Bagian Keterhubungan Lintasan dan Keterhubungan dalam Ruang Topologi Berhingga
Dalam bagian ini kita akan menunjukkan bahwa keterhubungan dan keterhubungan lintasan merupakan konsep yang ekuivalen dalam ruang topologi berhingga. Dalam bagian berikutnya, kita membuktikan bahwa keterhubungan lintasan dan keterhubungan tidak ekuivalen dalam ruang topologi tak hingga. Di sepanjang bagian ini, kita mengandaikan bahwa \(X\) merupakan ruang topologi berhingga. Kita mulai dengan sebuah contoh untuk memotivasi gagasan-gagasan utama.
Kegiatan 19.5.
Misalkan \(X = \{a,b,c,d\}\) dan \(\tau = \{\emptyset, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{b,c\}, \{a,b,c\}, \{b,c,d\}, X\}\text{.}\) Andaikan \(\tau\) merupakan topologi pada \(X\text{.}\)
(a)
Apakah \(X\) terhubung? Jelaskan.
(b)
Untuk setiap \(x \in X\text{,}\) misalkan \(U_x\) irisan semua himpunan buka yang memuat \(x\) (kita menyebut \(U_x\) suatu lingkungan minimal dari \(x\)).
Definisi. Untuk \(x \in X\text{,}\) lingkungan minimal \(U_x\) dari \(x\) adalah irisan semua himpunan buka yang memuat \(x\text{.}\)
Tentukan \(U_x\) untuk setiap \(x \in X\text{.}\)
(c)
Kita akan melihat bahwa lingkungan-lingkungan minimal dari \(X\) terhubung lintasan. Di sini kita akan mengilustrasikannya dengan \(U_d\text{.}\)
(i)
Misalkan \(p : [0,1] \to X\) didefinisikan oleh
\begin{equation*}
p(t) = \begin{cases}b \amp \text{ jika } 0 \leq t \lt \frac{1}{2} \\ d \amp \text{ jika } \frac{1}{2} \leq t \leq 1. \end{cases}
\end{equation*}
Tunjukkan bahwa \(p\) merupakan lintasan dalam \(U_d\) dari \(b\) ke \(d\text{.}\)
(ii)
Misalkan \(p : [0,1] \to X\) didefinisikan oleh
\begin{equation*}
p(t) = \begin{cases}c \amp \text{ jika } 0 \leq t \lt \frac{1}{2} \\ d \amp \text{ jika } \frac{1}{2} \leq t \leq 1. \end{cases}
\end{equation*}
Tunjukkan bahwa \(p\) merupakan lintasan dalam \(U_d\) dari \(c\) ke \(d\text{.}\)
(iii)
Jelaskan mengapa \(U_d\) terhubung lintasan.
Istilah dalam
Paragraph memang tepat. Karena setiap lingkungan
\(N\) dari titik
\(x \in X\) harus memuat suatu himpunan buka
\(O\) dengan
\(x \in O\text{,}\) diperoleh
\(U_x \subseteq O \subseteq N\text{.}\) Jadi, setiap lingkungan dari
\(x \in X\) memuat
\(U_x\) sebagai subhimpunan. Selain itu, ketika
\(X\) berhingga, himpunan
\(U_x\) merupakan irisan berhingga dari himpunan-himpunan buka, sehingga setiap
\(U_x\) merupakan himpunan buka (hal ini secara umum tidak benar dalam ruang topologi tak hingga — Anda diminta mencari contohnya dalam
Latihan 1). Dalam
Kegiatan 19.5 kita melihat bahwa
\(U_x\) terhubung lintasan untuk suatu
\(x\) tertentu dalam satu contoh. Aktivitas berikut menunjukkan bahwa hasil ini berlaku secara umum dalam ruang topologi berhingga.
Kegiatan 19.6.
Misalkan \(X\) ruang topologi berhingga, dan misalkan \(x \in X\text{.}\) Dalam aktivitas ini kita menunjukkan bahwa \(U_x\) terhubung lintasan. Misalkan \(y \in U_x\) dan definisikan \(p : [0,1] \to X\) dengan
\begin{equation*}
p(t) = \begin{cases}y \amp \text{ jika } 0 \leq t \lt \frac{1}{2} \\ x \amp \text{ jika } \frac{1}{2} \leq t \leq 1. \end{cases}
\end{equation*}
Untuk membuktikan bahwa \(p\) kontinu, misalkan \(O\) himpunan buka dalam \(X\text{.}\) Kita mempunyai \(x \in O\) atau \(x \notin O\text{.}\)
(a)
Andaikan \(x \in O\text{.}\) Mengapa \(y\) juga harus berada dalam \(O\text{?}\) Lalu, apakah \(p^{-1}(O)\text{?}\)
(b)
Sekarang andaikan \(x \notin O\text{.}\) Ada dua kasus yang perlu dipertimbangkan.
(i)
Apakah \(p^{-1}(O)\) jika \(y \in O\text{?}\)
(ii)
Apakah \(p^{-1}(O)\) jika \(y \notin O\text{?}\)
(c)
Jelaskan mengapa \(p\) merupakan lintasan dari \(y\) ke \(x\text{.}\)
(d)
Tunjukkan bahwa kita dapat menemukan lintasan di antara sembarang dua titik dalam \(U_x\text{.}\) Simpulkan bahwa \(U_x\) terhubung lintasan.
Himpunan-himpunan \(U_x\) secara bersama-sama membentuk ruang \(X\text{,}\) dan setiap \(U_x\) merupakan subruang terhubung lintasan. Jadi, setiap titik dalam \(X\) termuat dalam suatu lingkungan yang mempunyai subhimpunan terhubung lintasan yang memuat \(x\text{.}\) Ruang dengan sifat ini disebut terhubung lintasan secara lokal.
Definisi 19.11.
Ruang topologi \((X, \tau)\) disebut terhubung lintasan secara lokal di \(x\) jika setiap lingkungan dari \(x\) memuat lingkungan buka terhubung lintasan yang memuat \(x\text{.}\) Ruang \((X, \tau)\) disebut terhubung lintasan secara lokal jika \(X\) terhubung lintasan secara lokal di setiap titik.
Jika
\(X\) ruang topologi berhingga, untuk setiap
\(x \in X\text{,}\) himpunan
\(U_x\) merupakan himpunan buka terkecil yang memuat
\(x\text{.}\) Ini berarti bahwa setiap lingkungan
\(N\) dari
\(x\) akan memuat
\(U_x\) sebagai subhimpunan. Jadi, ruang topologi berhingga terhubung lintasan secara lokal (hal ini secara umum tidak benar untuk ruang topologi tak hingga; lihat, misalnya,
Latihan 4). Salah satu akibat untuk ruang yang terhubung lintasan secara lokal adalah hasil berikut.
Lema 19.12.
Ruang \(X\) terhubung lintasan secara lokal jika dan hanya jika, untuk setiap himpunan buka \(O\) dari \(X\text{,}\) setiap komponen lintasan dari \(O\) terbuka dalam \(X\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \(X\) ruang topologi yang terhubung lintasan secara lokal. Pertama-tama kita tunjukkan bahwa, untuk setiap himpunan buka \(O\) dalam \(X\text{,}\) setiap komponen lintasan dari \(O\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Misalkan \(O\) himpunan buka dalam \(X\) dan misalkan \(P\) komponen lintasan dari \(O\text{.}\) Misalkan \(p \in P\text{.}\) Karena \(X\) terhubung lintasan secara lokal, lingkungan \(O\) dari \(p\) memuat suatu lingkungan buka terhubung lintasan \(Q\) dari \(p\text{.}\) Fakta bahwa \(p \in Q\) dan \(P\) merupakan komponen lintasan dari \(O\) mengakibatkan \(Q \subseteq P\text{.}\) Jadi, \(P\) memuat lingkungan dari \(p\) dan \(P\) terbuka.
Sekarang kita tunjukkan bahwa jika, untuk setiap himpunan buka \(O\) dalam \(X\text{,}\) komponen-komponen lintasan dari \(O\) terbuka dalam \(X\text{,}\) maka \(X\) terhubung lintasan secara lokal. Misalkan \(x \in X\) dan misalkan \(N\) lingkungan dari \(x\text{.}\) Maka \(N\) memuat himpunan buka \(U\) dengan \(x \in U\text{.}\) Misalkan \(P\) komponen lintasan dalam \(U\) yang memuat \(x\text{.}\) Himpunan \(P\) terhubung lintasan dan, berdasarkan hipotesis, \(P\) terbuka dalam \(X\text{,}\) sehingga merupakan lingkungan buka terhubung lintasan dari \(x\text{.}\) Jadi, \(N\) memuat lingkungan terhubung lintasan dari \(x\) dan \(X\) terhubung lintasan secara lokal di setiap titik.
Karena
\(X\) terbuka dalam
\(X\) apabila
\(X\) merupakan ruang topologi, akibat wajar dari
Lema 19.12 adalah hasil berikut.
Corollary 19.13.
Misalkan \(X\) ruang topologi yang terhubung lintasan secara lokal. Maka setiap komponen lintasan dari \(X\) terbuka dalam \(X\text{.}\)
Karena hanya ada berhingga banyak himpunan buka dalam ruang berhingga \(X\text{,}\) setiap irisan sebarang dari himpunan-himpunan buka dalam \(X\) dapat direduksi menjadi irisan berhingga. Jadi, irisan setiap koleksi himpunan buka dalam \(X\) kembali merupakan himpunan buka dalam \(X\text{.}\) Kita akan menunjukkan bahwa \(X\) merupakan gabungan komponen-komponen lintasan, yang pada akhirnya memungkinkan kita membuktikan bahwa jika \(X\) terhubung, maka \(X\) juga terhubung lintasan.
Kegiatan 19.7.
Misalkan \(X\) ruang topologi yang terhubung lintasan secara lokal. Dalam aktivitas ini kita akan membuktikan bahwa komponen dan komponen lintasan dari \(X\) adalah sama.
(a)
Misalkan \(x \in X\text{,}\) misalkan \(C\) komponen dari \(X\) yang memuat \(x\text{,}\) dan misalkan \(P\) komponen lintasan dari \(X\) yang memuat \(x\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(P \subseteq C\text{.}\)
(b)
Untuk melengkapi bukti bahwa \(P = C\text{,}\) gunakan kontradiksi dan andaikan \(C \neq P\text{.}\) Misalkan \(Q\) gabungan semua komponen lintasan dari \(X\) yang berbeda dari \(P\) dan beririsan dengan \(C\text{.}\) Setiap komponen lintasan tersebut terhubung, sehingga merupakan subhimpunan dari \(C\text{.}\) Jadi, \(C = P \cup Q\text{.}\) Jelaskan mengapa \(P\) dan \(Q\) membentuk pemisahan dari \(C\text{.}\)
Petunjuk.Bagaimana kita menggunakan fakta bahwa \(X\) terhubung lintasan secara lokal?
Sekarang kita dapat melengkapi hasil utama bagian ini.
Teorema 19.14.
Misalkan \(X\) ruang topologi berhingga. Maka \(X\) terhubung jika dan hanya jika \(X\) terhubung lintasan.
Bukti.
Misalkan
\(X\) ruang topologi berhingga.
Teorema 19.10 menunjukkan bahwa jika
\(X\) terhubung lintasan, maka
\(X\) terhubung. Untuk implikasi sebaliknya, andaikan
\(X\) terhubung. Maka
\(X\) terdiri atas satu komponen,
\(C=X\text{.}\) Karena komponen lintasan dan komponen dari
\(X\) adalah sama, kita menyimpulkan bahwa
\(C=X\) juga merupakan satu komponen lintasan, sehingga
\(X\) terhubung lintasan.
