Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Edisi Lengkap Bahasa Indonesia — Dua Puluh Bab, Pendamping Belajar Mandiri, dan Pelengkap C90

Steven Schlicker

Bagian Hasil Kali Sebarang dan Topologi Kotak

Bab hasil kali pada teks utama membangun hasil kali berhingga. Modul ini memperluas konstruksi itu ke keluarga sebarang, menjelaskan sifat universal yang menentukan topologi hasil kali, membedakannya dari topologi kotak, dan menyatakan Teorema Tychonoff dengan hipotesis serta ketergantungan logisnya secara tepat.

Subbagian Topologi hasil kali dan sifat universal

Definisi U.59.

Misalkan \(\{X_i:i\in I\}\) keluarga ruang topologi dan \(X=\prod_{i\in I}X_i\text{.}\) Untuk setiap \(i\text{,}\) proyeksi koordinat ditulis \(\pi_i:X\to X_i\text{.}\) Topologi hasil kali pada \(X\) adalah topologi yang dibangkitkan oleh subbasis \(\{\pi_i^{-1}(U):i\in I,\ U\subseteq X_i\text{ terbuka}\}\text{.}\)

Bukti.

Irisan berhingga unsur subbasis mempunyai bentuk tersebut: untuk koordinat yang muncul, irisankan himpunan buka terkait; untuk koordinat lain gunakan seluruh faktor. Sebaliknya, setiap kotak yang hanya membatasi berhingga banyak koordinat adalah irisan berhingga prapeta proyeksi, sehingga terbuka.

Bukti.

Jika \(f\) kontinu, setiap komposisi dengan proyeksi kontinu juga kontinu. Sebaliknya, andaikan semua komponen kontinu. Prapeta unsur subbasis memenuhi \(f^{-1}(\pi_i^{-1}(U))=(\pi_i\circ f)^{-1}(U)\text{,}\) yang terbuka. Karena prapeta mempertahankan gabungan dan irisan berhingga, prapeta setiap himpunan buka hasil kali terbuka; maka \(f\) kontinu.

Bukti.

Kekontinuan berasal langsung dari definisi subbasis. Citra suatu kotak basis di bawah \(\pi_i\) adalah \(U_i\text{,}\) sehingga terbuka; karena setiap himpunan buka merupakan gabungan kotak basis, proyeksi terbuka. Surjektivitas diperoleh dengan menetapkan satu titik pada setiap koordinat lain.

Subbagian Topologi kotak dan divergensi tak hingga

Definisi U.63.

Topologi kotak pada \(\prod_{i\in I}X_i\) mempunyai basis semua kotak \(\prod_{i\in I}U_i\) dengan setiap \(U_i\) terbuka, tanpa syarat bahwa hanya berhingga banyak koordinat yang dibatasi. Topologi kotak selalu paling tidak sehalus topologi hasil kali, dan keduanya sama bila \(I\) berhingga.

Contoh U.64.

Dalam \(\mathbb R^{\mathbb N}\text{,}\) kotak \(U=\prod_{n\ge1}(-1/n,1/n)\) terbuka dalam topologi kotak tetapi tidak dalam topologi hasil kali. Setiap lingkungan hasil kali dari titik nol hanya membatasi berhingga banyak koordinat. Pilih koordinat \(k\) yang tidak dibatasi dan ubah koordinat itu menjadi \(1\text{;}\) titik yang diperoleh tetap dalam lingkungan hasil kali tersebut, tetapi berada di luar \(U\text{.}\)

Contoh U.65.

Misalkan \(e_n\in\mathbb R^{\mathbb N}\) bernilai \(1\) pada koordinat \(n\) dan \(0\) pada koordinat lain. Untuk setiap koordinat tetap \(k\text{,}\) koordinat ke-\(k\) dari \(e_n\) akhirnya nol; jadi \(e_n\to0\) dalam topologi hasil kali. Dalam topologi kotak, lingkungan \(\prod_{k\ge1}(-1/2,1/2)\) dari nol tidak memuat satu pun \(e_n\text{,}\) sehingga barisan tidak konvergen.

Contoh U.66.

Pemetaan diagonal \(\Delta:\mathbb R\to\mathbb R^{\mathbb N}\text{,}\) \(\Delta(t)=(t,t,\ldots)\text{,}\) mempunyai semua komponen koordinat kontinu. Namun sebagai pemetaan ke topologi kotak, ia tidak kontinu: prapeta \(\prod_{n\ge1}(-1/n,1/n)\) adalah \(\{0\}\text{.}\) Jadi sifat universal komponen-koordinat mencirikan topologi hasil kali, bukan topologi kotak.

Subbagian Sifat yang dipertahankan oleh hasil kali

Bukti.

Dua titik hasil kali yang berbeda mempunyai koordinat berbeda \(i\text{.}\) Himpunan buka pembeda atau pasangan lingkungan buka saling lepas pada \(X_i\) dapat ditarik kembali melalui \(\pi_i\text{.}\) Untuk arah sebaliknya, tetapkan titik dasar pada semua koordinat lain dan identifikasikan \(X_i\) dengan subruang irisan yang diperoleh; sifat \(T_0\text{,}\) \(T_1\text{,}\) dan Hausdorff bersifat herediter.

Bukti.

Pilih titik dasar \(p=(p_i)\text{.}\) Untuk setiap himpunan berhingga \(F\subseteq I\text{,}\) biarkan \(Y_F\) terdiri atas titik-titik yang dapat berbeda dari \(p\) hanya pada koordinat dalam \(F\text{.}\) Ruang \(Y_F\) homeomorfik dengan hasil kali berhingga ruang terhubung, maka terhubung; semua \(Y_F\) memuat \(p\text{.}\) Jadi \(Y=\bigcup_FY_F\) terhubung. Setiap kotak basis hasil kali hanya membatasi berhingga banyak koordinat dan karena itu memotong \(Y\text{;}\) maka \(Y\) padat. Penutup ruang terhubung terhubung, sehingga seluruh hasil kali terhubung.

Bukti.

Untuk basis lokal di titik \(x=(x_n)\text{,}\) batasi hanya koordinat \(1,\ldots,k\) dan pilih satu unsur dari basis lokal terhitung pada masing-masing koordinat. Gabungan atas semua \(k\) dan semua pilihan berhingga tetap terhitung dan merupakan basis lokal. Dengan cara yang sama, semua kotak basis yang membatasi berhingga banyak koordinat dengan unsur basis terhitung dari faktor membentuk basis terhitung bagi hasil kali.

Subbagian Teorema Tychonoff dengan ruang lingkup yang tepat

Bukti.

Gunakan karakterisasi ultrafilter dari kekompakan. Misalkan \(\mathcal F\) ultrafilter pada \(X=\prod_{i\in I}X_i\text{.}\) Untuk setiap \(i\text{,}\) citra ultrafilter melalui \(\pi_i\) merupakan ultrafilter pada \(X_i\text{.}\) Karena \(X_i\) kompak, ultrafilter citra konvergen ke suatu \(x_i\in X_i\text{.}\) Pilih \(x=(x_i)_{i\in I}\text{.}\)
Suatu lingkungan basis \(U\) dari \(x\) hanya membatasi koordinat dalam himpunan berhingga \(F\text{.}\) Untuk setiap \(i\in F\text{,}\) kekonvergenan ultrafilter citra mengatakan bahwa \(\pi_i^{-1}(U_i)\) berada dalam \(\mathcal F\text{.}\) Ketertutupan filter terhadap irisan berhingga memberi \(U=\bigcap_{i\in F}\pi_i^{-1}(U_i)\in\mathcal F\text{.}\) Jadi \(\mathcal F\to x\text{,}\) dan \(X\) kompak.

Catatan U.71.

Pernyataan ini berlaku untuk topologi hasil kali, bukan topologi kotak. Untuk keluarga berhingga, pembuktian selimut buka dapat dilakukan tanpa prinsip pilihan. Bentuk sebarang di atas memakai Prinsip Ultrafilter; dalam teori himpunan ZF, Teorema Tychonoff untuk semua ruang kompak ekuivalen dengan Aksioma Pilihan. Pilihan titik limit \(x_i\) dan keberadaan ultrafilter yang diperlukan tidak disembunyikan sebagai langkah elementer.

Bukti.

Proyeksi \(\pi_i\) kontinu dan surjektif. Citra kontinu ruang kompak adalah kompak, sehingga \(X_i=\pi_i(\prod_jX_j)\) kompak.

Subbagian Latihan Penguasaan dengan Dukungan Bertahap

Buktikan bahwa irisan berhingga unsur subbasis \(\pi_i^{-1}(U)\) tepat menghasilkan kotak yang membatasi hanya berhingga banyak koordinat.
Petunjuk.
Kelompokkan semua syarat yang menggunakan koordinat sama.
Jawaban.
Pada koordinat yang muncul, gunakan irisan himpunan buka; pada koordinat lain gunakan seluruh faktor.
Solusi.
Ambil irisan \(\bigcap_{k=1}^n\pi_{i_k}^{-1}(U_k)\text{.}\) Untuk setiap \(i\) yang muncul, tetapkan \(V_i\) sebagai irisan semua \(U_k\) dengan \(i_k=i\text{;}\) untuk indeks lain tetapkan \(V_i=X_i\text{.}\) Maka irisan tersebut sama dengan \(\prod_iV_i\text{,}\) dan hanya berhingga banyak \(V_i\) yang mungkin bukan seluruh faktor. Sebaliknya, setiap kotak semacam itu adalah irisan prapeta untuk koordinat yang dibatasi.
Dalam \(\mathbb R^{\mathbb N}\text{,}\) buktikan bahwa \(\prod_{n\ge1}(-1/n,1/n)\) bukan himpunan buka hasil kali.
Petunjuk.
Setiap lingkungan basis hasil kali dari nol membiarkan suatu koordinat tanpa batasan.
Jawaban.
Ubah satu koordinat tak terbatas menjadi \(1\text{.}\)
Solusi.
Andaikan kotak tersebut terbuka dalam topologi hasil kali. Maka ia memuat lingkungan basis \(B=\prod_nB_n\) dari nol yang hanya membatasi koordinat dalam suatu himpunan berhingga \(F\text{.}\) Pilih \(k\notin F\text{.}\) Titik yang bernilai \(1\) pada koordinat \(k\) dan nol pada koordinat lain berada dalam \(B\text{,}\) tetapi tidak berada dalam kotak karena \(1\notin(-1/k,1/k)\text{.}\) Kontradiksi.
Buktikan bahwa \(f:Y\to\prod_iX_i\) kontinu tepat ketika semua komponen \(f_i=\pi_i\circ f\) kontinu.
Petunjuk.
Uji prapeta pada subbasis topologi hasil kali.
Jawaban.
\(f^{-1}(\pi_i^{-1}(U))=f_i^{-1}(U)\text{.}\)
Solusi.
Jika \(f\) kontinu, komposisinya dengan setiap proyeksi kontinu. Sebaliknya, jika semua \(f_i\) kontinu, prapeta setiap unsur subbasis \(\pi_i^{-1}(U)\) adalah himpunan buka \(f_i^{-1}(U)\text{.}\) Karena topologi hasil kali dibangkitkan oleh subbasis ini dan prapeta mempertahankan operasi pembentuk topologi, \(f\) kontinu.
Buktikan bahwa hasil kali sebarang ruang Hausdorff adalah Hausdorff.
Petunjuk.
Dua titik berbeda harus berbeda pada sedikitnya satu koordinat.
Jawaban.
Tarik kembali dua lingkungan buka saling lepas dari faktor pembeda.
Solusi.
Misalkan \(x\ne y\) dalam hasil kali. Pilih \(i\) dengan \(x_i\ne y_i\text{.}\) Karena \(X_i\) Hausdorff, ada himpunan buka saling lepas \(U,V\subseteq X_i\) dengan \(x_i\in U\) dan \(y_i\in V\text{.}\) Prapeta \(\pi_i^{-1}(U)\) dan \(\pi_i^{-1}(V)\) terbuka, saling lepas, dan masing-masing memuat \(x\) serta \(y\text{.}\) Jadi hasil kali Hausdorff.
Lengkapi pembuktian Teorema Tychonoff: jika setiap ultrafilter citra \(\pi_i(\mathcal F)\) konvergen ke \(x_i\text{,}\) buktikan bahwa \(\mathcal F\) konvergen ke \(x=(x_i)\) dalam topologi hasil kali.
Petunjuk.
Setiap lingkungan basis hanya memberi syarat pada berhingga banyak koordinat.
Jawaban.
Irisankan berhingga banyak prapeta lingkungan koordinat yang berada dalam filter.
Solusi.
Ambil lingkungan basis \(U=\bigcap_{i\in F}\pi_i^{-1}(U_i)\) dari \(x\text{,}\) dengan \(F\) berhingga dan \(U_i\) lingkungan \(x_i\text{.}\) Karena ultrafilter citra konvergen ke \(x_i\text{,}\) himpunan \(\pi_i^{-1}(U_i)\) berada dalam \(\mathcal F\) untuk setiap \(i\in F\text{.}\) Ketertutupan filter terhadap irisan berhingga memberi \(U\in\mathcal F\text{.}\) Setiap lingkungan \(x\) memuat lingkungan basis semacam itu dan karena filter tertutup ke atas, setiap lingkungan \(x\) berada dalam \(\mathcal F\text{.}\) Jadi \(\mathcal F\to x\text{.}\)
Buktikan bahwa jaring dalam topologi hasil kali konvergen tepat ketika setiap jaring koordinat konvergen. Tunjukkan bahwa pernyataan ini gagal untuk topologi kotak dengan barisan \((e_n)\text{.}\)
Petunjuk.
Gunakan sifat universal untuk arah mudah dan jumlah berhingga koordinat yang dibatasi untuk arah lain.
Jawaban.
Dalam topologi hasil kali, ambil maksimum berhingga indeks awal. Dalam topologi kotak, \(e_n\) dihalangi satu lingkungan seragam.
Solusi.
Jika \(x_a\to x\text{,}\) kekontinuan proyeksi memberi \(\pi_i(x_a)\to x_i\text{.}\) Sebaliknya, ambil lingkungan basis \(U\) dari \(x\) yang membatasi koordinat \(i_1,\ldots,i_n\text{.}\) Untuk setiap koordinat ada indeks awal setelah mana komponen berada dalam \(U_{i_k}\text{.}\) Keterarahan memberi satu indeks yang mendominasi semuanya, setelah mana \(x_a\in U\text{.}\) Jadi jaring hasil kali konvergen. Untuk topologi kotak, setiap koordinat tetap dari \(e_n\) akhirnya nol, tetapi lingkungan \(\prod_k(-1/2,1/2)\) tidak memuat satu pun \(e_n\text{;}\) maka konvergensi koordinat tidak cukup.
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>