Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Edisi Lengkap Bahasa Indonesia — Dua Puluh Bab, Pendamping Belajar Mandiri, dan Pelengkap C90

Dari daftar \(\tau\text{,}\) himpunan \(U\) dan \(V\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Selain itu, \(U\ne\emptyset\text{,}\) \(V\ne\emptyset\text{,}\) \(U\cap V=\emptyset\text{,}\) dan \(U\cup V=X\text{.}\) Jadi \(U\) dan \(V\) memenuhi semua syarat suatu pemisahan dari \(X\text{;}\) khususnya, \(X\) tidak terhubung.

Himpunan buka subruang dari \(U\) berbentuk \(U\cap O\) dengan \(O\in\tau\text{.}\) Keempat kemungkinan memberi hanya \(\emptyset\) dan \(U\text{.}\) Jadi \(U\) bertopologi indiskret. Topologi subruang pada \(V\) juga \(\{\emptyset,V\}\text{.}\) Ruang indiskret tak kosong tidak mempunyai dua himpunan buka tak kosong yang saling lepas, maka \(U\) dan \(V\) terhubung.

Subhimpunan terhubung yang memuat titik \(a\) tidak dapat memuat titik dari \(V\text{:}\) irisan dengan \(U\) dan \(V\) akan memisahkannya. Karena \(U\) sendiri terhubung, \(U\) merupakan subhimpunan terhubung maksimal yang memuat \(a\text{.}\) Argumen yang sama berlaku bagi setiap titik dan bagi \(V\text{.}\) Jadi komponen-komponen terhubung \(X\) adalah \(U\) dan \(V\text{.}\)

Andaikan \(X\) terhubung dan misalkan \(A\subseteq X\) sekaligus terbuka dan tertutup. Jika \(A\notin\{\emptyset,X\}\text{,}\) maka \(A\) dan \(X\setminus A\) tak kosong. Himpunan pertama terbuka menurut hipotesis, sedangkan yang kedua terbuka karena \(A\) tertutup. Keduanya saling lepas dan gabungannya \(X\text{,}\) sehingga membentuk pemisahan. Ini bertentangan dengan keterhubungan \(X\text{.}\) Maka hanya \(\emptyset\) dan \(X\) yang buka-tertutup.

Sebaliknya, andaikan \(\emptyset\) dan \(X\) adalah satu-satunya himpunan buka-tertutup. Jika \(X\) tidak terhubung, ada pemisahan \(U,V\text{.}\) Himpunan \(U\) terbuka, dan karena \(X\setminus U=V\) juga terbuka, \(U\) tertutup. Syarat pemisahan membuat \(U\) tak kosong dan tidak sama dengan \(X\text{,}\) bertentangan dengan hipotesis. Jadi \(X\) terhubung.

Dalam ruang diskret \(D=\{0,1\}\text{,}\) singleton \(\{0\}\) dan \(\{1\}\) membentuk pemisahan, sehingga \(D\) tidak terhubung. Jika ada surjeksi kontinu \(g:X\to D\text{,}\) hasil yang baru dibuktikan akan membuat \(g(X)=D\) terhubung, sebuah kontradiksi.

Andaikan \(A\) terhubung. Jika terdapat \(a,b\in A\) dan \(a<c<b\) dengan \(c\notin A\text{,}\) tetapkan \(U=A\cap(-\infty,c)\) dan \(V=A\cap(c,\infty)\text{.}\) Kedua himpunan terbuka dalam \(A\text{,}\) masing-masing memuat \(a\) dan \(b\text{,}\) saling lepas, dan gabungannya \(A\text{.}\) Ini adalah pemisahan, sebuah kontradiksi. Maka \(A\) mempunyai sifat interval.

Sebaliknya, andaikan \(A\) mempunyai sifat interval dan, untuk memperoleh kontradiksi, misalkan \(U,V\) memisahkan \(A\text{.}\) Pilih \(u\in U\) dan \(v\in V\text{;}\) setelah menukar nama jika perlu, andaikan \(u<v\text{.}\) Sifat interval memberi \([u,v]\subseteq A\text{.}\) Himpunan \(E=U\cap[u,v]\) tak kosong dan terbatas di atas. Ambil \(s=\sup E\text{.}\) Karena \(u\leq s\leq v\text{,}\) berlaku \(s\in A\text{,}\) sehingga \(s\in U\) atau \(s\in V\text{.}\)

Jika \(s\in U\text{,}\) keterbukaan relatif \(U\) memberi \(\epsilon>0\) dengan \(A\cap(s-\epsilon,s+\epsilon)\subseteq U\text{.}\) Karena \(s<v\) dalam kasus ini, suatu titik di antara \(s\) dan \(\min\{s+\epsilon,v\}\) berada dalam \(E\) dan lebih besar dari \(s\text{,}\) bertentangan dengan sifat batas atas. Jika \(s\in V\text{,}\) keterbukaan relatif \(V\) memberi interval relatif di sekitar \(s\) yang tidak beririsan dengan \(U\text{.}\) Namun definisi supremum menjamin anggota \(E\) yang lebih besar dari \(s-\epsilon\text{,}\) juga kontradiksi. Jadi pemisahan tidak ada dan \(A\) terhubung. Sifat interval ini tepat definisi himpunan interval dalam \(\R\text{,}\) dengan singleton dan interval tak terbatas termasuk.

Himpunan \((-2,-1)\) dan \([2,4]\) adalah interval dalam \(\R\text{,}\) maka terhubung; singleton \(\{0\}\) juga terhubung. Jika suatu subhimpunan \(D\subseteq X\) memuat titik dari dua bagian berbeda, pilih bilangan real \(c\notin X\) di antara kedua titik tersebut. Himpunan \(D\cap(-\infty,c)\) dan \(D\cap(c,\infty)\) kemudian terbuka relatif dalam \(D\text{,}\) tak kosong, saling lepas, dan menutupi \(D\text{.}\) Jadi \(D\) tidak terhubung. Tidak satu pun dari ketiga bagian dapat diperbesar di dalam \(X\) sambil tetap terhubung; ketiganya tepat komponen-komponen \(X\text{.}\)

Sekarang misalkan \(C\) suatu komponen dari ruang topologi umum \(Y\text{.}\) Penutupan himpunan terhubung terhubung: jika \(\overline C\) mempunyai pemisahan, lema bahwa subhimpunan terhubung harus seluruhnya berada dalam salah satu sisi menempatkan \(C\) pada satu sisi; sisi lain yang tak kosong dan terbuka relatif akan memuat titik penutupan \(C\) tetapi tidak beririsan dengan \(C\text{,}\) sebuah kontradiksi. Jadi \(\overline C\) terhubung. Karena \(C\subseteq\overline C\) dan \(C\) maksimal di antara subhimpunan terhubung, berlaku \(\overline C=C\text{.}\) Maka \(C\) tertutup.

Karena \(h\) bijektif, \(h(X\setminus S)=Y\setminus h(S)\text{.}\) Pembatasan \(h_S:X\setminus S\to Y\setminus h(S)\) kontinu sebagai pembatasan fungsi kontinu. Inversnya adalah pembatasan \(h^{-1}\text{,}\) sehingga juga kontinu. Jadi \(h_S\) homeomorfisme. Jika \(S\) himpunan pemutus, \(X\setminus S\) tidak terhubung. Karena keterhubungan merupakan invarian topologi, \(Y\setminus h(S)\) tidak terhubung. Maka \(h(S)\) himpunan pemutus. Untuk \(S=\{p\}\text{,}\) bijektivitas memberi \(h(S)=\{h(p)\}\text{,}\) sehingga titik pemutus dipertahankan.

Setiap \(p\in(0,1)\) merupakan titik pemutus dari \([0,1]\text{,}\) sebab \([0,1]\setminus\{p\}=[0,p)\cup(p,1]\) tidak terhubung. Sebaliknya, untuk setiap \(q\in S^1\text{,}\) ruang \(S^1\setminus\{q\}\) homeomorfik dengan \(\R\text{,}\) misalnya melalui proyeksi stereografik setelah suatu rotasi membawa \(q\) ke kutub proyeksi. Karena \(\R\) terhubung, lingkaran tidak mempunyai titik pemutus. Jika ada homeomorfisme \([0,1]\to S^1\text{,}\) citra suatu titik interior harus menjadi titik pemutus lingkaran, kontradiksi. Jadi kedua ruang tidak homeomorfik.

Karena \(I\) interval dan \(a,b\in I\text{,}\) berlaku \([a,b]\subseteq I\text{.}\) Interval tertutup \([a,b]\) terhubung. Pembatasan \(f|_{[a,b]}\) kontinu, sehingga \(f([a,b])\) terhubung sebagai citra kontinu ruang terhubung. Berdasarkan pencirian subhimpunan terhubung dari garis real, \(f([a,b])\) merupakan interval.

Andaikan, tanpa mengurangi keumuman, bahwa \(f(a)\leq y\leq f(b)\text{.}\) Kedua bilangan \(f(a)\) dan \(f(b)\) termasuk dalam interval \(f([a,b])\text{.}\) Karena interval memuat setiap bilangan di antara dua anggotanya, \(y\in f([a,b])\text{.}\) Menurut definisi citra, ada \(c\in[a,b]\) dengan \(f(c)=y\text{.}\) Jika urutan nilai ujung terbalik, argumen yang sama berlaku setelah keduanya ditukar. Inilah Teorema Nilai Antara sebagai konsekuensi langsung keterhubungan.

Definisikan \(h:[a,b]\to\R\) melalui \(h(x)=f(x)-x\text{.}\) Fungsi \(h\) kontinu sebagai selisih dua fungsi kontinu. Karena \(f(a)\in[a,b]\text{,}\) berlaku \(f(a)\geq a\text{,}\) sehingga \(h(a)\geq0\text{.}\) Demikian pula, \(f(b)\leq b\text{,}\) sehingga \(h(b)\leq0\text{.}\)

Jika salah satu nilai ujung sama dengan nol, titik ujung itu sudah merupakan titik tetap. Jika tidak, \(h(a)>0>h(b)\text{.}\) Dalam kedua keadaan, nilai \(0\) berada di antara \(h(a)\) dan \(h(b)\text{.}\) Teorema Nilai Antara menghasilkan \(c\in[a,b]\) dengan \(h(c)=0\text{.}\) Maka \(f(c)-c=0\text{,}\) yakni \(f(c)=c\text{.}\)

Syarat \(f([a,b])\subseteq[a,b]\) tidak boleh dihapus. Fungsi \(g:[a,b]\to\R\) yang diberikan oleh \(g(x)=x+1\) kontinu, tetapi persamaan \(g(x)=x\) akan memberi \(1=0\text{,}\) yang mustahil. Pada contoh ini tanda ujung yang diperlukan juga gagal: \(g(b)-b=1>0\text{.}\)