Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Edisi Lengkap Bahasa Indonesia — Dua Puluh Bab, Pendamping Belajar Mandiri, dan Pelengkap C90

Steven Schlicker

Bagian Keterhitungan, Kepadatan, dan Sifat Lindelöf

Topologi tidak selalu mempunyai daftar lingkungan atau basis yang dapat ditangani secara berurutan. Modul ini membedakan keterhitungan lokal dari keterhitungan global, lalu menghubungkannya dengan himpunan padat dan subselimut terhitung. Istilah basis lokal dan aksioma keterhitungan pertama mengikuti penggunaan matematika Indonesia yang telah dicatat dalam audit terminologi edisi ini.

Subbagian Basis lokal dan dua aksioma keterhitungan

Definisi U.22.

Misalkan \(x\in X\text{.}\) Suatu keluarga \(\mathcal B_x\) lingkungan buka dari \(x\) disebut basis lokal di \(x\) jika untuk setiap himpunan buka \(U\) yang memuat \(x\text{,}\) terdapat \(B\in\mathcal B_x\) dengan \(x\in B\subseteq U\text{.}\)

Definisi U.23.

Ruang \(X\) disebut terhitung pertama jika setiap titik mempunyai basis lokal terhitung. Ruang \(X\) disebut terhitung kedua jika topologinya mempunyai suatu basis terhitung.

Bukti.

Jika \(U\) terbuka dan \(x\in U\text{,}\) terdapat \(\varepsilon>0\) dengan \(B_\varepsilon(x)\subseteq U\text{.}\) Pilih \(n\) sehingga \(1/n<\varepsilon\text{.}\) Maka \(x\in B_{1/n}(x)\subseteq B_\varepsilon(x)\subseteq U\text{.}\)

Bukti.

Jika \(\mathcal B\) basis terhitung bagi \(X\text{,}\) maka \(\mathcal B_x=\{B\in\mathcal B:x\in B\}\) terhitung. Untuk setiap lingkungan buka \(U\) dari \(x\text{,}\) sifat basis memberi \(B\in\mathcal B_x\) dengan \(B\subseteq U\text{.}\) Jadi \(\mathcal B_x\) merupakan basis lokal.

Subbagian Kepadatan, separabilitas, dan sifat Lindelöf

Definisi U.26.

Subhimpunan \(D\subseteq X\) disebut padat dalam \(X\) jika \(\overline D=X\text{,}\) atau secara ekuivalen jika setiap himpunan buka tak kosong beririsan dengan \(D\text{.}\) Ruang \(X\) disebut separabel jika mempunyai subhimpunan padat yang paling banyak terhitung.

Definisi U.27.

Ruang \(X\) disebut ruang Lindelöf jika setiap selimut buka bagi \(X\) mempunyai subselimut yang paling banyak terhitung.

Bukti.

Ambil basis terhitung \(\mathcal B=\{B_n:n\in\mathbb N\}\) dan pilih satu titik \(x_n\in B_n\) untuk setiap unsur basis tak kosong. Himpunan \(D=\{x_n:n\in\mathbb N\}\) terhitung. Jika \(U\) terbuka dan tak kosong, pilih \(x\in U\) dan unsur basis \(B_n\) dengan \(x\in B_n\subseteq U\text{.}\) Maka \(x_n\in D\cap U\text{,}\) sehingga \(D\) padat.
Sekarang misalkan \(\mathcal U\) selimut buka bagi \(X\text{.}\) Untuk setiap \(x\in X\text{,}\) pilih \(U_x\in\mathcal U\) dan \(B_x\in\mathcal B\) dengan \(x\in B_x\subseteq U_x\text{.}\) Hanya paling banyak terhitung banyak unsur basis berbeda yang muncul sebagai \(B_x\text{.}\) Untuk setiap unsur basis yang muncul, pertahankan satu himpunan \(U_x\) yang memuatnya. Keluarga terhitung yang diperoleh tetap menutupi \(X\text{,}\) sehingga \(X\) Lindelöf.

Bukti.

Teorema sebelumnya memberi bahwa keterhitungan kedua mengakibatkan dua sifat lainnya. Andaikan \(D\) padat dan terhitung. Keluarga semua bola \(B_r(d)\) dengan \(d\in D\) dan \(r\in\mathbb Q^+\) terhitung. Jika \(U\) terbuka dan \(x\in U\text{,}\) pilih \(\varepsilon>0\) dengan \(B_\varepsilon(x)\subseteq U\text{.}\) Pilih \(d\in D\cap B_{\varepsilon/3}(x)\) dan rasional positif \(r\) dengan \(d(x,d)<r<\varepsilon-d(x,d)\text{.}\) Maka \(x\in B_r(d)\subseteq U\text{,}\) sehingga keluarga bola tadi merupakan basis terhitung.
Terakhir, andaikan \(X\) Lindelöf. Untuk setiap \(n\in\mathbb Z^+\text{,}\) selimut \(\{B_{1/n}(x):x\in X\}\) mempunyai subselimut terhitung; pilih pusat-pusatnya sebagai \(D_n\text{.}\) Himpunan \(D=\bigcup_{n\ge1}D_n\) terhitung. Setiap bola buka tak kosong memuat suatu pusat dari \(D_n\) untuk \(n\) cukup besar, jadi \(D\) padat. Dengan demikian \(X\) separabel.

Subbagian Pewarisan, citra kontinu, dan contoh-balik

Bukti.

Jika \(A\subseteq X\) dan \(\mathcal B_x\) basis lokal di \(x\in A\text{,}\) jejak-jejak \(B\cap A\) membentuk basis lokal di \(x\) untuk topologi subruang. Demikian pula, jejak suatu basis terhitung bagi \(X\) membentuk basis terhitung bagi \(A\text{.}\)
Jika \(F\) tertutup dalam ruang Lindelöf \(X\text{,}\) tambahkan \(X\setminus F\) pada selimut buka relatif dari \(F\text{.}\) Suatu subselimut terhitung bagi \(X\text{,}\) setelah himpunan tambahan itu dibuang, menutupi \(F\text{.}\)
Jika \(f:X\to Y\) kontinu dan \(D\) padat dalam \(X\text{,}\) maka \(f(X)=f(\overline D)\subseteq\overline{f(D)}\text{;}\) jadi \(f(D)\) padat dalam \(f(X)\text{.}\) Jika \(D\) terhitung, citranya juga terhitung. Untuk sifat Lindelöf, tarik suatu selimut buka bagi \(f(X)\) kembali ke \(X\text{,}\) pilih subselimut terhitung, lalu ambil kembali himpunan-himpunan asal yang bersesuaian.

Contoh U.31.

Garis Sorgenfrey adalah \(\mathbb R\) dengan basis semua interval \([a,b)\text{.}\) Ruang ini separabel tetapi tidak terhitung kedua. Himpunan \(\mathbb Q\) padat karena setiap interval basis tak kosong memuat bilangan rasional. Jika \(\mathcal B\) basis terhitung, untuk setiap \(x\in\mathbb R\) pilih \(B_x\in\mathcal B\) dengan \(x\in B_x\subseteq[x,x+1)\text{.}\) Bila \(x<y\text{,}\) kesamaan \(B_x=B_y\) mustahil karena \(x\in B_y\subseteq[y,y+1)\text{.}\) Jadi pemetaan \(x\mapsto B_x\) injektif ke \(\mathcal B\text{,}\) bertentangan dengan keterhitungan \(\mathcal B\text{.}\)

Contoh U.32.

Pada himpunan tak terhitung \(X\text{,}\) topologi komplemen terhitung bersifat Lindelöf tetapi tidak separabel. Untuk suatu selimut buka, pilih satu anggota \(U_0\text{;}\) komplemennya terhitung, sehingga satu anggota tambahan untuk setiap titik yang tersisa memberi subselimut terhitung. Sebaliknya, jika \(D\) terhitung, himpunan buka tak kosong \(X\setminus D\) tidak beririsan dengan \(D\text{,}\) sehingga \(D\) tidak padat.

Contoh U.33.

Kuadrat garis Sorgenfrey separabel karena \(\mathbb Q^2\) padat. Namun anti-diagonal \(D=\{(x,-x):x\in\mathbb R\}\) merupakan subruang diskret tak terhitung: persegi panjang basis \([x,x+\varepsilon)\times[-x,-x+\varepsilon)\) memotong \(D\) hanya pada \((x,-x)\text{.}\) Anti-diagonal juga tertutup, karena titik di luar \(D\) mempunyai persegi panjang basis kecil yang menjaga tanda jumlah kedua koordinat. Jadi separabilitas tidak herediter. Contoh ini sekaligus tidak Lindelöf, sebab subruang tertutup dari ruang Lindelöf harus Lindelöf, sedangkan ruang diskret tak terhitung tidak Lindelöf.

Contoh U.34.

Misalkan \(D\) diskret tak terhitung dan tambahkan titik \(\infty\text{.}\) Nyatakan semua titik \(D\) terisolasi, dan jadikan lingkungan \(\infty\) semua himpunan yang memuat \(\infty\) serta semua kecuali berhingga banyak titik \(D\text{.}\) Ruang yang diperoleh kompak: anggota selimut yang memuat \(\infty\) menyisakan hanya berhingga banyak titik. Akan tetapi, subruang buka \(D\) tidak Lindelöf karena selimut oleh semua himpunan satu titik tidak mempunyai subselimut terhitung. Jadi sifat Lindelöf tidak herediter.

Subbagian Latihan Penguasaan dengan Dukungan Bertahap

Buktikan bahwa \(\{B_{2^{-n}}(x):n\in\mathbb N\}\) merupakan basis lokal di setiap titik \(x\) suatu ruang metrik. Jelaskan mengapa pilihan jari-jari khusus tidak penting selama jari-jari itu positif dan menuju nol.
Petunjuk.
Bandingkan suatu jari-jari \(\varepsilon>0\) dengan \(2^{-n}\text{.}\)
Jawaban.
Untuk \(n\) cukup besar, \(2^{-n}<\varepsilon\text{.}\)
Solusi.
Jika \(U\) terbuka dan \(x\in U\text{,}\) pilih \(\varepsilon>0\) dengan \(B_\varepsilon(x)\subseteq U\text{.}\) Karena \(2^{-n}\to0\text{,}\) ada \(n\) dengan \(2^{-n}<\varepsilon\text{,}\) sehingga \(x\in B_{2^{-n}}(x)\subseteq U\text{.}\) Argumen yang sama bekerja untuk setiap barisan jari-jari positif yang menuju nol.
Misalkan \(\mathcal B\) basis terhitung bagi \(X\text{.}\) Bangun himpunan padat terhitung secara eksplisit dan buktikan kepadatannya.
Petunjuk.
Pilih satu titik dari setiap unsur basis tak kosong.
Jawaban.
Himpunan semua titik pilihan itu terhitung dan memotong setiap himpunan buka tak kosong.
Solusi.
Tulis unsur basis tak kosong sebagai \(B_1,B_2,\ldots\) dan pilih \(x_n\in B_n\text{.}\) Himpunan \(D=\{x_n:n\ge1\}\) terhitung. Jika \(U\) terbuka dan tak kosong, ambil \(x\in U\text{.}\) Sifat basis memberi suatu \(B_n\) dengan \(x\in B_n\subseteq U\text{,}\) maka \(x_n\in D\cap U\text{.}\) Jadi setiap himpunan buka tak kosong memotong \(D\text{,}\) sehingga \(\overline D=X\text{.}\)
Misalkan \(D\) padat dan terhitung dalam ruang metrik \(X\text{.}\) Buktikan bahwa bola-bola berpusat di \(D\) dengan jari-jari rasional positif membentuk basis bagi \(X\text{.}\)
Petunjuk.
Untuk \(x\in U\text{,}\) ambil bola \(B_\varepsilon(x)\subseteq U\text{,}\) lalu pilih pusat \(d\in D\) sangat dekat dengan \(x\text{.}\)
Jawaban.
Pilih \(d(x,d)<\varepsilon/3\) dan rasional \(r\) di antara \(d(x,d)\) dan \(\varepsilon-d(x,d)\text{.}\)
Solusi.
Ambil \(x\in U\) dengan \(U\) terbuka, dan pilih \(\varepsilon>0\) sehingga \(B_\varepsilon(x)\subseteq U\text{.}\) Kepadatan memberi \(d\in D\) dengan \(d(x,d)<\varepsilon/3\text{.}\) Pilih rasional positif \(r\) sehingga \(d(x,d)<r<\varepsilon-d(x,d)\text{.}\) Maka \(x\in B_r(d)\text{.}\) Jika \(y\in B_r(d)\text{,}\) ketaksamaan segitiga memberi \(d(x,y)<d(x,d)+r<\varepsilon\text{,}\) jadi \(B_r(d)\subseteq U\text{.}\) Keluarga tersebut terhitung karena \(D\times\mathbb Q^+\) terhitung.
Buktikan bahwa garis Sorgenfrey separabel tetapi tidak terhitung kedua. Jangan memakai hasil kardinalitas selain ketakterhitungan \(\mathbb R\text{.}\)
Petunjuk.
Gunakan \(\mathbb Q\) untuk kepadatan. Jika ada basis terhitung, pilih satu unsur basis \(B_x\) di antara \(x\) dan \([x,x+1)\) untuk setiap \(x\text{.}\)
Jawaban.
Pemetaan \(x\mapsto B_x\) harus injektif, suatu kontradiksi.
Solusi.
Setiap interval basis \([a,b)\) yang tak kosong memuat rasional, jadi \(\mathbb Q\) padat. Andaikan \(\mathcal B\) basis terhitung. Untuk setiap \(x\in\mathbb R\text{,}\) pilih \(B_x\in\mathcal B\) dengan \(x\in B_x\subseteq[x,x+1)\text{.}\) Jika \(x<y\) dan \(B_x=B_y\text{,}\) maka \(x\in B_y\subseteq[y,y+1)\text{,}\) yang mustahil. Jadi \(x\mapsto B_x\) injektif dari himpunan tak terhitung \(\mathbb R\) ke \(\mathcal B\text{,}\) bertentangan dengan asumsi.
Buktikan bahwa setiap subruang tertutup dari ruang Lindelöf bersifat Lindelöf. Lalu gunakan anti-diagonal dalam kuadrat garis Sorgenfrey untuk membuktikan bahwa kuadrat tersebut tidak Lindelöf.
Petunjuk.
Tambahkan komplemen subruang tertutup pada selimut relatif. Untuk anti-diagonal, periksa bahwa ia tertutup, diskret, dan tak terhitung.
Jawaban.
Ruang diskret tak terhitung tidak Lindelöf, sedangkan subruang tertutup dari ruang Lindelöf harus Lindelöf.
Solusi.
Misalkan \(F\) tertutup dalam \(X\) dan \(\{F\cap U_i:i\in I\}\) selimut buka relatif bagi \(F\text{.}\) Keluarga \(\{U_i:i\in I\}\cup\{X\setminus F\}\) menyelimuti \(X\text{.}\) Pilih subselimut terhitung dan buang \(X\setminus F\text{;}\) jejak anggota yang tersisa menutupi \(F\text{.}\)
Dalam kuadrat Sorgenfrey, anti-diagonal \(D=\{(x,-x):x\in\mathbb R\}\) tertutup dan diskret seperti pada contoh sebelumnya. Selimut \(D\) oleh seluruh himpunan satu titik tidak mempunyai subselimut terhitung, jadi \(D\) tidak Lindelöf. Jika kuadrat Sorgenfrey Lindelöf, subruang tertutup \(D\) harus Lindelöf, sebuah kontradiksi.
Untuk diskret tak terhitung \(D\text{,}\) bentuk \(X=D\cup\{\infty\}\) dengan lingkungan \(\infty\) yang berkomplemen berhingga dalam \(D\text{.}\) Buktikan bahwa \(X\) kompak, tetapi subruang buka \(D\) tidak Lindelöf.
Petunjuk.
Dalam suatu selimut buka bagi \(X\text{,}\) mulai dengan anggota yang memuat \(\infty\text{.}\)
Jawaban.
Anggota itu menyisakan hanya berhingga banyak titik; sedangkan selimut titik-tunggal bagi \(D\) tidak mempunyai subselimut terhitung.
Solusi.
Ambil selimut buka \(\mathcal U\) bagi \(X\) dan pilih \(U_\infty\in\mathcal U\) yang memuat \(\infty\text{.}\) Menurut definisi topologi, \(D\setminus U_\infty\) berhingga. Pilih satu anggota selimut bagi masing-masing titik yang tersisa. Bersama \(U_\infty\text{,}\) himpunan-himpunan itu membentuk subselimut berhingga, sehingga \(X\) kompak. Subruang \(D\) terbuka dan diskret. Selimut \(\{\{d\}:d\in D\}\) tidak mempunyai subselimut terhitung karena gabungan terhitung himpunan satu titik hanya terhitung, sedangkan \(D\) tak terhitung. Jadi \(D\) tidak Lindelöf.
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>