Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Edisi Lengkap Bahasa Indonesia — Dua Puluh Bab, Pendamping Belajar Mandiri, dan Pelengkap C90

Fungsi \(p:[0,1]\to\R\text{,}\) \(p(t)=(1-t)a+tb\text{,}\) kontinu sebagai fungsi polinomial. Nilai ujungnya adalah \(p(0)=a\) dan \(p(1)=b\text{.}\) Karena konstruksi ini berlaku untuk setiap pasangan \(a,b\text{,}\) garis real Euklides terhubung lintasan.

Jika \(a=b\text{,}\) lintasan konstan kontinu. Jika \(a\ne b\) dan \(U\) buka kofinit, komplemen \(\R\setminus U\) berhingga. Karena \(p\) injektif, \(p^{-1}(\R\setminus U)\) berhingga dan tertutup dalam \([0,1]\text{;}\) maka \(p^{-1}(U)\) buka. Jadi \(p\) kontinu dan menghubungkan pasangan titik sebarang.

Satu-satunya himpunan buka taktrivial dalam \(A\) ialah \(\{c\}\text{,}\) sehingga tidak ada dua himpunan buka takkosong yang saling lepas dan menutupi \(A\text{.}\) Jadi \(A\) terhubung. Definisikan \(p(0)=b\) dan \(p(t)=c\) untuk \(t>0\text{.}\) Prapeta \(\{c\}\) adalah \((0,1]\text{,}\) yang buka dalam \([0,1]\text{;}\) maka \(p\) kontinu. Membalik parameter memberi lintasan dari \(c\) ke \(b\text{,}\) sedangkan lintasan konstan menangani ujung yang sama.

Suatu subruang terhubung lintasan berarti bahwa untuk setiap dua titiknya terdapat lintasan di dalam subruang tersebut. Karena \(a,b\in A\text{,}\) definisi langsung menghasilkan fungsi kontinu \(p:[0,1]\to A\) dengan kedua nilai ujung yang diminta.

Komposisi \(q=f\circ p:[0,1]\to f(A)\) kontinu karena \(p\) dan pembatasan \(f|_A\) kontinu. Selain itu, \(q(0)=f(a)=u\) dan \(q(1)=f(b)=v\text{.}\) Pasangan \(u,v\) dipilih sebarang, sehingga \(f(A)\) terhubung lintasan.

Pada \(A=[0,1/2]\text{,}\) fungsi \(t\mapsto p(2t)\) kontinu; pada \(B=[1/2,1]\text{,}\) fungsi \(t\mapsto q(2t-1)\) kontinu. Kedua himpunan tertutup dan menutupi domain. Di irisannya, kedua rumus memberi \(p(1)=b=q(0)\text{.}\) Lemma Penempelan menghasilkan fungsi kontinu pada seluruh interval. Nilainya di \(0\) adalah \(a\) dan di \(1\) adalah \(c\text{.}\)

Fungsi konstan \(p:[0,1]\to X\text{,}\) \(p(t)=a\text{,}\) kontinu dan memenuhi \(p(0)=p(1)=a\text{.}\) Jadi setiap elemen berelasi dengan dirinya sendiri, persis syarat refleksif.

Pemetaan \(t\mapsto1-t\) kontinu, sehingga komposisinya dengan \(p\) kontinu. Nilai ujung \(r(0)=p(1)=b\) dan \(r(1)=p(0)=a\text{.}\) Maka relasi simetris.

Ambil lintasan \(p:a\leadsto b\) dan \(q:b\leadsto c\text{.}\) Konstruksi pada panduan sebelumnya mendefinisikan fungsi kontinu yang mengikuti \(p\) selama separuh waktu pertama dan \(q\) selama separuh kedua. Fungsi itu berawal di \(a\) dan berakhir di \(c\text{,}\) sehingga \(a\sim c\text{.}\)

Komplemen himpunan buka nontrivial berturut-turut ialah \(\{a,c,d\}\text{,}\) \(\{a,b,d\}\text{,}\) \(\{c,d\}\text{,}\) \(\{a,d\}\text{,}\) \(\{d\}\text{,}\) dan \(\{a\}\text{;}\) tidak satu pun termasuk \(\tau\text{.}\) Jadi tidak ada himpunan buka-tertutup nontrivial. Karena pemisahan akan menghasilkan himpunan semacam itu, \(X\) terhubung.

Himpunan buka yang memuat \(a\) mempunyai irisan \(\{a,b\}\text{.}\) Karena singleton \(\{b\}\) dan \(\{c\}\) sendiri terbuka, irisan minimal di kedua titik itu masing-masing singleton. Satu-satunya himpunan buka sejati yang memuat \(d\) adalah \(\{b,c,d\}\text{,}\) selain \(X\text{,}\) sehingga irisannya \(\{b,c,d\}\text{.}\)

Himpunan buka yang mengenai citra \(\{b,d\}\) memberi prapeta: himpunan yang memuat \(b\) tetapi tidak \(d\) memberi \([0,1/2)\text{;}\) seluruh \(U_d\) memberi domain; dan himpunan yang tidak mengenai citra memberi himpunan kosong. Ketiganya buka relatif dalam \([0,1]\text{.}\) Jadi \(p\) kontinu, dengan \(p(0)=b\) dan \(p(1)=d\text{.}\)

Prapeta himpunan buka yang memuat \(c\) tetapi tidak \(d\) adalah \([0,1/2)\text{;}\) prapeta \(U_d\) adalah seluruh domain; prapeta himpunan buka lain yang tidak mengenai \(c\) adalah kosong. Semua terbuka relatif. Karena nilai ujungnya tepat \(c\) dan \(d\text{,}\) fungsi tersebut adalah lintasan yang diminta.

Sudah tersedia lintasan \(b\leadsto d\) dan \(c\leadsto d\text{;}\) lintasan konstan menangani \(d\text{.}\) Pembalikan memberi lintasan keluar dari \(d\text{.}\) Untuk titik \(u,v\in U_d\text{,}\) tempelkan lintasan \(u\leadsto d\) dengan lintasan \(d\leadsto v\text{.}\) Hasilnya lintasan \(u\leadsto v\text{,}\) sehingga \(U_d\) terhubung lintasan.

Himpunan \(O\) adalah salah satu himpunan buka yang diiris untuk membentuk \(U_x\text{,}\) jadi \(U_x\subseteq O\text{.}\) Karena \(y\in U_x\text{,}\) kedua nilai fungsi, \(x\) dan \(y\text{,}\) berada dalam \(O\text{.}\) Dengan demikian setiap parameter dipetakan ke \(O\text{,}\) sehingga prapetanya seluruh domain.

Pada \(0\leq t<1/2\text{,}\) nilai \(p(t)=y\in O\text{.}\) Pada \(1/2\leq t\leq1\text{,}\) nilainya \(x\notin O\text{.}\) Jadi prapeta tepat \([0,1/2)\text{,}\) yang terbuka dalam topologi subruang \([0,1]\text{.}\)

Tidak ada nilai parameter yang dipetakan ke \(O\text{,}\) sebab kedua kemungkinan nilai fungsi berada di luar \(O\text{.}\) Maka prapeta kosong, yang terbuka.

Jika \(x\in O\text{,}\) prapeta seluruh domain. Jika \(x\notin O\) dan \(y\in O\text{,}\) prapeta \([0,1/2)\text{.}\) Jika keduanya di luar \(O\text{,}\) prapeta kosong. Jadi \(p\) kontinu. Nilai \(p(0)=y\) dan \(p(1)=x\text{,}\) sehingga \(p\) lintasan dari \(y\) ke \(x\text{.}\)

Panduan sebelumnya memberi lintasan dari setiap \(y\in U_x\) ke \(x\text{.}\) Untuk \(y,z\in U_x\text{,}\) ambil lintasan \(y\leadsto x\) dan balik lintasan \(z\leadsto x\) menjadi \(x\leadsto z\text{.}\) Hasil kali keduanya kontinu dan menghubungkan \(y\) ke \(z\text{.}\) Jadi \(U_x\) terhubung lintasan.

Komponen lintasan \(P\) terhubung lintasan, maka terhubung. Himpunan \(P\cup C\) adalah gabungan dua himpunan terhubung yang beririsan di \(x\text{,}\) sehingga terhubung. Maksimalitas komponen \(C\) memaksa \(P\cup C=C\text{,}\) yaitu \(P\subseteq C\text{.}\)

Setiap komponen lintasan dari \(X\) terbuka karena \(X\) terhubung lintasan secara lokal. Jika \(C\ne P\text{,}\) maka \(Q\text{,}\) gabungan semua komponen lintasan lain yang beririsan dengan \(C\text{,}\) takkosong. Komponen-komponen lintasan mempartisi \(X\text{,}\) jadi \(C=P\sqcup Q\text{.}\) Himpunan \(P\cap C=P\) terbuka relatif dalam \(C\text{;}\) \(Q\cap C=Q\) juga terbuka relatif sebagai gabungan komponen lintasan terbuka. Keduanya takkosong, saling lepas, dan menutupi \(C\text{,}\) sehingga memisahkan \(C\text{.}\) Ini bertentangan dengan keterhubungan komponen \(C\text{.}\) Maka \(C=P\text{.}\)