Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Edisi Lengkap Bahasa Indonesia — Dua Puluh Bab, Pendamping Belajar Mandiri, dan Pelengkap C90

Andaikan \(x\sim y\text{.}\) Setiap lingkungan buka \(x\) juga merupakan lingkungan \(y\text{,}\) maka memuat \(y\text{;}\) jadi \(x\le y\text{.}\) Dengan menukar keduanya diperoleh \(y\le x\text{.}\) Sebaliknya, jika kedua relasi itu berlaku, setiap himpunan buka yang memuat salah satu titik memuat titik lain, sehingga daftar lingkungan keduanya sama.

Jika kelas \([x]\) dan \([y]\) berbeda, ada himpunan buka \(U\) yang memuat tepat salah satu dari \(x,y\text{.}\) Karena anggota satu kelas mempunyai keanggotaan yang sama pada setiap himpunan buka, \(U\) adalah gabungan kelas-kelas. Maka \(q(U)\) terbuka dalam topologi kuosien dan membedakan kedua kelas; jadi \(X_0\) adalah \(T_0\text{.}\)

Bila \(x\sim y\text{,}\) kekontinuan \(f\) membuat \(f(x)\) dan \(f(y)\) mempunyai lingkungan yang sama: prapeta setiap lingkungan salah satunya memuat keduanya. Karena \(Y\) adalah \(T_0\text{,}\) \(f(x)=f(y)\text{.}\) Jadi \(\bar f([x])=f(x)\) terdefinisi baik. Persamaan \(f=\bar f\circ q\) berlaku, dan sifat universal topologi kuosien memberi kekontinuan \(\bar f\text{.}\) Surjektivitas \(q\) memberi keunikan.

Misalkan \(\mathcal N(x)\) himpunan lingkungan \(x\text{,}\) dan definisikan \(U\preceq V\) bila \(V\subseteq U\text{.}\) Dua lingkungan mempunyai batas atas bersama berupa irisannya, sehingga himpunan indeks ini terarah. Karena \(x\in\overline A\text{,}\) setiap \(U\) memotong \(A\text{;}\) pilih \(a_U\in A\cap U\text{.}\) Untuk lingkungan \(W\) dari \(x\text{,}\) semua indeks \(U\succeq W\) memenuhi \(U\subseteq W\text{,}\) maka \(a_U\in W\text{.}\) Jadi jaring itu konvergen ke \(x\text{.}\)

Jika \((B_n)\) basis lokal terhitung, tetapkan \(V_n=B_1\cap\cdots\cap B_n\) dan pilih \(a_n\in A\cap V_n\text{.}\) Untuk setiap lingkungan \(W\text{,}\) ada \(k\) dengan \(B_k\subseteq W\text{;}\) semua \(n\ge k\) memenuhi \(a_n\in V_n\subseteq B_k\subseteq W\text{.}\) Maka \(a_n\to x\text{.}\) Tanpa basis lokal terhitung, sebuah barisan hanya menguji terhitung banyak tahap lingkungan. Contohnya, pada ordinal \([0,\omega_1]\text{,}\) titik \(\omega_1\) berada dalam penutup \([0,\omega_1)\text{,}\) tetapi tidak ada barisan ordinal terhitung yang konvergen kepadanya karena supremum terhitung masih di bawah \(\omega_1\text{.}\)

Setiap \([a,b)\) takkosong memuat rasional, sehingga \(\mathbb Q\) rapat dan ruang separabel. Untuk setiap \(x\text{,}\) keluarga \([x,x+1/n)\) merupakan basis lokal terhitung: jika \(x\in[a,b)\text{,}\) pilih \(n\) dengan \(1/n<b-x\text{.}\)

Andaikan \(\mathcal B\) basis global terhitung. Bagi setiap \(x\in\mathbb R\text{,}\) pilih \(B_x\in\mathcal B\) sehingga \(x\in B_x\subseteq[x,x+1)\text{.}\) Jika \(x<y\text{,}\) himpunan \(B_x\) tidak dapat sama dengan \(B_y\text{:}\) kesamaan akan memuat \(x\text{,}\) sedangkan \(B_y\subseteq[y,y+1)\) tidak memuat \(x\text{.}\) Jadi pemetaan \(x\mapsto B_x\) injektif dari himpunan takterhitung ke \(\mathcal B\text{,}\) kontradiksi.

Akhirnya, \(x_n\to x\) tepat bila akhirnya berada dalam setiap \([x,x+1/k)\text{.}\) Hal itu ekuivalen dengan: untuk setiap \(\varepsilon>0\text{,}\) akhirnya \(x\le x_n<x+\varepsilon\text{.}\) Contoh ini sekaligus menunjukkan bahwa separabilitas tidak memaksa keterhitungan kedua di luar kelas ruang metrik.

Fungsi \(d\) adalah metrik karena setiap suku merupakan pseudometrik, deret konvergen seragam, dan \(d(x,y)=0\) memaksa semua koordinat sama. Ambil bola \(d\) berjari-jari \(\varepsilon\text{.}\) Pilih \(N\) sehingga \(\sum_{n>N}2^{-n}<\varepsilon/2\text{,}\) lalu batasi berhingga banyak koordinat pertama cukup ketat agar jumlah kepalanya kurang dari \(\varepsilon/2\text{.}\) Silinder hasil kali yang diperoleh termuat dalam bola. Sebaliknya, bagi silinder yang membatasi koordinat dalam himpunan berhingga \(F\text{,}\) pilih bola cukup kecil sehingga setiap suku berbobot untuk \(n\in F\) memaksa batas koordinat yang ditentukan. Jadi topologinya sama.

Himpunan \(W=\prod_n(-1/n,1/n)\) terbuka kotak. Setiap lingkungan hasil kali nol membiarkan semua kecuali berhingga banyak koordinat bebas, maka tidak termuat dalam \(W\text{;}\) jadi kehalusannya ketat. Andaikan \((U_k)\) basis lokal kotak di nol dan, setelah memperkecil, tulis \(U_k=\prod_n(-a_{k,n},a_{k,n})\) dengan semua \(a_{k,n}>0\text{.}\) Bentuk \(V=\prod_n(-a_{n,n}/2,a_{n,n}/2)\text{.}\) Ini lingkungan kotak nol, tetapi untuk setiap \(k\text{,}\) \(U_k\) tidak termuat dalam \(V\) karena koordinat ke-\(k\)-nya lebih lebar. Kontradiksi; topologi kotak tidak terhitung pertama.

Ambil \(x=(x_i)\) dalam hasil kali yang kompak lokal. Ada lingkungan dasar \(U=\prod_iU_i\) dari \(x\text{,}\) dengan \(U_i=X_i\) di luar himpunan berhingga \(F\text{,}\) yang termuat dalam suatu himpunan kompak \(K\text{.}\) Untuk \(i\notin F\text{,}\) proyeksi \(U\) ke \(X_i\) adalah seluruh \(X_i\text{;}\) karena \(\pi_i(K)\) kompak dan memuat \(X_i\text{,}\) faktor itu kompak. Untuk sembarang \(i\text{,}\) tetapkan semua koordinat lain pada \(x_j\text{.}\) Irisan potongan koordinat ini dengan \(K\) kompak karena ruang Hausdorff membuat singleton tertutup, dan ia memuat lingkungan \(U_i\) dari \(x_i\text{.}\) Jadi setiap faktor kompak lokal.

Sebaliknya, andaikan faktor nonkompak hanya terdapat pada himpunan berhingga \(F\text{.}\) Untuk \(i\in F\text{,}\) pilih lingkungan \(V_i\) dari \(x_i\) dengan penutup kompak \(K_i\text{.}\) Untuk \(i\notin F\text{,}\) ambil \(V_i=X_i=K_i\text{,}\) yang kompak. Silinder \(V=\prod_iV_i\) adalah lingkungan \(x\) dan penutupnya termuat dalam \(\prod_iK_i\text{.}\) Teorema Tychonoff—dan dengan demikian bentuk aksioma pilihan yang dipakainya—menyatakan hasil kali semua \(K_i\) kompak. Maka hasil kali asal kompak lokal.

Jika \(\alpha X\) dapat dimetrisasi, ia kompak metrik. Setiap ruang kompak metrik terhitung kedua: untuk setiap \(n\text{,}\) ambil subselimut berhingga dari bola berjari-jari \(1/n\text{,}\) lalu gabungkan semua pusat dan radius rasional. Karena keterhitungan kedua diwarisi subruang, \(X\) terhitung kedua.

Sebaliknya, ambil basis terhitung \(\mathcal B\) untuk \(X\text{.}\) Kekompakan lokal dan regularitas ruang Hausdorff kompak lokal memungkinkan kita memperhalusnya menjadi basis terhitung \((V_n)\) dengan setiap \(\overline{V_n}\) kompak. Semua gabungan berhingga \(K_F=\bigcup_{n\in F}\overline{V_n}\) kompak, dan komplemennya \(\{\infty\}\cup(X\setminus K_F)\) membentuk basis terhitung di \(\infty\text{:}\) setiap himpunan kompak \(K\subseteq X\) ditutupi berhingga banyak \(V_n\text{,}\) sehingga termuat dalam suatu \(K_F\text{.}\) Bersama \(\mathcal B\text{,}\) ini memberi basis terhitung untuk \(\alpha X\text{.}\) Kompaktifikasi satu titik itu kompak Hausdorff, sehingga reguler dan \(T_1\text{.}\) Teorema metrisasi Urysohn sekarang berlaku dan memberi metrik pada \(\alpha X\text{.}\)

Andaikan dahulu \(f_\lambda\to f\) kompak-terbuka. Tetapkan kompak \(K\) dan \(\varepsilon>0\text{.}\) Untuk tiap \(x\in K\text{,}\) pilih lingkungan relatif \(W_x\) sehingga \(f(W_x)\) termuat dalam bola berjari-jari \(\varepsilon/3\) di sekitar \(f(x)\text{.}\) Ruang \(K\) kompak Hausdorff; susutkan subselimut berhingga menjadi kompak \(K_1,\ldots,K_n\) yang masih menutupi \(K\text{,}\) dengan \(K_i\subseteq W_{x_i}\text{.}\) Lingkungan kompak-terbuka \(\bigcap_i[K_i,B(f(x_i),2\varepsilon/3)]\) memaksa \(d(f_\lambda(x),f(x))<\varepsilon\) untuk semua \(x\in K\) pada akhirnya.

Sebaliknya, ambil lingkungan subbasis \([K,U]\) yang memuat \(f\text{.}\) Himpunan \(f(K)\) kompak dan termuat dalam buka \(U\text{,}\) sehingga ada \(\delta>0\) dengan lingkungan \(\delta\) dari \(f(K)\) termuat dalam \(U\text{.}\) Kekonvergenan seragam pada \(K\) memberi \(\sup_{x\in K}d(f_\lambda(x),f(x))<\delta\) pada akhirnya, maka \(f_\lambda(K)\subseteq U\text{.}\) Irisan berhingga subbasis diperlakukan serentak, jadi jaring konvergen kompak-terbuka.

Untuk semua \(f\in\mathcal F\text{,}\) berlaku \(|f(x)|=|f(x)-f(x_0)|\le d(x,x_0)\le\operatorname{diam}K\text{.}\) Jadi bagi setiap \(x\text{,}\) himpunan nilai \(\{f(x):f\in\mathcal F\}\) mempunyai penutup kompak di \(\mathbb R\text{.}\) Selain itu, bagi \(\varepsilon>0\text{,}\) pilihan \(\delta=\varepsilon\) bekerja serentak untuk seluruh keluarga karena semua fungsi 1-Lipschitz. Maka \(\mathcal F\) ekukontinu.

Teorema Arzelà–Ascoli memberi bahwa penutup \(\mathcal F\) kompak dalam topologi kompak-terbuka, yang pada domain kompak sama dengan topologi seragam. Jika \(f_n\to f\) seragam dan setiap \(f_n\in\mathcal F\text{,}\) maka \(f(x_0)=\lim f_n(x_0)=0\text{.}\) Untuk \(x,y\in K\text{,}\) ambil limit pada \(|f_n(x)-f_n(y)|\le d(x,y)\) untuk memperoleh \(|f(x)-f(y)|\le d(x,y)\text{.}\) Jadi \(f\in\mathcal F\) dan keluarga itu tertutup. Penutup kompaknya sama dengan dirinya; maka \(\mathcal F\) kompak.

Untuk \(H\) kontinu, definisikan \(\widehat H(t)(x)=H(t,x)\text{.}\) Setiap irisan \(H_t\) kontinu. Versi kompak-terbuka hukum eksponensial, dengan variabel yang dikurri yaitu \(X\) kompak lokal Hausdorff, menyatakan bahwa pemetaan \(H\mapsto\widehat H\) membawa fungsi kontinu pada produk ke fungsi kontinu menuju \(C_k(X,Y)\text{.}\) Jadi \(\widehat H\) adalah lintasan dari \(H_0\) ke \(H_1\text{.}\)

Sebaliknya, jika \(\gamma:[0,1]\to C_k(X,Y)\) kontinu, pemetaan \(\gamma\times\operatorname{id}_X\) dari \([0,1]\times X\) ke \(C_k(X,Y)\times X\) kontinu. Karena \(X\) kompak lokal Hausdorff, evaluasi bersama \(\operatorname{ev}(f,x)=f(x)\) kontinu. Komposisi \(H=\operatorname{ev}\circ(\gamma\times\operatorname{id}_X)\) kontinu dan memenuhi \(H(t,x)=\gamma(t)(x)\text{.}\) Kedua konstruksi saling invers. Hipotesis pada \(X\) bukan hiasan: ia menjamin kekontinuan evaluasi dan bentuk hukum eksponensial yang dipakai.

Pertama, pada \(\{0,1\}\) dengan topologi \(\{\varnothing,\{0,1\}\}\text{,}\) kedua titik mempunyai lingkungan yang sama, jadi ruang bukan \(T_0\text{.}\) Kedua, pada \(\{0,1\}\) dengan topologi \(\{\varnothing,\{1\},\{0,1\}\}\text{,}\) himpunan buka \(\{1\}\) membedakan titik, jadi ruang \(T_0\text{;}\) tetapi \(\{1\}\) tidak tertutup karena komplemennya \(\{0\}\) tidak terbuka, maka bukan \(T_1\text{.}\)

Ketiga, pada himpunan takhingga \(S\text{,}\) ambil topologi kofinit. Setiap singleton tertutup, jadi ruang \(T_1\text{.}\) Namun dua himpunan buka takkosong mempunyai komplemen berhingga dan karena itu irisannya tetap takkosong; dua titik tidak mempunyai lingkungan terpisah, maka ruang bukan Hausdorff. Keempat, garis Sorgenfrey mempunyai basis \([a,b)\text{.}\) Bilangan rasional memotong setiap interval basis, jadi ruang separabel. Jika ada basis terhitung, pilihan satu anggota basis \(B_x\) dengan \(x\in B_x\subseteq[x,x+1)\) akan menginjeksi semua bilangan real ke basis tersebut, kontradiksi. Jadi ia bukan terhitung kedua.

Setiap faktor \([0,1]\) kompak Hausdorff. Teorema Tychonoff memberi kekompakan hasil kali, sedangkan dua titik berbeda mempunyai koordinat \(i\) yang berbeda dan dapat dipisahkan oleh prapeta dua interval terpisah di bawah proyeksi \(\pi_i\text{.}\) Proyeksi kontinu menurut definisi topologi hasil kali, jadi \(K\) Hausdorff.

Jika \(I\) berhingga atau terhitung, enumerasi koordinat dan metrik deret berbobot seperti pada Masalah 4 memetrisasi \(K\text{.}\) Sekarang andaikan \(I\) takterhitung dan \((U_n)\) basis lokal terhitung di nol. Perkecil setiap \(U_n\) menjadi silinder dasar \(V_n\) yang hanya membatasi himpunan koordinat berhingga \(F_n\text{.}\) Gabungan \(F=\bigcup_nF_n\) terhitung, jadi pilih \(j\in I\setminus F\text{.}\) Lingkungan \(W=\{x:x_j<1/2\}\) memuat nol. Tidak satu pun \(V_n\) termuat dalam \(W\text{,}\) karena koordinat \(j\) bebas. Ini bertentangan dengan sifat basis lokal; maka \(K\) tidak terhitung pertama dan tidak mungkin metrik.

Topologi kotak mengizinkan pembatasan semua koordinat sekaligus. Untuk \(I\) takhingga, subruang \(\{0,1\}^I\) tertutup dalam kubus kotak, tetapi diskret: singleton setiap titik adalah irisan dengan kotak \(\prod_iU_i\) yang memilih lingkungan kecil dari koordinat nol atau satu. Subruang ini takhingga dan mempunyai selimut terbuka oleh semua singleton tanpa subselimut berhingga. Jadi kubus kotak tidak kompak. Karena itu “hasil kali” pada teorema kekompakan dan hukum universal harus berarti topologi hasil kali, bukan topologi kotak.

Setiap \(d\in D\) terbuka sebagai singleton. Dua titik di \(D\) dipisahkan oleh singleton; titik \(d\) dan \(\infty\) dipisahkan oleh \(\{d\}\) serta \(\alpha D\setminus\{d\}\text{.}\) Jadi ruang Hausdorff, bahkan kompak Hausdorff. Kekompakan mengikuti karena setiap selimut buka memuat satu anggota yang mencakup \(\infty\) dan semua kecuali berhingga banyak titik \(D\text{;}\) sisa berhingga memerlukan berhingga banyak anggota. Ruang kompak selalu kompak lokal.

Jika ada basis lokal terhitung \((U_n)\) di \(\infty\text{,}\) setiap komplemen \(D\setminus U_n\) berhingga. Gabungan semua komplemen itu terhitung, maka pilih \(d\in D\) di luarnya. Lingkungan \(\alpha D\setminus\{d\}\) tidak memuat satu pun \(U_n\text{,}\) kontradiksi. Jadi ruang tidak terhitung pertama dan tidak metrik. Setiap himpunan rapat harus memuat semua titik terisolasi \(D\text{;}\) karena \(D\) takterhitung, ruang tidak separabel.

Dari bentuk lingkungan \(\infty\text{,}\) jaring \((d_\lambda)\) menuju \(\infty\) tepat bila untuk setiap himpunan berhingga \(F\subseteq D\text{,}\) akhirnya \(d_\lambda\notin F\text{.}\) Sekarang ambil \(f:\alpha D\to\{0,1\}\text{.}\) Kekontinuan di \(\infty\) ekuivalen dengan adanya lingkungan kofinit tempat \(f\) bernilai konstan \(f(\infty)\text{.}\) Jadi \(f\) hanya berbeda dari konstanta itu pada berhingga banyak titik \(D\text{;}\) syarat ini juga cukup karena semua titik \(D\) terisolasi.

Domain \(\alpha D\) kompak dan kodomain diberi metrik diskret. Karena itu topologi kompak-terbuka pada ruang fungsi sama dengan topologi seragam. Dua fungsi berbeda mempunyai jarak supremum satu, sehingga bola berjari-jari kurang dari satu mengisolasi setiap fungsi. Maka \(C_k(\alpha D,\{0,1\})\) diskret. Sebaliknya, topologi titik demi titik tidak diskret: lingkungan yang menguji hanya berhingga banyak koordinat masih memungkinkan perubahan pada satu titik lain di \(D\text{.}\) Audit ini menggunakan seluruh rantai separasi, keterhitungan, jaring, kekompakan lokal, metrisasi, dan ruang fungsi.