Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Edisi Lengkap Bahasa Indonesia — Dua Puluh Bab, Pendamping Belajar Mandiri, dan Pelengkap C90

Faktor kosong selalu memberi \(\emptyset\text{.}\) Untuk \(V=\{1\}\) diperoleh \(\{(a,1)\}\text{,}\) \(\{(b,1)\}\text{,}\) \(\{(a,1),(b,1)\}\text{,}\) \(\{(a,1),(c,1)\}\text{,}\) dan \(X\times\{1\}\text{.}\) Untuk \(V=Y\) diperoleh \(\{a\}\times Y\text{,}\) \(\{b\}\times Y\text{,}\) \(\{a,b\}\times Y\text{,}\) \(\{a,c\}\times Y\text{,}\) dan \(X\times Y\text{.}\) Kesebelasnya berbeda. Rubrik: jawaban tuntas menghilangkan duplikasi akibat faktor kosong dan menuliskan anggota setiap himpunan.

Kedua himpunan pada gabungan berada dalam koleksi. Jika \(A=U\times V\text{,}\) keberadaan \((a,2)\) dan \((b,1)\) memaksa \(a,b\in U\) serta \(1,2\in V\text{,}\) sehingga \((b,2)\) harus berada dalam \(A\text{;}\) kenyataannya tidak. Jadi gabungan dua elemen koleksi keluar dari koleksi. Rubrik: bukti harus menunjukkan sekaligus keterbukaan yang diinginkan, kegagalan bentuk hasil kali, dan kegagalan aksioma gabungan.

Koleksi \(\mathcal B\) menutupi ruang dan irisan dua anggotanya kembali berbentuk hasil kali dari dua irisan buka. Karena itu semua gabungannya membentuk topologi. Setiap topologi yang memuat \(\mathcal B\) wajib memuat seluruh gabungan tersebut, sehingga \(\tau\) memang yang terkecil. Rubrik: jawaban harus memberi konstruksi semua gabungan dan membuktikan sifat minimalnya, bukan sekadar mengatakan “tambahkan \(A\)”.

Untuk \((x,y)\in X\times Y\text{,}\) persegi panjang \(X\times Y\) berada dalam koleksi. Jika \((x,y)\) berada dalam dua persegi panjang dasar, maka ia berada dalam \((U_1\cap U_2)\times(V_1\cap V_2)\text{,}\) yang buka pada tiap faktor dan termuat dalam irisan semula. Kedua aksioma basis terpenuhi. Rubrik: kedua aksioma basis dan identitas irisan harus dinyatakan eksplisit.

Basis hasil kali terdiri atas \((U\cap[1,2])\times(V\cap[3,4])\) untuk interval buka \(U,V\subseteq\R\text{.}\) Ini persis basis topologi subruang persegi panjang di bidang Euklides. Rubrik: deskripsi geometris harus disertai identifikasi topologinya, termasuk lingkungan relatif pada tepi.

Kedua persegi panjang merupakan hasil kali himpunan buka relatif, jadi gabungannya buka. Gabungan memuat satu titik pada masing-masing komponen diagonal tetapi tidak memuat kedua pasangan silang; sifat ini mustahil bagi satu hasil kali \(U\times V\text{.}\) Rubrik: contoh harus benar-benar buka relatif dan argumen “pasangan silang” harus membuktikan bahwa ia bukan satu persegi panjang.

Peta \((x,(u,v))\mapsto(x,u,v)\) menempatkan produk sebagai \(\{(x,u,v):u^2+v^2=1\}\) dalam \(\R^3\text{.}\) Untuk \(x=-1,0,1\text{,}\) seratnya adalah tiga lingkaran sejajar. Rubrik: gambar atau uraian harus menunjukkan sumbu tak berhingga, penampang lingkaran, dan parameter kedua faktor secara terpisah.

Karena \(B\) buka di bidang, \(B\cap S^1\) terbuka dalam topologi subruang. Secara lokal ia terdiri atas satu atau beberapa busur yang tidak menyertakan titik ujung relatif; posisi dan jari-jari bola juga memungkinkan irisan kosong atau seluruh \(S^1\text{.}\) Rubrik: jawaban harus menyebut topologi subruang dan tidak menganggap setiap irisan selalu satu busur.

Untuk \(U=(a,b)\) dan \(V=B\cap S^1\text{,}\) himpunan \(U\times V\) memuat semua penampang dengan \(x\in(a,b)\text{,}\) tetapi hanya bagian busur \(V\) dari tiap penampang. Koordinat produk menunjukkan bahwa petak-petak ini membentuk basis. Rubrik: uraian harus mengaitkan kedua arah geometris dengan kedua faktor.

Setiap \(p\in2S^1\) membawa serat \(\{p\}\times S^1\text{.}\) Menempatkan serat tegak lurus terhadap lingkaran pertama menghasilkan permukaan donat. Secara intrinsik ruangnya adalah \(S^1\times S^1\text{;}\) skala faktor pertama tidak mengubah tipe homeomorfismenya. Rubrik: gambar harus menutup kedua arah melingkar dan menempatkan ketiga serat pada titik yang benar.

Faktor kedua tetap \(S^1\) dengan topologi subruang Euklides. Karena itu analisis irisan \(B\cap S^1\) sama persis seperti pada silinder: irisan tersebut terbuka relatif dan secara lokal berupa busur. Rubrik: jawaban harus membedakan fakta intrinsik pada faktor dari gambar torus di ruang tiga dimensi.

Jika \(U\) dan \(V\) masing-masing busur terbuka, koordinat sudut memberi homeomorfisme lokal \(U\times V\) dengan hasil kali dua interval terbuka. Pada model donat, petak ini melengkung tetapi tidak membungkus penuh salah satu arah jika busurnya cukup kecil. Rubrik: jawaban harus mengidentifikasi kedua busur dan sifat lokal dua dimensinya.

Pasangan \((x_1,x_2)\) berada dalam prapeta tepat ketika \(x_1\in O_1\text{,}\) sedangkan \(x_2\) boleh sembarang. Ini persis definisi \(O_1\times X_2\text{.}\) Rubrik: kesetaraan harus dibuktikan dua arah melalui keanggotaan.

Untuk setiap himpunan buka \(O_1\subseteq X_1\text{,}\) kita memiliki \(\pi_1^{-1}(O_1)=O_1\times X_2\text{.}\) Kedua faktor pada ruas kanan buka, sehingga hasil kalinya buka. Kriteria prapeta bagi kekontinuan menyelesaikan bukti. Rubrik: bukti harus berlaku untuk setiap himpunan buka, bukan hanya elemen basis tertentu.

Jika \(B=S_1\cap\cdots\cap S_k\) elemen basis yang dibangkitkan subbasis, maka \(f^{-1}(B)=\bigcap_{j=1}^k f^{-1}(S_j)\text{,}\) suatu irisan berhingga himpunan buka. Jika \(O=\bigcup_\alpha B_\alpha\text{,}\) maka \(f^{-1}(O)=\bigcup_\alpha f^{-1}(B_\alpha)\text{,}\) juga buka. Jadi \(f\) kontinu. Rubrik: solusi harus memakai kedua tahap—subbasis ke basis dan basis ke topologi.

Karena basis produk terdiri atas persegi panjang, cukup mencari \(U_1\times V_1\) dan \(U_2\times V_2\) yang memuat kedua titik dan beririsan kosong. Pada langkah berikutnya, salah satu koordinat yang berbeda akan menyediakan pasangan lingkungan faktor yang saling lepas. Rubrik: target harus dikuantifikasi untuk pasangan titik berbeda dan memuat syarat keterbukaan, pemuatan, serta ketakberirisan.