Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Edisi Lengkap Bahasa Indonesia — Dua Puluh Bab, Pendamping Belajar Mandiri, dan Pelengkap C90

Setiap lingkungan buka dari \(0\) memuat \(0\text{,}\) sehingga \(0\) berada dalam irisannya. Jika \(y\ne0\text{,}\) pilih interval \((-|y|/2,|y|/2)\text{;}\) interval ini memuat \(0\) tetapi tidak \(y\text{.}\) Jadi irisan semua himpunan buka yang memuat \(0\) tepat \(\{0\}\text{.}\) Singleton ini tidak terbuka dalam topologi Euklides.

Pilih satu titik \(x\in A\text{.}\) Untuk setiap \(a\in A\text{,}\) ada lintasan di dalam \(A\) dari \(x\) ke \(a\text{.}\) Komposisi lintasan itu dengan inklusi \(A\hookrightarrow X\) adalah lintasan dalam \(X\text{.}\) Jadi \(a\) berada dalam kelas ekuivalensi lintasan \(PC(x)\text{.}\) Karena \(a\) sebarang, \(A\subseteq PC(x)\text{.}\) Pernyataan sumber memakai konvensi bahwa subruang terhubung lintasan yang dibahas takkosong.

Jika \(X\) terhubung lintasan dan \(x\in X\text{,}\) setiap \(y\in X\) dapat dihubungkan ke \(x\text{,}\) sehingga \(PC(x)=X\text{.}\) Sebaliknya, andaikan \(PC(x)=X\text{.}\) Untuk \(a,b\in X\text{,}\) ada lintasan \(a\leadsto x\) dan \(x\leadsto b\text{.}\) Menempelkan keduanya memberi lintasan \(a\leadsto b\text{.}\) Jadi \(X\) terhubung lintasan.

Pilih \(z\in\bigcap_{\alpha\in I}A_\alpha\text{.}\) Jika \(x,y\) berada dalam gabungan, ada indeks \(\alpha,\beta\) dengan \(x\in A_\alpha\) dan \(y\in A_\beta\text{.}\) Karena \(z\) berada dalam kedua himpunan, terdapat lintasan dalam \(A_\alpha\) dari \(x\) ke \(z\) dan lintasan dalam \(A_\beta\) dari \(z\) ke \(y\text{.}\) Hasil kali lintasan itu berada seluruhnya dalam gabungan dan menghubungkan \(x\) ke \(y\text{.}\)

Untuk tiap \(n\text{,}\) ruas \(L_n\) adalah citra kontinu \([0,1]\text{,}\) maka terhubung. Semua \(L_n\) memuat titik puncak \(v=(0,1)\text{,}\) sehingga \(\bigcap_nL_n\) takkosong. Teorema gabungan himpunan terhubung yang mempunyai titik bersama memberi bahwa \(H=\bigcup_nL_n\) terhubung.

Jika \(x\in L_m\) dan \(y\in L_n\text{,}\) parameterisasi bagian ruas dari \(x\) ke \(v=(0,1)\) dan bagian ruas dari \(v\) ke \(y\text{.}\) Keduanya lintasan linear yang terletak dalam \(H\text{.}\) Menempelkan keduanya di \(v\) menghasilkan lintasan dari \(x\) ke \(y\text{.}\) Jadi \(H\) terhubung lintasan.

Jika \(x\in H\) bukan puncak, \(x\) berada pada satu ruas \(L_n\) dan mempunyai bola cukup kecil yang tidak bertemu ruas lain; irisannya dengan \(H\) berupa interval, maka terhubung lintasan. Di puncak \(v\text{,}\) setiap irisan \(B(v,\varepsilon)\cap H\) adalah gabungan potongan ruas yang semuanya memuat \(v\text{,}\) jadi terhubung lintasan. Maka \(H\) lokal terhubung lintasan.

Untuk \(\widehat H\text{,}\) ambil \(z=(0,s)\) dengan \(0<s<1\) dan bola kecil yang tidak memuat puncak. Setiap lingkungan relatif dari \(z\) bertemu potongan tak hingga banyak ruas \(L_n\text{,}\) tetapi potongan-potongan itu hanya saling terhubung melalui puncak di luar bola. Karena itu tidak ada lingkungan terhubung yang cukup kecil di \(z\text{.}\) Jadi versi tertutup tidak lokal terhubung. Perbedaan ini mencatat ketidakselarasan antara definisi literal dan tuntutan prompt.

Pada titik bukan puncak, potongan interval kecil pada satu ruas memberi basis lingkungan buka relatif yang terhubung lintasan. Pada puncak, irisan bola kecil dengan \(H\) adalah bintang yang semua lengannya bertemu di puncak; dua titik dapat dihubungkan melalui puncak. Jadi \(H\) lokal terhubung lintasan.

Panduan sebelumnya membuktikan bahwa \(\widehat H\) tidak lokal terhubung pada titik interior ruas vertikal limit. Setiap ruang lokal terhubung lintasan pasti lokal terhubung, sebab himpunan terhubung lintasan terhubung. Maka \(\widehat H\) tidak lokal terhubung lintasan.

Setiap titik \(x\in X\) mempunyai interval buka kecil yang tetap berada dalam salah satu komponen; interval itu terhubung lintasan. Jadi \(X\) lokal terhubung lintasan. Akan tetapi, \((0,1)\) dan \((2,3)\) membentuk pemisahan dari \(X\text{.}\) Ruang terhubung lintasan harus terhubung, sehingga \(X\) tidak terhubung lintasan.

Andaikan \(p:[0,1]\to(\R,\tau_K)\) menghubungkan \(a<0\) ke \(b>1\text{.}\) Karena topologi K lebih halus daripada topologi biasa, pemetaan identitas ke garis biasa kontinu; maka \(p([0,1])\) terhubung dalam garis biasa dan memuat \([0,1]\text{.}\) Citra \(p([0,1])\) kompak dalam topologi K. Himpunan \([0,1]\) tertutup dalam topologi K, sehingga harus kompak.

Namun \([0,1]\) tidak kompak. Ambil \(U_0=(-1,2)\setminus K\text{.}\) Untuk setiap \(n\text{,}\) pilih interval biasa \(U_n\) yang memuat \(1/n\) tetapi mempunyai batas bawah positif. Keluarga \(\{U_0,U_1,U_2,\ldots\}\) menutupi \([0,1]\text{.}\) Setiap subkeluarga berhingga hanya memuat berhingga banyak \(U_n\text{;}\) ada \(1/m\) cukup dekat ke nol yang tidak termuat di interval-interval terpilih dan juga tidak termuat dalam \(U_0\text{.}\) Jadi tidak ada subselimut berhingga, kontradiksi. Maka tidak ada lintasan tersebut dan ruang tidak terhubung lintasan.