Bagian Panduan Latihan Bab 20, Bagian B
Bagian ini memuat dukungan lengkap untuk prompt latihan kesebelas sampai kedua puluh.
Buktikan bahwa \(\mathcal B_X\times\mathcal B_Y=\{U\times V:U\in\mathcal B_X,V\in\mathcal B_Y\}\) merupakan basis produk.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Perhalus setiap kotak buka \(O_X\times O_Y\) pada satu titik menggunakan basis faktor.
Untuk \((x,y)\in O_X\times O_Y\text{,}\) pilih \(U\in\mathcal B_X\) dan \(V\in\mathcal B_Y\) dengan \(x\in U\subseteq O_X\) dan \(y\in V\subseteq O_Y\text{.}\)
Setiap titik produk dimuat oleh suatu \(U\times V\) karena basis faktor menutupi faktor. Jika titik berada dalam irisan \((U_1\times V_1)\cap(U_2\times V_2)\text{,}\) sifat basis faktor memberi \(U_3\ni x\) termuat dalam \(U_1\cap U_2\) dan \(V_3\ni y\) termuat dalam \(V_1\cap V_2\text{.}\) Maka \(U_3\times V_3\) menyempurnakan irisan. Rubrik: kedua aksioma basis harus dibuktikan dari aksioma basis faktor.
Pemeriksaan T.43. Produk berhingga ruang terhubung.
Buktikan dengan induksi bahwa hasil kali berhingga ruang terhubung bersifat terhubung.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Gunakan teorema dua faktor pada \((X_1\times\cdots\times X_{n-1})\times X_n\text{.}\)
Kasus satu faktor jelas; langkah induksi adalah penerapan teorema produk dua ruang terhubung.
Untuk \(n=1\) pernyataan adalah hipotesis. Andaikan \(P_{n-1}=\prod_{i=1}^{n-1}X_i\) terhubung. Karena \(X_n\) terhubung, teorema dua faktor memberi \(P_{n-1}\times X_n\) terhubung. Homeomorfisme asosiatif kanonis mengidentifikasikannya dengan \(\prod_{i=1}^n X_i\text{.}\) Rubrik: dasar, hipotesis induksi, langkah dua faktor, dan identifikasi asosiatif harus muncul.
Pemeriksaan T.44. Produk berhingga ruang kompak.
Buktikan dengan induksi bahwa hasil kali berhingga ruang kompak bersifat kompak.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Ulangi pola induksi keterhubungan dengan teorema kekompakan dua faktor.
Produk \(n-1\) faktor kompak menurut induksi; hasil kalinya dengan faktor terakhir kompak menurut teorema dua faktor.
Kasus \(n=1\) langsung. Jika \(P_{n-1}\) kompak dan \(X_n\) kompak, teorema produk dua ruang kompak menunjukkan \(P_{n-1}\times X_n\) kompak. Melalui homeomorfisme pengelompokan ulang, ruang ini adalah produk \(n\) faktor. Rubrik: jangan menyebut Tychonoff takberhingga; teorema dua faktor dan induksi sudah cukup.
Pemeriksaan T.45. Produk dua ruang terhubung lintasan.
Bangun lintasan antara dua titik sebarang pada \(X_1\times X_2\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Pilih lintasan pada tiap koordinat dan jalankan keduanya dengan parameter yang sama.
Jika \(\gamma_i\) menghubungkan \(x_i\) ke \(y_i\text{,}\) ambil \(\gamma(t)=(\gamma_1(t),\gamma_2(t))\text{.}\)
Komposisi \(\pi_i\circ\gamma=\gamma_i\) kontinu untuk kedua koordinat. Kriteria kekontinuan fungsi menuju produk memberi kontinuitas \(\gamma\text{.}\) Nilai ujungnya \(\gamma(0)=(x_1,x_2)\) dan \(\gamma(1)=(y_1,y_2)\text{.}\) Rubrik: konstruksi dan alasan kontinuitas melalui proyeksi harus dicantumkan.
Pemeriksaan T.46. Produk berhingga ruang terhubung lintasan.
Perluas hasil dua faktor ke banyak faktor berhingga.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Gunakan induksi atau fungsi koordinat \(\gamma(t)=(\gamma_1(t),\ldots,\gamma_n(t))\text{.}\)
Lintasan koordinat dijalankan serentak; semua komposisi proyeksinya kontinu, maka lintasan produk kontinu.
Untuk dua titik \((x_i)\) dan \((y_i)\text{,}\) pilih lintasan \(\gamma_i\) dalam \(X_i\text{.}\) Definisikan \(\gamma(t)=(\gamma_1(t),\ldots,\gamma_n(t))\text{.}\) Setiap \(\pi_i\circ\gamma\) kontinu, sehingga teorema kekontinuan menuju produk berhingga memberi kontinuitas \(\gamma\text{.}\) Nilai ujungnya benar koordinat demi koordinat. Rubrik: bukti harus berlaku seragam untuk semua \(n\) berhingga.
Pemeriksaan T.47. Apakah kekompakan produk memaksa kekompakan faktor?
Putuskan pernyataan tanpa menambahkan hipotesis ketakkosongan yang tidak tertulis.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Proyeksi hanya surjektif ke suatu faktor jika faktor yang lain tidak kosong.
Pernyataan salah sebagaimana ditulis: \(\R\times\emptyset=\emptyset\) kompak, tetapi \(\R\) tidak kompak. Jika kedua faktor tidak kosong, pernyataannya benar.
Ambil \(X_1=\R\) dengan topologi biasa dan \(X_2=\emptyset\text{.}\) Produknya kosong dan karenanya kompak, sedangkan \(X_1\) tidak kompak. Dengan syarat kedua faktor takkosong, masing-masing proyeksi \(\pi_i\) kontinu dan surjektif; citra kontinu ruang kompak kompak, sehingga kedua faktor kompak. Rubrik: jawaban penuh harus memberi contoh tandingan dan menjelaskan versi benar dengan hipotesis minimal.
Pemeriksaan T.48. Proyeksi merupakan pemetaan buka.
Buktikan bahwa \(\pi_i:X_1\times X_2\to X_i\) memetakan himpunan buka ke himpunan buka.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Mulai dari gabungan kotak basis dan hitung citra setiap kotak.
Citra \(U\times V\) di bawah \(\pi_1\) adalah \(U\) jika \(V\ne\emptyset\) dan kosong jika \(V=\emptyset\text{;}\) gabungannya tetap buka.
Tulis himpunan buka \(O=\bigcup_\alpha(U_\alpha\times V_\alpha)\text{.}\) Karena citra mempertahankan gabungan, \(\pi_1(O)=\bigcup_{V_\alpha\ne\emptyset}U_\alpha\text{,}\) yang buka dalam \(X_1\text{.}\) Argumen untuk \(\pi_2\) simetris. Rubrik: kasus faktor basis kosong tidak boleh diam-diam diabaikan.
Pemeriksaan T.49. Kapan topologi produk diskret?
Dengan tiap faktor memiliki sedikitnya dua titik, buktikan bahwa produk diskret tepat ketika kedua faktor diskret.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Untuk arah maju, proyeksikan singleton buka; untuk arah balik, hasil kalikan singleton faktor.
Jika produk diskret, \(\{(x_1,x_2)\}\) buka dan proyeksi buka memberi \(\{x_i\}\) buka. Jika faktor diskret, semua singleton produk terbuka.
Ambil sembarang \(x_1\in X_1\) dan pilih \(x_2\in X_2\text{.}\) Karena produk diskret, singleton pasangan buka; pemetaan proyeksi terbuka, jadi citranya \(\{x_1\}\) buka. Tukar faktor untuk memperoleh semua singleton di \(X_2\text{.}\) Maka faktor-faktor diskret. Sebaliknya, jika semua singleton faktor buka, setiap singleton produk adalah kotak buka; setiap himpunan adalah gabungan singleton. Rubrik: kedua implikasi dan penggunaan ketakkosongan harus eksplisit.
Pemeriksaan T.50. Komplemen hasil kali subhimpunan.
Nilai kebenaran identitas komplemen \((X_1\times X_2)\setminus(A_1\times A_2)=(X_1\setminus A_1)\times(X_2\setminus A_2)\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Negasi “\(x\in A_1\) dan \(y\in A_2\)” memakai “atau”, bukan “dan”.
Salah. Rumus yang benar adalah \(((X_1\setminus A_1)\times X_2)\cup(X_1\times(X_2\setminus A_2))\text{.}\)
Ambil \(X_1=X_2=\{0,1\}\) dan \(A_1=A_2=\{0\}\text{.}\) Titik \((0,1)\) berada dalam komplemen produk, tetapi tidak berada dalam hasil kali kedua komplemen karena koordinat pertamanya masih dalam \(A_1\text{.}\) Hukum De Morgan memberi rumus benar pada jawaban. Rubrik: contoh tandingan harus diuji pada kedua ruas dan rumus benar sebaiknya dinyatakan.
Pemeriksaan T.51. Apakah batas produk termuat dalam produk batas?
Nilai kebenaran \(\partial(A_1\times A_2)\subseteq\partial A_1\times\partial A_2\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Ambil faktor kedua seluruh ruang, yang batasnya kosong.
Salah. Dalam \(\R^2\text{,}\) ambil \(A_1=(0,1)\) dan \(A_2=\R\text{;}\) batas produk adalah \(\{0,1\}\times\R\text{,}\) sedangkan produk batas kosong.
Karena \(\partial\R=\emptyset\text{,}\) ruas kanan \(\partial(0,1)\times\partial\R\) kosong. Namun \((0,1)\times\R\) adalah pita terbuka dan penutupnya \([0,1]\times\R\text{,}\) sehingga batasnya dua garis \(\{0,1\}\times\R\text{.}\) Rubrik: contoh harus menghitung kedua batas secara eksplisit.
