(( -\pi/2,\pi/2)\text{.}\) Namun barisan \(x_n=n\) bukan Cauchy untuk \(d\text{,}\) sementara \(\arctan n\) konvergen dan karena itu \((x_n)\) Cauchy untuk \(\rho\text{.}\) Jadi kedua metrik tidak ekuivalen secara seragam.

Bukti.

Deret konvergen mutlak dan seragam karena suku ke-\(n\) paling besar \(2^{-n}\text{.}\) Setiap suku adalah pseudometrik setelah pemotongan, sehingga penjumlahan mempertahankan simetri dan ketaksamaan segitiga. Nilai \(d(x,y)\) nol tepat ketika semua \(p_n(x,y)\) nol, yang membuktikan kriteria pemisahan titik.
Setiap syarat \(p_n(x,y)<\varepsilon\leq1\) dipaksa oleh \(d(x,y)<2^{-n}\varepsilon\text{,}\) jadi semua bola koordinat terbuka dalam topologi \(d\text{.}\) Sebaliknya, untuk bola \(d\) berjari-jari \(\varepsilon\text{,}\) pilih \(N\) sehingga \(\sum_{n>N}2^{-n}<\varepsilon/2\text{.}\) Pilih batas positif pada \(p_1,\ldots,p_N\) yang membuat jumlah bagian awal kurang dari \(\varepsilon/2\text{.}\) Irisan berhingga bola-bola koordinat tersebut termuat dalam bola \(d\text{.}\) Jadi kedua topologi sama.

Subbagian Teorema Metrisasi Urysohn

Definisi U.107.

Dalam modul ini, reguler berarti: jika \(F\) tertutup dan \(x\notin F\text{,}\) maka \(x\) dan \(F\) mempunyai lingkungan buka saling lepas. Syarat \(T_1\) dinyatakan terpisah; ia tidak disisipkan ke dalam istilah “reguler”.

Bukti.

Misalkan \(A,B\) tertutup dan saling lepas, dan \(\mathcal B=\{B_1,B_2,\ldots\}\) basis terhitung. Regularitas membuat anggota-anggota basis \(U_n\) dengan \(\overline{U_n}\cap B=\emptyset\) menutupi \(A\text{.}\) Demikian pula, anggota basis \(V_n\) dengan \(\overline{V_n}\cap A=\emptyset\) menutupi \(B\text{.}\) Pengulangan anggota bila perlu membuat kedua daftar terindeks oleh bilangan positif.
Definisikan
\begin{equation*} U=\bigcup_{n\geq1}\left(U_n\setminus\bigcup_{k\leq n}\overline{V_k}\right),\qquad V=\bigcup_{n\geq1}\left(V_n\setminus\bigcup_{k\leq n}\overline{U_k}\right). \end{equation*}
Keduanya terbuka, \(A\subseteq U\text{,}\) dan \(B\subseteq V\text{.}\) Jika suatu titik berada dalam suku ke-\(n\) dari \(U\) dan suku ke-\(m\) dari \(V\text{,}\) maka \(m\leq n\) membuatnya dikeluarkan oleh \(\overline{V_m}\text{,}\) sedangkan \(n\leq m\) membuatnya dikeluarkan oleh \(\overline{U_n}\text{.}\) Keduanya mustahil, jadi \(U\cap V=\emptyset\text{.}\) Maka \(X\) normal.

Bukti.

Normalitas memberi operasi penyusutan: jika \(F\subseteq G\text{,}\) dengan \(F\) tertutup dan \(G\) terbuka, ada \(U\) terbuka sehingga \(F\subseteq U\subseteq\overline U\subseteq G\text{.}\) Terapkan operasi ini secara rekursif pada bilangan dyadik \(r\in[0,1]\) untuk membangun himpunan buka \(U_r\) dengan \(A\subseteq U_0\text{,}\) \(\overline{U_r}\subseteq U_s\) bila \(r<s\text{,}\) dan \(\overline{U_r}\cap B=\emptyset\) untuk \(r<1\text{.}\)
Tetapkan \(f(x)=\inf\{r:x\in U_r\}\text{,}\) dengan nilai \(1\) bila himpunan indeks kosong. Hubungan penutupan bersarang menunjukkan \(f^{-1}([0,a))=\bigcup_{r<a}U_r\) dan bahwa \(f^{-1}((a,1])\) juga buka melalui komplemen penutupan yang sesuai. Prapeta subbasis interval di \([0,1]\) karena itu buka, sehingga \(f\) kontinu. Konstruksi memberi nilai nol pada \(A\) dan satu pada \(B\text{.}\)

Bukti.

Ambil basis terhitung \(\mathcal B\text{.}\) Pertimbangkan semua pasangan \((U,V)\in\mathcal B^2\) dengan \(\overline U\subseteq V\text{.}\) Keluarga pasangan ini terhitung. Lemma sebelumnya membuat \(X\) normal. Untuk setiap pasangan, Lema Urysohn diterapkan pada himpunan tertutup \(\overline U\) dan \(X\setminus V\text{,}\) menghasilkan fungsi kontinu \(f_{U,V}:X\to[0,1]\) yang bernilai nol pada \(\overline U\) dan satu di luar \(V\text{.}\) Daftarkan fungsi-fungsi itu sebagai \(f_1,f_2,\ldots\text{.}\)
Keluarga ini memisahkan titik dan memulihkan topologi. Memang, jika \(x\ne y\text{,}\) sifat \(T_1\) membuat \(X\setminus\{y\}\) lingkungan buka dari \(x\text{.}\) Regularitas dan basis memberi \(x\in U\) serta \(\overline U\subseteq V\subseteq X\setminus\{y\}\text{.}\) Maka \(f_{U,V}(x)=0\) dan \(f_{U,V}(y)=1\text{.}\) Lebih umum, jika \(O\) buka dan \(x\in O\text{,}\) pilih pasangan basis dengan \(x\in U\) dan \(\overline U\subseteq V\subseteq O\text{.}\) Himpunan \(f_{U,V}^{-1}([0,1))\) adalah lingkungan buka dari \(x\) yang termuat dalam \(V\subseteq O\text{.}\) Jadi topologi semula adalah topologi awal keluarga \(\{f_n\}\text{.}\)
Akhirnya tetapkan
\begin{equation*} d(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}|f_n(x)-f_n(y)|. \end{equation*}
Teorema jumlah pseudometrik menunjukkan bahwa \(d\) adalah pseudometrik yang menginduksi topologi awal keluarga fungsi. Pemisahan titik membuat \(d(x,y)>0\) untuk \(x\ne y\text{.}\) Jadi \(d\) adalah metrik yang menginduksi tepat topologi asli.

Subbagian Mengapa hipotesis Urysohn tidak boleh diabaikan

Contoh U.111. Tanpa T1: ruang indisret.

Ruang indisret dua titik terhitung kedua dan reguler menurut definisi pemisahan titik-dari-himpunan-tertutup yang tidak memasukkan \(T_1\text{:}\) tidak ada pasangan titik dan himpunan tertutup taktrivial yang harus dipisahkan. Namun ruang itu bukan \(T_1\text{,}\) sedangkan setiap ruang metrik \(T_1\text{;}\) jadi ruang itu tidak dapat dimetrisasi. Ia hanya dapat dipseudometrisasi oleh pseudometrik nol.

Contoh U.112. Tanpa regularitas: topologi K.

Ambil \(K=\{1/n:n\geq1\}\) dan basis pada \(\R\) yang terdiri atas interval biasa serta himpunan \((a,b)\setminus K\text{.}\) Ruang \(\R_K\) bersifat Hausdorff, \(T_1\text{,}\) dan terhitung kedua, tetapi tidak reguler dan karena itu tidak dapat dimetrisasi.
Himpunan \(K\) tertutup dan \(0\notin K\text{.}\) Setiap lingkungan basis \(( -\varepsilon,\varepsilon)\setminus K\) dari \(0\) beririsan dengan setiap himpunan buka yang memuat seluruh \(K\text{:}\) untuk \(1/n<\varepsilon\text{,}\) lingkungan titik \(1/n\in K\) harus memuat interval biasa di sekitarnya, dan interval itu memuat titik bukan-\(K\) dekat \(1/n\text{.}\) Jadi \(0\) dan \(K\) tidak dapat dipisahkan oleh lingkungan buka saling lepas.

Contoh U.113. Tanpa keterhitungan kedua: kubus tak terhitung.

Untuk himpunan indeks tak terhitung \(I\text{,}\) kubus \([0,1]^I\) dengan topologi hasil kali adalah kompak Hausdorff, sehingga \(T_1\) dan reguler, tetapi tidak dapat dimetrisasi. Di titik nol, setiap lingkungan basis membatasi hanya berhingga banyak koordinat. Jika ada basis lingkungan terhitung \(U_1,U_2,\ldots\text{,}\) pilih lingkungan basis \(B_n\subseteq U_n\) dan gabungkan semua koordinat yang dibatasi oleh \(B_n\text{.}\) Gabungan itu terhitung, jadi ada \(j\in I\) di luarnya. Lingkungan \(W=\{x:x_j<1/2\}\) dari nol tidak memuat satu pun \(B_n\text{,}\) kontradiksi. Maka ruang tidak terhitung pertama, sedangkan setiap ruang metrik terhitung pertama.

Catatan U.114.

Contoh-contoh ini menunjukkan bahwa setelah sebuah hipotesis dibuang, kesimpulan metrisasi tidak lagi dijamin. Mereka tidak menyatakan bahwa setiap hipotesis perlu bagi setiap ruang yang dapat dimetrisasi. Misalnya, ruang diskret tak terhitung dapat dimetrisasi tetapi tidak terhitung kedua.

Subbagian Latihan Penguasaan dengan Dukungan Bertahap

Pada \(\R^2\text{,}\) definisikan \(p((x,y),(u,v))=|x-u|\text{.}\) Tentukan kelas jarak nol, ruang kuosien, dan metrik kuosiennya.
Petunjuk.
Dua titik berjarak nol tepat ketika koordinat pertamanya sama.
Jawaban.
Kelasnya adalah garis vertikal; kuosien berkorespondensi dengan \(\R\) dan metriknya adalah jarak biasa.
Solusi.
Persamaan \(p((x,y),(u,v))=0\) setara dengan \(x=u\text{,}\) jadi kelas \([(x,y)]\) adalah \(\{x\}\times\R\text{.}\) Pemetaan kelas itu ke \(x\) bijektif dari kuosien ke \(\R\text{.}\) Metrik kuosien memenuhi \(d([(x,y)],[(u,v)])=|x-u|\text{,}\) sehingga di bawah bijeksi tersebut tepat metrik Euklides pada garis real.
Buktikan langsung bahwa bola-bola metrik membentuk basis dan bahwa dua titik berbeda mempunyai bola terbuka saling lepas.
Petunjuk.
Untuk titik dalam irisan dua bola, gunakan sisa radius positif. Untuk pemisahan titik, gunakan sepertiga jaraknya.
Jawaban.
Ketaksamaan segitiga memberi pemurnian irisan dan membuat bola berjari-jari \(d(x,y)/3\) saling lepas.
Solusi.
Jika \(z\in B(x,r)\cap B(y,s)\text{,}\) pilih \(t\) lebih kecil dari \(r-d(x,z)\) dan \(s-d(y,z)\text{.}\) Untuk \(w\in B(z,t)\text{,}\) ketaksamaan segitiga menempatkan \(w\) dalam kedua bola, sehingga syarat basis terpenuhi. Jika \(x\ne y\text{,}\) tetapkan \(r=d(x,y)/3\text{.}\) Jika suatu \(z\) berada dalam kedua bola \(B(x,r)\) dan \(B(y,r)\text{,}\) maka \(d(x,y)<2r=2d(x,y)/3\text{,}\) kontradiksi. Jadi ruang Hausdorff.
Untuk metrik \(d\text{,}\) buktikan bahwa \(\rho=d/(1+d)\) adalah metrik dan mempunyai himpunan buka yang sama dengan \(d\text{.}\)
Petunjuk.
Fungsi \(h(t)=t/(1+t)\) meningkat dan subaditif; untuk \(0<r<1\text{,}\) selesaikan \(h(t)<r\text{.}\)
Jawaban.
\(B_\rho(x,r)=B_d(x,r/(1-r))\) untuk \(r<1\text{,}\) sehingga kedua basis lokal sama.
Solusi.
Simetri dan pemisahan titik langsung. Untuk \(a,b\geq0\text{,}\) perhitungan silang menunjukkan \(h(a+b)\leq h(a)+h(b)\text{;}\) bersama ketaksamaan segitiga \(d\text{,}\) ini memberi ketaksamaan segitiga bagi \(\rho\text{.}\) Karena \(h\) meningkat dan inversnya pada \([0,1)\) adalah \(h^{-1}(r)=r/(1-r)\text{,}\) identitas bola dalam jawaban berlaku. Bola dengan radius kurang dari satu sudah membentuk basis, jadi topologinya sama.
Pada \(X=[0,1]^{\N}\text{,}\) ambil \(p_n(x,y)=|x_n-y_n|\text{.}\) Buktikan bahwa \(d(x,y)=\sum_{n\geq1}2^{-n}p_n(x,y)\) adalah metrik yang menginduksi topologi hasil kali.
Petunjuk.
Koordinat memisahkan titik. Kendalikan berhingga banyak koordinat dan buat ekor deret kecil.
Jawaban.
Teorema jumlah pseudometrik berlaku; lingkungan hasil kali hanya membatasi berhingga banyak koordinat, persis mekanisme bagian awal dan ekor deret.
Solusi.
Setiap \(p_n\) pseudometrik dan keluarga itu memisahkan titik, jadi jumlah berbobot adalah metrik. Bola \(d\) yang cukup kecil memaksa koordinat tertentu dekat karena \(2^{-n}p_n\leq d\text{.}\) Sebaliknya, untuk radius \(\varepsilon\text{,}\) pilih \(N\) dengan \(\sum_{n>N}2^{-n}<\varepsilon/2\text{,}\) lalu batasi koordinat pertama sampai ke-\(N\) sehingga jumlah awal kurang dari \(\varepsilon/2\text{.}\) Lingkungan silinder hasil kali itu termuat dalam bola \(d\text{.}\) Maka kedua topologi sama.
Verifikasi bahwa topologi \(K\) pada \(\R\) bersifat \(T_1\) dan terhitung kedua tetapi tidak reguler.
Petunjuk.
Gunakan basis berujung rasional. Untuk kegagalan regularitas, pisahkan titik \(0\) dari himpunan tertutup \(K=\{1/n\}\text{.}\)
Jawaban.
Topologi lebih halus dari topologi biasa, basis rasionalnya terhitung, dan setiap lingkungan \(0\) beririsan dengan setiap lingkungan buka \(K\text{.}\)
Solusi.
Karena setiap interval biasa terbuka, topologi \(K\) lebih halus dari topologi Hausdorff biasa; maka ia Hausdorff dan \(T_1\text{.}\) Interval berujung rasional bersama selisihnya dengan \(K\) membentuk basis terhitung. Komplemen \(K\) terbuka, jadi \(K\) tertutup dan tidak memuat \(0\text{.}\) Setiap lingkungan \(0\) memuat \(( -\varepsilon,\varepsilon)\setminus K\text{.}\) Jika \(V\) terbuka dan memuat \(K\text{,}\) untuk \(1/n<\varepsilon\) ruang \(V\) memuat interval biasa sekitar \(1/n\text{,}\) yang bertemu \(( -\varepsilon,\varepsilon)\setminus K\text{.}\) Jadi pemisahan reguler mustahil.
Untuk indeks tak terhitung \(I\text{,}\) buktikan bahwa \([0,1]^I\) tidak terhitung pertama di titik nol dan karena itu tidak dapat dimetrisasi.
Petunjuk.
Dari keluarga lingkungan terhitung, pilih lingkungan basis di dalam masing-masing. Semua koordinat yang dibatasi tetap hanya terhitung.
Jawaban.
Pilih koordinat \(j\) yang tidak pernah dibatasi; lingkungan \(x_j<1/2\) tidak memuat satu pun kandidat basis.
Solusi.
Andaikan \(U_n\) basis lingkungan terhitung di nol. Pilih lingkungan basis hasil kali \(B_n\subseteq U_n\text{;}\) setiap \(B_n\) membatasi himpunan koordinat berhingga \(F_n\text{.}\) Gabungan \(F=\bigcup_nF_n\) terhitung. Pilih \(j\in I\setminus F\text{.}\) Himpunan \(W=\{x:x_j<1/2\}\) adalah lingkungan nol. Karena \(B_n\) tidak membatasi koordinat \(j\text{,}\) ia memuat titik dengan \(x_j=1\text{,}\) jadi \(B_n\nsubseteq W\) untuk semua \(n\text{.}\) Ini bertentangan dengan sifat basis lingkungan. Ruang metrik selalu terhitung pertama, maka kubus itu tidak dapat dimetrisasi.
Misalkan \(X\) reguler, \(T_1\text{,}\) dan mempunyai basis terhitung. Jelaskan secara lengkap bagaimana fungsi-fungsi Urysohn menghasilkan metrik yang menginduksi topologi \(X\text{.}\)
Petunjuk.
Daftarkan pasangan basis \(\overline U\subseteq V\text{,}\) pisahkan \(\overline U\) dari \(X\setminus V\text{,}\) lalu jumlahkan selisih koordinat dengan bobot \(2^{-n}\text{.}\)
Jawaban.
Fungsi terhitung \(f_n:X\to[0,1]\) memisahkan titik dan menghasilkan topologi semula; metriknya \(d(x,y)=\sum2^{-n}|f_n(x)-f_n(y)|\text{.}\)
Solusi.
Regularitas dan basis terhitung membuat \(X\) normal melalui konstruksi diagonal pasangan basis. Untuk setiap pasangan basis \(\overline U\subseteq V\text{,}\) Lema Urysohn memberi fungsi kontinu yang nol pada \(\overline U\) dan satu di luar \(V\text{.}\) Pasangan-pasangan itu terhitung, jadi fungsi dapat didaftarkan sebagai \(f_n\text{.}\) Jika \(x\ne y\text{,}\) gunakan \(T_1\text{,}\) regularitas, dan basis untuk memilih \(x\in U\) serta \(\overline U\subseteq V\subseteq X\setminus\{y\}\text{;}\) koordinat terkait membedakan \(x\) dan \(y\text{.}\) Untuk setiap \(x\in O\) terbuka, pilih \(x\in U\) dan \(\overline U\subseteq V\subseteq O\text{;}\) prapeta \([0,1)\) pada koordinat terkait adalah lingkungan \(x\) di dalam \(O\text{,}\) sehingga fungsi-fungsi memulihkan topologi. Jumlah berbobot adalah metrik karena koordinat memisahkan titik, dan teorema jumlah pseudometrik menunjukkan topologinya tepat topologi awal fungsi-fungsi itu, yaitu topologi asli \(X\text{.}\)
Pada \(\R\text{,}\) bandingkan \(d(x,y)=|x-y|\) dan \(\rho(x,y)=|\arctan x-\arctan y|\text{.}\) Buktikan bahwa topologinya sama tetapi struktur Cauchy-nya berbeda.
Petunjuk.
Gunakan homeomorfisme \(\arctan\text{.}\) Uji barisan \(x_n=n\text{.}\)
Jawaban.
Kedua metrik ekuivalen secara topologis, tetapi \(n\) Cauchy untuk \(\rho\) dan bukan Cauchy untuk \(d\text{.}\)
Solusi.
Pemetaan \(\arctan:\R\to(-\pi/2,\pi/2)\) adalah homeomorfisme. Metrik \(\rho\) adalah tarikan balik metrik Euklides melalui homeomorfisme itu, sehingga menghasilkan topologi biasa, sama dengan \(d\text{.}\) Barisan \(\arctan n\) konvergen ke \(\pi/2\) dalam \(\R\text{,}\) maka Cauchy; jadi \(n\) Cauchy untuk \(\rho\text{.}\) Namun untuk setiap \(N\text{,}\) ambil \(m=N\) dan \(n=2N\text{;}\) jarak \(d(m,n)=N\text{,}\) sehingga barisan bukan Cauchy untuk \(d\text{.}\) Jadi kesamaan topologi tidak menjamin ekuivalensi seragam.
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>