Teorema 19.16.
Kurva sinus topolog terhubung, tetapi tidak terhubung lintasan.
Bagian Keterhubungan Lintasan dan Keterhubungan dalam Ruang Topologi Tak Hingga
Karena keterhubungan dan keterhubungan lintasan ekuivalen dalam ruang topologi berhingga, pertanyaan yang wajar sekarang adalah apakah konvers dari Teorema 19.10 benar dalam ruang topologi sebarang. Seperti yang akan kita lihat, jawabannya tidak. Untuk menemukan contoh penyangkal, kita perlu melihat ruang topologi tak hingga. Ada banyak contoh, tetapi contoh baku yang dapat dipertimbangkan adalah kurva sinus topolog. Kurva \(S\) ini didefinisikan sebagai gabungan himpunan
\begin{equation*}
S_1 = \{(0,y) \mid -1 \leq y \leq 1\} \ \text{ dan } \ S_2 = \left\{ \left(x,\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right) \Big| \ 0 \lt x \leq 1\right\}\text{.}
\end{equation*}
Gambar \(S\) ditunjukkan dalam Gambar 19.15.
Untuk memahami apakah \(S\) terhubung, mari kita pertimbangkan hubungan antara \(S\) dan \(S_2\text{.}\) Gambar 19.15 tampaknya menunjukkan bahwa \(S = \overline{S_2}\text{.}\) Untuk melihat apakah ini benar, misalkan \(q=(0,y) \in S_1\text{,}\) dan misalkan \(N\) lingkungan dari \(q\text{.}\) Maka terdapat \(\epsilon \gt 0\) sedemikian sehingga \(B = B(q, \epsilon) \subseteq N\text{.}\) Pilih \(K \in \Z^+\) sedemikian sehingga \(\frac{1}{\arcsin(y)+2 \pi K} \lt \epsilon\text{,}\) dan misalkan \(z = \frac{1}{\arcsin(y)+2 \pi K}\text{.}\) Maka
\begin{align*}
d_E\left(q,\left(z, \sin\left(\frac{1}{z}\right)\right)\right) \amp = d_E\left((0,y),(z, \sin(\arcsin(y)+2 \pi K))\right)\\
\amp = d_E((0,y), (z,\sin(\arcsin(y))))\\
\amp = d_E((0,y), (z,y))\\
\amp = \la z \ra\\
\amp \lt \epsilon\text{,}
\end{align*}
sehingga \(\left(z, \sin\left(\frac{1}{z}\right)\right) \in B(q, \epsilon)\text{,}\) dan setiap lingkungan dari \(q\) memuat suatu titik dalam \(S_2\text{.}\) Oleh karena itu, \(S_1 \subseteq S_2' \subseteq \overline{S_2}\) dan \(\overline{S_2} = S\) dalam \(S\text{.}\) Fakta bahwa \(S\) terhubung mengikuti Teorema 18.8.
Setelah mengetahui bahwa \(S\) terhubung, teorema berikut menunjukkan bahwa \(S\) merupakan ruang terhubung yang tidak terhubung lintasan.
Bukti.
Kita mengetahui bahwa \(S\) terhubung, sehingga tinggal menunjukkan bahwa \(S\) tidak terhubung lintasan. Himpunan \(S_1\) dan \(S_2\) terhubung (masing-masing sebagai citra kontinu dari interval \([0,1]\) dan \((0,1]\)). Dengan kontradiksi, kita akan membuktikan bahwa tidak ada lintasan \(p\) dalam \(S\) dari \(p(0) = (0,0)\) ke \(p(1) = b\) untuk sembarang titik \(b \in S_2\text{.}\) Andaikan lintasan \(p\) seperti itu ada. Misalkan \(U = p^{-1}(S_1)\) dan \(V = p^{-1}(S_2)\text{.}\) Maka
\begin{equation}
[0,1] = p^{-1}(S) = p^{-1}(S_1 \cup S_2) = p^{-1}(S_1) \cup p^{-1}(S_2) = U \cup V\text{.}\tag{19.2}
\end{equation}
Perhatikan bahwa \(S_2\) merupakan subhimpunan buka dari \(S\text{,}\) karena \(S_2 = \left( \bigcup_{z = (x,y) \in S_2} B\left(z, \frac{x}{2}\right)\right) \cap S\text{.}\) Jadi, kekontinuan \(p\) mengakibatkan \(V\) merupakan subhimpunan buka dari \([0,1]\text{.}\) Selain itu, fakta bahwa \(p(0) \in S_1\) berarti \(U \neq \emptyset\text{,}\) dan fakta bahwa \(p(1) \in S_2\) berarti \(V \neq \emptyset\text{.}\) Jika kita menunjukkan bahwa \(U\) merupakan subhimpunan buka dari \([0,1]\text{,}\) maka Persamaan (19.2) akan mengakibatkan \([0,1]\) tidak terhubung, suatu kontradiksi. Jadi, kita lanjutkan dengan membuktikan bahwa \(U\) terbuka dalam \([0,1]\text{.}\)
Misalkan \(x \in U\text{,}\) sehingga \(p(x) \in S_1\text{.}\) Himpunan \(O = B_S\left(p(x), \frac{1}{2}\right) \cap S\) terbuka dalam \(S\text{.}\) Kekontinuan \(p\) kemudian memberi tahu kita bahwa \(p^{-1}(O)\) terbuka dalam \([0,1]\text{.}\) Jadi, terdapat \(\delta \gt 0\) sedemikian sehingga bola buka \(B=B_{[0,1]}(x, \delta)\) merupakan subhimpunan dari \(p^{-1}(O)\text{.}\) Kita akan membuktikan bahwa \(p(B) \subseteq S_1\text{.}\) Ini akan mengakibatkan \(B \subseteq U\text{,}\) sehingga \(U\) merupakan lingkungan dari setiap titiknya, dan karenanya \(U\) merupakan himpunan buka.
Setiap elemen dalam \(B\) dipetakan ke dalam \(O\) oleh lintasan \(p\text{.}\) Himpunan \(O\) rumit, terdiri atas tak hingga banyak subkurva dari kurva \(S_2\text{,}\) bersama dengan titik-titik dalam \(S_1\text{,}\) seperti diilustrasikan dalam Gambar 19.17. Untuk menyederhanakan analisis, mari kita pertimbangkan proyeksi ke sumbu \(x\text{.}\) Fungsi \(P_x : \R^2 \to \R\) yang didefinisikan oleh \(P_x(x,y) = x\) merupakan fungsi kontinu. Misalkan \(I = P_x(p(B))\text{.}\) Karena \(p(B) \subseteq O\text{,}\) kita mengetahui bahwa \(I \subseteq P_x(O)\text{.}\) Misalkan \(Z = P_x(O)\text{.}\) Jadi, \(I \subseteq Z\text{.}\) Karena \(B\) merupakan himpunan terhubung (\(B\) adalah interval), kita mengetahui bahwa \(p(B)\) merupakan himpunan terhubung. Fakta bahwa \(P_x\) kontinu berarti bahwa \(I = P_x(p(B))\) juga terhubung. Selanjutnya, \(I\) merupakan subhimpunan terbatas dari \(\R\text{,}\) sehingga \(I\) harus berupa interval terbatas. Ingat bahwa \(x \in B\text{,}\) sehingga \(p(x) \in p(B)\text{.}\) Fakta bahwa \(p(x) \in S_1\) memberi tahu kita bahwa \(0 = P_x(p(x)) \in P_x(p(B)) = I\text{.}\) Jadi, \(I \neq \emptyset\text{.}\) Ada dua kemungkinan untuk \(I\text{:}\) \(I = \{0\}\text{,}\) atau \(I\) merupakan interval dengan panjang positif. Kita pertimbangkan kedua kasus itu.
Andaikan \(I = \{0\}\text{.}\) Maka proyeksi \(p(B)\) ke sumbu \(x\) adalah titik tunggal \(0\) dan \(p(B) \subseteq S_1\text{,}\) seperti yang diinginkan. Andaikan \(I\) merupakan interval berbentuk \([0,d]\) atau \([0,d)\) untuk suatu bilangan positif \(d\text{.}\) Struktur \(O\) menunjukkan bahwa harus terdapat beberapa celah dalam himpunan \(Z\text{,}\) yaitu proyeksi \(O\) ke sumbu \(x\text{.}\) Ini mengakibatkan \(I\) tidak mungkin berupa interval terhubung. Kita lanjutkan dengan menunjukkan hal ini. Dengan kata lain, kita akan membuktikan bahwa \(I \setminus Z \neq \emptyset\) (yang mustahil karena \(I \subseteq Z\)). Ingat bahwa \(p(x) \in S_1\text{,}\) jadi misalkan \(p(x) = (0, q)\text{.}\) Kita pertimbangkan apa yang terjadi jika \(q \lt \frac{1}{2}\) dan jika \(q \geq \frac{1}{2}\text{.}\)
Andaikan \(q \lt \frac{1}{2}\text{.}\) Maka bola \(B_S\left(p(x), \frac{1}{2}\right)\) hanya memuat titik-titik dengan nilai \(y\) kurang dari 1. Misalkan \(N \in \Z^+\) sedemikian sehingga \(t=\frac{1}{\pi/2+2N\pi} \lt d\text{.}\) Maka \(t \in I\text{.}\) Namun, \(\sin\left(\frac{1}{t}\right) = \sin(\pi/2 + 2N\pi) = \sin(\pi/2) = 1\text{,}\) sehingga \(\left(t,\sin\left(\frac{1}{t}\right)\right)\) tidak berada dalam \(O\text{.}\) Jadi, \(t \notin Z\text{.}\) Dengan demikian kita telah menemukan titik dalam \(I \setminus Z\text{.}\)
Terakhir, andaikan \(q \geq \frac{1}{2}\text{.}\) Maka bola \(B_S\left(p(x), \frac{1}{2}\right)\) hanya memuat titik-titik dengan nilai \(y\) lebih besar dari \(-1\text{.}\) Misalkan \(N \in \Z^+\) sedemikian sehingga \(t=\frac{1}{3\pi/2+2N\pi} \lt d\text{.}\) Maka \(t \in I\text{.}\) Namun, \(\sin\left(\frac{1}{t}\right) = \sin(3\pi/2 + 2N\pi) = \sin(3\pi/2) = -1\text{,}\) sehingga \(t \notin Z\text{.}\) Dengan demikian kita telah menemukan titik dalam \(I \setminus Z\text{.}\)
Kita menyimpulkan bahwa tidak mungkin ada lintasan dalam \(S\) dari \((0,0)\) ke sembarang titik dalam \(S_2\text{,}\) yang melengkapi bukti bahwa \(S\) tidak terhubung lintasan. (Bahkan, argumen yang diberikan menunjukkan bahwa tidak ada lintasan dalam \(S\) dari sembarang titik dalam \(S_1\) ke sembarang titik dalam \(S_2\text{.}\))
