Bagian Teorema Nilai Antara dan Teorema Titik Tetap
Dalam bagian ini kita menyajikan dua akibat penting dari keterhubungan. Akibat pertama adalah Teorema Nilai Antara. Dalam kalkulus, Teorema Nilai Antara menyatakan bahwa jika \(f\) merupakan fungsi kontinu pada interval tertutup \([a,b]\text{,}\) maka \(f\) mencapai setiap nilai di antara \(f(a)\) dan \(f(b)\text{.}\) Hasil ini tampak jelas jika kita sekadar menggambar grafik fungsi kontinu pada interval tertutup. Namun, gambar bukanlah bukti. Kita akan menyatakan dan kemudian membuktikan versi Teorema Nilai Antara yang lebih umum.
Teorema 18.14. Teorema Nilai Antara.
Misalkan \(X\) ruang topologi dan \(A\) subhimpunan terhubung dari \(X\text{.}\) Jika \(f : A \to \R\) merupakan fungsi kontinu, maka untuk setiap \(a,b \in A\) dan setiap \(y \in \R\) di antara \(f(a)\) dan \(f(b)\text{,}\) terdapat titik \(x \in A\) sedemikian sehingga \(f(x) = y\text{.}\)
Kegiatan 18.10.
Dalam aktivitas ini kita membuktikan Teorema Nilai Antara. Misalkan \(X\) ruang topologi dan \(A\) subhimpunan terhubung dari \(X\text{.}\) Andaikan \(f : A \to \R\) merupakan fungsi kontinu, dan misalkan \(a,b \in A\text{.}\)
(a)
Jelaskan mengapa kita dapat mengandaikan bahwa \(a \neq b\text{.}\)
(b)
Jelaskan apa yang terjadi jika \(y = f(a)\) atau \(y=f(b)\text{.}\)
(c)
Sekarang andaikan bahwa \(f(a) \neq f(b)\text{.}\) Tanpa mengurangi keumuman, andaikan bahwa \(f(a) \lt f(b)\text{.}\) Mengapa kita dapat mengatakan bahwa \(f(A)\) merupakan suatu interval?
(d)
Bagaimana fakta bahwa \(f(A)\) merupakan suatu interval menyelesaikan pembuktian?
Akibat kedua dari keterhubungan berkaitan dengan suatu teorema titik tetap. Teorema-teorema titik tetap penting dalam matematika. Titik tetap dari suatu fungsi \(f\) adalah masukan \(c\) yang memenuhi \(f(c) = c\text{.}\) Ada banyak teorema titik tetap — salah satu yang paling terkenal adalah Teorema Titik Tetap Brouwer, yang menunjukkan bahwa setiap fungsi kontinu dari bola tertutup \(B\) di \(\R^n\) ke dirinya sendiri pasti memiliki titik tetap. Kita dapat menggunakan Teorema Nilai Antara untuk membuktikan hasil ini di \(\R\text{.}\)
Teorema 18.15.
Misalkan \(a,b \in \R\) dengan \(a \lt b\text{,}\) dan misalkan \(f : [a,b] \to [a,b]\) merupakan fungsi kontinu. Maka terdapat bilangan \(c \in [a,b]\) sedemikian sehingga \(f(c) = c\text{.}\)
Kegiatan 18.11.
Dalam aktivitas ini kita membuktikan teorema berikut.
Jadi, misalkan \(a,b \in \R\) dengan \(a \lt b\text{,}\) dan misalkan \(f : [a,b] \to [a,b]\) merupakan fungsi kontinu.
(a)
Jelaskan mengapa kita dapat mengandaikan bahwa \(a \lt f(a)\) dan \(f(b) \lt b\text{.}\)
(b)
Definisikan \(g : [a,b] \to \R\) dengan \(g(x) = x-f(x)\text{.}\)
(i)
Mengapa \(g\) merupakan fungsi kontinu?
(ii)
Apa yang dapat kita katakan tentang \(g(a)\) dan \(g(b)\text{?}\) Gunakan Teorema Nilai Antara untuk menyelesaikan pembuktian.
(c)
Misalkan \(f(x) = \frac{1}{6}x^3+\frac{1}{4}x\text{.}\)
(i)
Tunjukkan bahwa \(f\) memetakan interval \([-1,2]\) ke dalam interval \([-1,2]\text{.}\)
Petunjuk.Gunakan
Teorema 17.14, yang menyatakan bahwa fungsi kontinu dari ruang topologi kompak ke
\(\R\) mencapai nilai maksimum dan minimum.
(ii)
Tentukan semua nilai \(c\) dalam \([-1,2]\) sedemikian sehingga \(f(c) = c\text{.}\)
