BagianKeterhubungan Lintasan sebagai Relasi Ekuivalensi
Kita telah melihat bahwa kita dapat mendefinisikan relasi ekuivalensi menggunakan subhimpunan-subhimpunan terhubung dari suatu ruang topologi, yang mempartisi ruang tersebut menjadi gabungan saling lepas dari komponen-komponen terhubung. Kita mungkin berharap dapat melakukan hal serupa dengan keterhubungan lintasan. Kesulitan utamanya terletak pada sifat transitif. Seperti diilustrasikan dalam Gambar 19.5, jika kita memiliki lintasan \(p\) dari \(a\) ke \(b\) dan lintasan \(q\) dari \(b\) ke \(c\text{,}\) tampaknya kita cukup mengikuti lintasan \(p\) dari \(a\) ke \(b\text{,}\) lalu lintasan \(q\) dari \(b\) ke \(c\) untuk memperoleh lintasan dari \(a\) ke \(c\text{.}\) Namun, ada dua masalah yang perlu dipertimbangkan: bagaimana kita mendefinisikan lintasan ini sebagai fungsi dari \([0,1]\) ke ruang kita, dan bagaimana kita mengetahui bahwa fungsi yang dihasilkan kontinu. Lemma berikut akan membantu.
Gambar19.5.Lintasan dari \(a\) ke \(c\text{.}\)
Lema19.6.Lemma Penempelan.
Misalkan \(A\) dan \(B\) subhimpunan tertutup dari ruang \(X = A \cup B\text{,}\) dan misalkan \(f:A \to Y\) serta \(g: B \to Y\) fungsi kontinu ke ruang \(Y\) sedemikian sehingga \(f(x)=g(x)\) untuk setiap \(x \in (A \cap B)\text{.}\) Maka fungsi \(h:X \to Y\) yang didefinisikan oleh
\begin{equation*}
h(x) = \begin{cases}f(x) \amp \text{ jika } x \in A \\ g(x) \amp \text{ jika } x \in B \end{cases}
\end{equation*}
adalah kontinu.
Gambar19.7.Lemma Penempelan.
Bukti.
Misalkan \(A\) dan \(B\) subhimpunan tertutup dari ruang \(X = A \cup B\text{,}\) dan misalkan \(f:A \to Y\) serta \(g: B \to Y\) fungsi kontinu ke ruang \(Y\) sedemikian sehingga \(f(x)=g(x)\) untuk setiap \(x \in (A \cap B)\text{,}\) seperti diilustrasikan dalam Gambar 19.7. Definisikan \(h: X \to Y\) dengan
\begin{equation*}
h(x) = \begin{cases}f(x) \amp \text{ jika } x \in A \\ g(x) \amp \text{ jika } x \in B. \end{cases}
\end{equation*}
Untuk menunjukkan bahwa \(h\) kontinu, misalkan \(C\) subhimpunan tertutup dari \(Y\text{.}\) Maka
Karena \(f\) kontinu, \(f^{-1}(C)\) tertutup dalam topologi subruang pada \(A\text{,}\) dan karena \(g\) kontinu, \(g^{-1}(C)\) tertutup dalam topologi subruang pada \(B\text{.}\) Jadi, \(f^{-1}(C) = A \cap D\) dan \(g^{-1}(C) = B \cap E\) untuk suatu himpunan tertutup \(D\) dan \(E\) dari \(X\text{.}\) Fakta bahwa \(A\) tertutup dalam \(X\) mengakibatkan \(A \cap D\) tertutup dalam \(X\text{.}\) Demikian pula, fakta bahwa \(B\) tertutup dalam \(X\) mengakibatkan \(B \cap E\) tertutup dalam \(X\text{.}\) Jadi,
merupakan gabungan berhingga dari himpunan-himpunan tertutup dalam \(X\text{,}\) sehingga tertutup dalam \(X\text{.}\) Karena \(h^{-1}(C)\) tertutup untuk setiap himpunan tertutup dalam \(Y\text{,}\) diperoleh bahwa \(h\) kontinu.
Kita dapat menggunakan Lemma Penempelan untuk membentuk lintasan dari \(a\) ke \(c\) jika diberikan lintasan dari \(a\) ke \(b\) dan lintasan dari \(b\) ke \(c\text{.}\)
Kegiatan19.3.
Gunakan Lemma Penempelan untuk menjelaskan mengapa hasil kali lintasan dalam definisi berikut benar-benar merupakan lintasan dari \(p(0)\) ke \(q(1)\text{.}\)
Definisi19.8.
Misalkan \(p\) lintasan dari \(a\) ke \(b\) dan \(q\) lintasan dari \(b\) ke \(c\) dalam ruang \(X\text{.}\) Hasil kali lintasan \(q*p\) adalah lintasan dalam \(X\) yang didefinisikan oleh
\begin{equation*}
(q*p)(x) = \begin{cases}p(2x) \amp \text{ untuk } 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \\ q(2x-1) \amp \text{ untuk } \frac{1}{2} \leq x \leq 1. \end{cases}
\end{equation*}
Sekarang kita dapat menunjukkan bahwa keterhubungan lintasan mendefinisikan relasi ekuivalensi pada ruang topologi.
Kegiatan19.4.
Misalkan \((X,\tau)\) ruang topologi. Definisikan relasi pada \(X\) sebagai berikut:
\begin{equation}
a \sim b \text{ jika terdapat lintasan dalam } X \text{ dari } a \text{ ke } b\text{.}\tag{19.1}
\end{equation}
(a)
Jelaskan mengapa \(\sim\) merupakan relasi refleksif.
(b)
Jelaskan mengapa \(\sim\) merupakan relasi simetris.
(c)
Jelaskan mengapa \(\sim\) merupakan relasi transitif.
Karena \(\sim\) sebagaimana didefinisikan dalam (19.1) merupakan relasi ekuivalensi, relasi tersebut mempartisi \(X\) menjadi gabungan kelas-kelas ekuivalensi yang saling lepas. Kelas ekuivalensi suatu elemen \([a]\) disebut komponen lintasan dari \(X\text{,}\) dan merupakan subhimpunan terhubung lintasan terbesar dari \(X\) yang memuat \(a\text{.}\)
Definisi19.9.
Komponen lintasan dari elemen \(a\) dalam ruang topologi \((X, \tau)\) adalah subhimpunan terhubung lintasan terbesar dari \(X\) yang memuat \(a\text{.}\)
