Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Edisi Lengkap Bahasa Indonesia — Dua Puluh Bab, Pendamping Belajar Mandiri, dan Pelengkap C90

Steven Schlicker

Bagian Jaring dan Kekonvergenan Umum

Barisan cukup kuat pada ruang terhitung pertama, tetapi tidak pada ruang topologi sebarang. Jaring mengganti indeks bilangan asli dengan himpunan terarah sehingga setiap lingkungan dan setiap ekor dapat dimodelkan tanpa hipotesis keterhitungan. Modul ini memberi karakterisasi penutup, kekontinuan, dan kekompakan yang berlaku pada semua ruang topologi.

Subbagian Himpunan terarah, jaring, dan subjaring

Definisi U.41.

Himpunan terarah adalah himpunan tak kosong \(A\) dengan praurutan \(\le\) sedemikian sehingga untuk setiap \(a_1,a_2\in A\) terdapat \(a_3\in A\) dengan \(a_1\le a_3\) dan \(a_2\le a_3\text{.}\) Unsur yang lebih besar dipandang sebagai indeks yang lebih akhir.

Definisi U.42.

Jaring atau net dalam ruang \(X\) adalah pemetaan \(x:A\to X\) dari suatu himpunan terarah; nilainya ditulis \(x_a\text{.}\) Jaring \((x_a)\) akhirnya berada dalam \(E\subseteq X\) jika terdapat \(a_0\) sehingga \(a\ge a_0\) mengakibatkan \(x_a\in E\text{.}\) Jaring itu sering berada dalam \(E\) jika untuk setiap \(a_0\) terdapat \(a\ge a_0\) dengan \(x_a\in E\text{.}\)

Definisi U.43.

Jaring \((x_a)\) konvergen ke \(x\in X\) jika jaring itu akhirnya berada dalam setiap lingkungan buka \(x\text{.}\) Titik \(x\) disebut titik gugus dari jaring jika jaring itu sering berada dalam setiap lingkungan buka \(x\text{.}\)

Definisi U.44.

Misalkan \((x_a)_{a\in A}\) suatu jaring. Jaring \((y_b)_{b\in B}\) disebut subjaring jika ada pemetaan \(\phi:B\to A\) yang mempertahankan urutan dan kofinal dalam arti berikut: untuk setiap \(a_0\in A\text{,}\) terdapat \(b_0\in B\) sehingga \(b\ge b_0\) mengakibatkan \(\phi(b)\ge a_0\text{,}\) dan \(y_b=x_{\phi(b)}\text{.}\)

Bukti.

Jika suatu subjaring konvergen ke \(x\text{,}\) kofinalitas menjamin bahwa setiap lingkungan \(x\) ditemui setelah setiap indeks asal; jadi \(x\) titik gugus. Sebaliknya, misalkan \(x\) titik gugus. Ambil semua pasangan \((a,U)\) dengan \(a\in A\text{,}\) \(U\) lingkungan buka \(x\text{,}\) dan pilih indeks \(c\ge a\) sehingga \(x_c\in U\text{,}\) dan bentuk semua tripel \((a,U,c)\) semacam itu. Tetapkan \((a,U,c)\preceq(a',U',c')\) bila \(a\le a'\text{,}\) \(U'\subseteq U\text{,}\) dan \(c\le c'\text{.}\) Himpunan tripel ini terarah: untuk dua tripel, pilih indeks yang mendominasi kedua indeks pertama dan kedua indeks ketiga, lalu gunakan sifat titik gugus pada irisan kedua lingkungan untuk memilih indeks ketiga yang lebih akhir. Proyeksi \(\phi(a,U,c)=c\) mempertahankan urutan dan kofinal. Jaring \(x_{\phi(a,U,c)}=x_c\) akhirnya berada dalam setiap lingkungan \(x\text{,}\) sehingga merupakan subjaring yang konvergen ke \(x\text{.}\)

Catatan U.46.

Subjaring dari barisan tidak harus merupakan subbarisan biasa: himpunan indeks barunya dapat berbeda dari \(\mathbb N\text{.}\) Kofinalitas adalah syarat yang memastikan subjaring tidak menetap di bagian awal jaring.

Subbagian Penutup dan kekontinuan melalui jaring

Bukti.

Jika jaring dalam \(E\) konvergen ke \(x\text{,}\) setiap lingkungan buka \(x\) memuat salah satu nilainya, maka beririsan dengan \(E\text{;}\) jadi \(x\in\overline E\text{.}\) Sebaliknya, arahkan keluarga lingkungan buka \(\mathcal N(x)\) dengan urutan balik: \(U\preceq V\) jika \(V\subseteq U\text{.}\) Karena \(x\in\overline E\text{,}\) pilih \(x_U\in E\cap U\) untuk setiap \(U\in\mathcal N(x)\text{.}\) Untuk lingkungan \(W\text{,}\) semua indeks \(U\succeq W\) memenuhi \(U\subseteq W\text{,}\) sehingga \(x_U\in W\text{.}\) Jadi jaring tersebut konvergen ke \(x\text{.}\)

Bukti.

Jika \(f\) kontinu dan \(V\) lingkungan buka \(f(x)\text{,}\) maka \(f^{-1}(V)\) lingkungan buka \(x\text{.}\) Jaring \(x_a\) akhirnya berada di dalam prapeta itu, jadi \(f(x_a)\) akhirnya berada dalam \(V\text{.}\)
Sebaliknya, andaikan \(f\) tidak kontinu di \(x\text{.}\) Ada lingkungan buka \(V\) dari \(f(x)\) sehingga \(f^{-1}(V)\) bukan lingkungan \(x\text{.}\) Maka \(x\in\overline{X\setminus f^{-1}(V)}\text{.}\) Menurut teorema penutup, ada jaring \(x_a\) di dalam komplemen tersebut dengan \(x_a\to x\text{.}\) Namun tidak satu pun \(f(x_a)\) berada dalam \(V\text{,}\) sehingga jaring citra tidak konvergen ke \(f(x)\text{,}\) bertentangan dengan hipotesis pelestarian jaring.

Bukti.

Ambil basis lokal terhitung \(U_1,U_2,\ldots\) di \(x\) dan ganti dengan basis menurun \(V_n=U_1\cap\cdots\cap U_n\text{.}\) Karena \(x\in\overline E\text{,}\) pilih \(x_n\in E\cap V_n\text{.}\) Jika \(U\) lingkungan \(x\text{,}\) suatu \(U_k\subseteq U\text{;}\) untuk \(n\ge k\text{,}\) \(x_n\in V_n\subseteq U_k\subseteq U\text{.}\) Jadi \(x_n\to x\text{.}\)

Contoh U.50.

Misalkan \(\omega_1\) ordinal pertama yang tak terhitung, dan beri \([0,\omega_1]\) topologi urutan. Himpunan \(E=[0,\omega_1)\) mempunyai \(\omega_1\in\overline E\) karena setiap lingkungan ujung \(\omega_1\) memuat ordinal yang lebih kecil. Namun tidak ada barisan dalam \(E\) yang konvergen ke \(\omega_1\text{.}\) Memang, supremum dari terhitung banyak ordinal terhitung masih merupakan ordinal terhitung \(\beta<\omega_1\text{;}\) lingkungan \((\beta,\omega_1]\) kemudian tidak memuat satu pun suku barisan. Jadi barisan tidak mendeteksi penutup pada ruang topologi sebarang, sedangkan jaring selalu melakukannya.

Subbagian Kekompakan melalui jaring

Bukti.

Misalkan \(X\) kompak dan \((x_a)_{a\in A}\) suatu jaring. Untuk setiap \(a\text{,}\) ambil penutup ekor \(F_a=\overline{\{x_b:b\ge a\}}\text{.}\) Keluarga \(\{F_a:a\in A\}\) mempunyai sifat irisan berhingga karena keterarahan memberi satu ekor yang termuat dalam setiap kumpulan berhingga ekor. Kekompakan memberi \(x\in\bigcap_{a\in A}F_a\text{.}\) Setiap lingkungan \(x\) memotong setiap ekor, jadi \(x\) titik gugus jaring. Menurut proposisi subjaring, ada subjaring yang konvergen ke \(x\text{.}\)
Sebaliknya, andaikan selimut buka \(\mathcal U\) tidak mempunyai subselimut berhingga. Arahkan himpunan semua subkeluarga berhingga \(F\subseteq\mathcal U\) dengan inklusi, lalu pilih \(x_F\in X\setminus\bigcup F\text{.}\) Jika jaring ini mempunyai subjaring yang konvergen ke \(x\text{,}\) pilih \(U\in\mathcal U\) dengan \(x\in U\text{.}\) Subjaring akhirnya berada dalam \(U\text{.}\) Kofinalitas juga membuat indeks asalnya akhirnya memuat keluarga berhingga \(\{U\}\text{,}\) sehingga nilai subjaring justru berada di luar \(U\text{.}\) Kontradiksi ini menunjukkan bahwa setiap selimut buka mempunyai subselimut berhingga.

Catatan U.52.

Bahasa filter memberi formulasi yang ekuivalen tanpa mengulang teori. Filter pada \(X\) adalah keluarga \(\mathcal F\) subhimpunan yang tidak memuat \(\emptyset\text{,}\) tertutup ke atas, dan tertutup terhadap irisan berhingga. Filter konvergen ke \(x\) jika memuat setiap lingkungan \(x\text{.}\) Ekor suatu jaring membangkitkan filter, sedangkan pasangan \((F,x)\) dengan \(F\in\mathcal F\) dan \(x\in F\) membentuk jaring yang merepresentasikan filter. Dengan Prinsip Ultrafilter, kekompakan ekuivalen dengan pernyataan bahwa setiap ultrafilter konvergen. Edisi ini memakai jaring sebagai bahasa utama dan tidak menduplikasi semua pembuktian dalam notasi filter.

Subbagian Latihan Penguasaan dengan Dukungan Bertahap

Misalkan \(x\in\overline E\text{.}\) Arahkan keluarga lingkungan buka \(x\) dengan urutan balik dan pilih \(x_U\in E\cap U\text{.}\) Buktikan langsung bahwa \(x_U\to x\text{.}\)
Petunjuk.
Gunakan lingkungan sasaran itu sendiri sebagai indeks awal.
Jawaban.
Jika \(U\succeq W\text{,}\) maka \(U\subseteq W\) dan \(x_U\in W\text{.}\)
Solusi.
Tetapkan lingkungan buka \(W\) dari \(x\text{.}\) Dalam urutan balik, setiap indeks \(U\succeq W\) memenuhi \(U\subseteq W\text{.}\) Karena \(x_U\in U\text{,}\) kita memperoleh \(x_U\in W\text{.}\) Jadi jaring akhirnya berada dalam setiap lingkungan \(W\text{,}\) tepat definisi \(x_U\to x\text{.}\)
Buktikan bahwa jaring \(x_a\) dalam ruang metrik konvergen ke \(x\) jika dan hanya jika untuk setiap \(\varepsilon>0\text{,}\) akhirnya \(d(x_a,x)<\varepsilon\text{.}\)
Petunjuk.
Bola-bola buka membentuk basis lokal di \(x\text{.}\)
Jawaban.
Pernyataan adalah definisi kekonvergenan yang diuji pada basis lokal bola.
Solusi.
Jika \(x_a\to x\text{,}\) terapkan definisi pada lingkungan \(B_\varepsilon(x)\text{.}\) Sebaliknya, misalkan syarat epsilon berlaku dan \(U\) lingkungan buka \(x\text{.}\) Pilih \(\varepsilon>0\) dengan \(B_\varepsilon(x)\subseteq U\text{.}\) Jaring akhirnya memenuhi \(d(x_a,x)<\varepsilon\text{,}\) sehingga akhirnya berada dalam \(U\text{.}\)
Andaikan \(f:X\to Y\) membawa setiap jaring yang konvergen ke jaring yang konvergen menuju citra limitnya. Buktikan bahwa \(f\) kontinu.
Petunjuk.
Jika \(f\) tidak kontinu di \(x\text{,}\) bangun jaring menuju \(x\) di luar prapeta suatu lingkungan \(f(x)\text{.}\)
Jawaban.
Gunakan karakterisasi penutup oleh jaring pada komplemen prapeta.
Solusi.
Jika \(f\) tidak kontinu di \(x\text{,}\) ada lingkungan buka \(V\) dari \(f(x)\) sehingga \(f^{-1}(V)\) bukan lingkungan \(x\text{.}\) Jadi \(x\) berada dalam penutup komplemennya. Pilih jaring \(x_a\) dalam \(X\setminus f^{-1}(V)\) yang konvergen ke \(x\text{.}\) Semua \(f(x_a)\) berada di luar \(V\text{,}\) sehingga jaring citra tidak akhirnya berada dalam lingkungan \(V\) dari \(f(x)\text{.}\) Ini bertentangan dengan hipotesis, maka \(f\) kontinu.
Dalam \([0,\omega_1]\) dengan topologi urutan, buktikan bahwa \(\omega_1\) berada dalam penutup \([0,\omega_1)\text{,}\) tetapi bukan limit suatu barisan dari himpunan itu. Lalu jelaskan bentuk jaring yang konvergen ke \(\omega_1\text{.}\)
Petunjuk.
Ambil supremum semua suku barisan. Untuk jaring, arahkan ordinal terhitung dengan urutan biasa.
Jawaban.
Jaring \(x_\alpha=\alpha\text{,}\) diindeks oleh \(\alpha<\omega_1\text{,}\) konvergen ke \(\omega_1\text{.}\)
Solusi.
Setiap lingkungan \(\omega_1\) memuat ekor \((\beta,\omega_1]\) dan karena itu memotong \([0,\omega_1)\text{.}\) Jadi \(\omega_1\) berada dalam penutup. Untuk barisan \((\alpha_n)\) ordinal terhitung, supremum \(\beta=\sup_n\alpha_n\) masih terhitung. Lingkungan \((\beta,\omega_1]\) tidak memuat satu pun \(\alpha_n\text{,}\) maka barisan tidak konvergen ke \(\omega_1\text{.}\) Sebaliknya, himpunan semua ordinal terhitung terarah oleh urutan biasa, dan jaring \(x_\alpha=\alpha\) akhirnya berada dalam setiap ekor \((\beta,\omega_1]\text{;}\) jadi jaring itu konvergen.
Andaikan setiap jaring dalam \(X\) mempunyai subjaring konvergen. Buktikan langsung bahwa setiap selimut buka \(\mathcal U\) mempunyai subselimut berhingga.
Petunjuk.
Jika tidak, indekskan titik yang belum tertutupi oleh semua subkeluarga berhingga \(F\subseteq\mathcal U\text{.}\)
Jawaban.
Subjaring konvergen akhirnya harus berada dalam satu anggota selimut, tetapi kofinalitas memaksanya akhirnya berada di luar anggota itu.
Solusi.
Andaikan \(\mathcal U\) tidak mempunyai subselimut berhingga. Arahkan subkeluarga berhingga \(F\) dengan inklusi, dan pilih \(x_F\notin\bigcup F\text{.}\) Ambil subjaring \(x_{\phi(b)}\) yang konvergen ke \(x\text{,}\) lalu pilih \(U\in\mathcal U\) dengan \(x\in U\text{.}\) Kekonvergenan memberi indeks setelah mana semua nilai subjaring berada dalam \(U\text{.}\) Kofinalitas terhadap indeks \(\{U\}\) memberi indeks setelah mana \(U\in\phi(b)\text{.}\) Namun definisi \(x_{\phi(b)}\) mengatakan nilai itu berada di luar setiap anggota \(\phi(b)\text{,}\) khususnya di luar \(U\text{.}\) Kontradiksi.
Untuk jaring \((x_a)_{a\in A}\text{,}\) misalkan \(T_a=\{x_b:b\ge a\}\text{.}\) Buktikan bahwa keluarga semua himpunan yang memuat suatu \(T_a\) merupakan filter, dan bahwa filter itu konvergen ke \(x\) tepat ketika jaringnya konvergen ke \(x\text{.}\)
Petunjuk.
Gunakan keterarahan untuk menempatkan satu ekor di dalam irisan dua ekor.
Jawaban.
Keanggotaan lingkungan dalam filter ekor tepat berarti jaring akhirnya berada di dalamnya.
Solusi.
Tidak ada ekor yang kosong, sehingga filter tidak memuat \(\emptyset\text{.}\) Keluarga jelas tertutup ke atas. Jika himpunan \(E\) memuat \(T_a\) dan \(F\) memuat \(T_b\text{,}\) pilih \(c\ge a,b\text{;}\) maka \(T_c\subseteq T_a\cap T_b\subseteq E\cap F\text{,}\) jadi irisan berada dalam filter. Terakhir, lingkungan \(U\) dari \(x\) berada dalam filter tepat ketika suatu ekor \(T_a\subseteq U\text{,}\) yakni tepat ketika jaring akhirnya berada dalam \(U\text{.}\) Karena itu konvergensi filter dan jaring ekuivalen.
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>