Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Edisi Lengkap Bahasa Indonesia — Dua Puluh Bab, Pendamping Belajar Mandiri, dan Pelengkap C90

Ambil \((x_1,x_2)\in\partial A_1\times\partial A_2\) dan lingkungan basis \(U_1\times U_2\text{.}\) Karena \(x_i\in\overline{A_i}\text{,}\) pilih \(a_i\in U_i\cap A_i\text{;}\) pasangan \((a_1,a_2)\) memotong produk. Karena \(x_1\in\partial A_1\text{,}\) pilih \(b_1\in U_1\setminus A_1\) dan sembarang \(u_2\in U_2\text{;}\) pasangan \((b_1,u_2)\) berada di luar produk. Jadi setiap lingkungan memotong kedua sisi. Rubrik: dua perpotongan lingkungan harus dibangun.

Menurut definisi basis produk, setiap hasil kali satu himpunan buka dari faktor pertama dan satu himpunan buka dari faktor kedua adalah elemen basis. Setiap elemen basis terbuka dalam topologi yang dibangkitkannya. Rubrik: alasan harus merujuk langsung pada definisi basis, bukan intuisi geometris saja.

Contoh pada jawaban membantah pernyataan universal. Untuk versi takkosong, \(O_1=\pi_1(O_1\times O_2)\) dan \(O_2=\pi_2(O_1\times O_2)\text{.}\) Karena proyeksi produk adalah pemetaan buka, kedua citra buka. Rubrik: jawaban lengkap memberi contoh tandingan dan menjelaskan tepat syarat yang memulihkan pernyataan.

Komplemennya adalah \(((X_1\setminus C_1)\times X_2)\cup(X_1\times(X_2\setminus C_2))\text{.}\) Kedua komplemen faktor buka, sehingga kedua strip merupakan elemen basis terbuka; gabungannya terbuka. Maka \(C_1\times C_2\) tertutup. Rubrik: rumus komplemen dan keterbukaan kedua strip harus ditunjukkan.

Contoh tandingan membuktikan kegagalan umum. Jika pilih \(c_2\in C_2\text{,}\) peta kontinu \(i_1:X_1\to X_1\times X_2\text{,}\) \(i_1(x)=(x,c_2)\text{,}\) memiliki prapeta \(i_1^{-1}(C_1\times C_2)=C_1\text{;}\) karena produk tertutup, \(C_1\) tertutup. Dengan memilih \(c_1\in C_1\) diperoleh ketertutupan \(C_2\text{.}\) Rubrik: solusi harus membedakan kasus kosong dan takkosong serta membuktikan versi benar dengan prapeta kontinu.