Dalam Bab 11 kita telah melihat cara menjadikan hasil kali Kartesius dua ruang metrik sebagai ruang metrik. Konstruksi inilah yang memungkinkan kita memperlakukan bidang Kartesius \(\R^2\) sebagai ruang metrik dengan metrik biasa. Seperti yang telah kita bahas dalam Bab 12, setiap ruang metrik merupakan ruang topologi, tetapi tidak setiap ruang topologi dapat dimetrikkan. Jadi, pengetahuan tentang cara menjadikan hasil kali ruang-ruang metrik sebagai ruang metrik masih menyisakan pertanyaan tentang cara menjadikan hasil kali ruang-ruang topologi sebagai ruang topologi. Jika kita memiliki dua ruang topologi \((X, \tau_X)\) dan \((Y , \tau_Y)\text{,}\) pendekatan yang wajar terhadap masalah ini mungkin adalah mengambil sebagai himpunan buka dalam \(X \times Y\) semua himpunan berbentuk \(U \times V\text{,}\) dengan \(U \in \tau_X\) dan \(V \in \tau_Y\text{.}\) Kita menyelidiki gagasan ini dalam Aktivitas Persiapan 20.1.
Aktivitas Persiapan20.1.
Misalkan \(X = \{a,b,c\}\) dengan \(\tau_X = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, \{a,c\}, X\}\text{,}\) dan misalkan \(Y = \{1,2\}\) dengan \(\tau_Y = \{\emptyset, \{1\}, Y\}\text{.}\)
(a)
Misalkan
\begin{equation}
\CB = \{U \times V \mid U \in \tau_X \text{ dan } V \in \tau_Y\}\text{.}\tag{20.1}
\end{equation}
Tuliskan semua himpunan dalam \(\CB\) beserta anggota-anggotanya.
(b)
Anggaplah semua himpunan dalam \(\CB\) merupakan himpunan buka dalam \(X \times Y\text{.}\) Apakah himpunan \(A = \{(a,1), (a,2), (b,1)\}\) seharusnya merupakan himpunan buka dalam \(X \times Y\text{?}\) Apakah himpunan \(A\) berbentuk \(U \times V\) untuk suatu himpunan buka \(U\) dalam \(X\) dan \(V\) dalam \(Y\text{?}\) Jelaskan. Apakah \(\CB\) merupakan topologi pada \(X \times Y\text{?}\)
(c)
Jika \(\CB\) bukan topologi pada \(X \times Y\text{,}\) apakah koleksi himpunan terkecil yang perlu kita tambahkan pada \(\CB\) agar diperoleh suatu topologi pada \(X \times Y\text{?}\) Jelaskan proses Anda.
