Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Edisi Lengkap Bahasa Indonesia — Dua Puluh Bab, Pendamping Belajar Mandiri, dan Pelengkap C90

Pernyataan pertama dan kedua hanyalah dua cara mengucapkan definisi. Jika \(x\) dan \(y\) tak terbedakan, maka untuk setiap \(z\in X\text{,}\) setiap lingkungan buka \(z\) memuat \(x\) tepat ketika lingkungan itu memuat \(y\text{.}\) Karena itu \(z\in\overline{\{x\}}\) tepat ketika \(z\in\overline{\{y\}}\text{,}\) sehingga kedua penutup sama.

Sebaliknya, jika kedua penutup sama, maka \(x\in\overline{\{y\}}\) dan \(y\in\overline{\{x\}}\text{.}\) Setiap himpunan terbuka yang memuat \(x\) harus memuat \(y\text{,}\) dan sebaliknya; jadi kedua titik tak terbedakan. Ini membuktikan ekuivalensi tiga pernyataan pertama. Pernyataan keempat adalah bentuk negasi dari keberadaan kedua keanggotaan penutup tersebut sekaligus.

Setiap lingkungan buka \(x\) memuat \(x\text{,}\) sehingga \(x\preceq x\text{.}\) Jika \(x\preceq y\) dan \(y\preceq z\text{,}\) setiap himpunan buka yang memuat \(x\) memuat \(y\text{,}\) lalu memuat \(z\text{;}\) jadi \(x\preceq z\text{.}\) Jika \(U\) terbuka, \(x\in U\text{,}\) dan \(x\preceq y\text{,}\) definisi langsung memberi \(y\in U\text{.}\)

Relasi \(x\preceq y\) dan \(y\preceq x\) sekaligus berarti \(x\) dan \(y\) mempunyai himpunan terbuka yang persis sama. Jadi antisimetris tepat ketika titik-titik berbeda selalu dapat dibedakan oleh suatu himpunan terbuka, yakni tepat ketika \(X\) bersifat \(T_0\text{.}\)

Relasi tak terbedakan adalah relasi ekuivalensi. Jika \([x]\ne[y]\text{,}\) suatu himpunan terbuka \(U\) memuat tepat salah satu dari \(x,y\text{.}\) Himpunan \(U\) jenuh terhadap \(\sim\text{,}\) sehingga \(q^{-1}(q(U))=U\) dan \(q(U)\) terbuka dalam topologi kuosien. Jadi kelas \([x]\) dan \([y]\) dapat dibedakan, dan ruang kuosien bersifat \(T_0\text{.}\)

Jika \(x\sim y\) dan \(f(x)\ne f(y)\text{,}\) sifat \(T_0\) pada \(Y\) memberi himpunan buka yang memuat tepat salah satu dari \(f(x),f(y)\text{.}\) Prapetanya membedakan \(x\) dan \(y\text{,}\) suatu kontradiksi. Maka \(f\) konstan pada setiap kelas, sehingga \(\bar f([x])=f(x)\) terdefinisi baik dan unik. Karena \(f=\bar f\circ q\) kontinu dan \(q\) adalah pemetaan kuosien, \(\bar f\) kontinu.

Jika \(X\) normal dan \(T_1\text{,}\) Lema Urysohn memisahkan titik tertutup \(\{x\}\) dari himpunan tertutup \(F\) dengan fungsi kontinu ke \([0,1]\text{;}\) jadi \(T_4\) mengakibatkan Tychonoff. Jika fungsi \(f\) memisahkan \(x\) dari \(F\text{,}\) maka \(f^{-1}([0,1/3))\) dan \(f^{-1}((2/3,1])\) merupakan lingkungan buka saling lepas bagi \(x\) dan \(F\text{.}\) Karena itu Tychonoff mengakibatkan \(T_3\text{.}\)

Dalam ruang \(T_3\text{,}\) himpunan satu titik tertutup. Untuk \(x\ne y\text{,}\) regularitas memisahkan \(x\) dari \(\{y\}\text{,}\) sehingga ruang itu Hausdorff. Dalam ruang Hausdorff, untuk setiap \(x\ne y\) ada lingkungan \(x\) yang tidak memuat \(y\text{;}\) gabungan lingkungan-lingkungan tersebut menunjukkan bahwa \(X\setminus\{y\}\) terbuka. Jadi setiap himpunan satu titik tertutup dan ruang itu \(T_1\text{.}\) Akhirnya, definisi \(T_1\) langsung memberi himpunan buka yang membedakan setiap dua titik, sehingga ruang itu \(T_0\text{.}\)

Normalitas ekuivalen dengan sifat berikut: jika \(F\) tertutup dan \(G\) terbuka dengan \(F\subseteq G\text{,}\) terdapat himpunan buka \(U\) sehingga \(F\subseteq U\subseteq\overline U\subseteq G\text{.}\) Terapkan sifat ini secara rekursif pada bilangan diadik \(D=\{k/2^n:0\le k\le2^n\}\) untuk memilih himpunan buka \(U_r\) sedemikian sehingga \(A\subseteq U_0\text{,}\) \(\overline{U_1}\subseteq X\setminus B\text{,}\) dan \(\overline{U_r}\subseteq U_s\) bila \(r<s\text{.}\)

Definisikan \(f(x)=\inf\{r\in D:x\in U_r\}\text{,}\) dengan nilai \(1\) jika himpunan di kanan kosong. Susunan penutup di atas memberi \(f^{-1}([0,a))=\bigcup_{r<a}U_r\) dan \(f^{-1}((a,1])=\bigcup_{r>a}(X\setminus\overline{U_r})\text{.}\) Kedua jenis prapeta itu terbuka, sehingga \(f\) kontinu. Konstruksi memberi nilai \(0\) pada \(A\) dan \(1\) pada \(B\text{.}\)

Topologi ini lebih halus daripada topologi Euklides, jadi interval buka biasa masih dapat memisahkan dua titik; akibatnya ruang itu Hausdorff. Himpunan \(K\) tertutup karena \(\mathbb R\setminus K\) terbuka, dan \(0\notin K\text{.}\)

Andaikan lingkungan buka saling lepas \(U\) dari \(0\) dan \(V\) dari \(K\) ada. Untuk suatu \(\varepsilon>0\text{,}\) \((-\varepsilon,\varepsilon)\setminus K\subseteq U\text{.}\) Pilih \(n\) sehingga \(1/n<\varepsilon/2\text{.}\) Karena \(1/n\in V\) dan setiap unsur basis yang memuat \(1/n\) harus memuat suatu interval buka biasa di sekitar \(1/n\text{,}\) himpunan \(V\) memuat titik di \((0,\varepsilon)\setminus K\text{.}\) Titik itu juga berada dalam \(U\text{,}\) bertentangan dengan keterpisahan. Jadi ruang tersebut tidak reguler.

Basis berupa cakram Euklides yang terletak di setengah bidang atas, bersama cakram singgung yang ditambah titik singgungnya pada garis batas, memisahkan titik dan memiliki sifat penyusutan penutup: setiap lingkungan basis memuat lingkungan basis yang penutupnya termuat dalam lingkungan semula. Ruang itu Hausdorff, sehingga sifat penyusutan ini memberi regularitas. Lebih kuat lagi, fungsi jarak Euklides yang dipotong pada cakram-cakram basis memberikan pemisahan kontinu titik dari himpunan tertutup; jadi ruang itu Tychonoff.

Untuk nonnormalitas, garis batas \(L\) merupakan subruang tertutup, diskret, dan mempunyai kardinalitas \(\mathfrak c\text{.}\) Bidang Niemytzki separabel karena titik-titik berkoordinat rasional dengan koordinat kedua positif membentuk himpunan padat terhitung. Jika ruang itu normal, setiap pemisahan \(L=A\sqcup(L\setminus A)\) akan, melalui Lema Urysohn, menghasilkan fungsi kontinu yang bernilai \(0\) pada \(A\) dan \(1\) pada komplemennya di \(L\text{.}\) Dengan demikian akan ada sedikitnya \(2^{\mathfrak c}\) fungsi kontinu ke \([0,1]\text{.}\)

Namun, fungsi kontinu pada ruang separabel ditentukan oleh nilainya pada suatu himpunan padat terhitung. Banyaknya barisan bilangan real hanya \(\mathfrak c\text{,}\) sehingga terdapat paling banyak \(\mathfrak c\) fungsi kontinu bernilai real. Ketaksamaan Cantor \(2^{\mathfrak c}>\mathfrak c\) menghasilkan kontradiksi. Jadi bidang Niemytzki tidak normal.