Bagian Proyeksi dan Fungsi Kontinu pada Ruang Hasil Kali
Diberikan ruang-ruang topologi \((X_1, \tau_1)\) dan \((X_2, \tau_2)\text{,}\) kita mendefinisikan \(\pi_1: X_1 \times X_2 \to X_1\) dan \(\pi_2: X_1 \times X_2 \to X_2\) dengan \(\pi_1((x,y)) = x\) dan \(\pi_2((x,y)) = y\text{.}\) Fungsi \(\pi_1\) dan \(\pi_2\) ini merupakan proyeksi dari \(X_1 \times X_2\) masing-masing ke \(X_1\) dan \(X_2\text{.}\) Fungsi-fungsi proyeksi ini dapat membantu kita menentukan kapan suatu fungsi \(f\) dari ruang topologi \(Y\) ke \(X_1 \times X_2\) kontinu.
Kegiatan 20.6.
Misalkan \((X_1, \tau_1)\) dan \((X_2, \tau_2)\) merupakan ruang topologi dan misalkan \(O_1\) himpunan buka dalam \(X_1\text{.}\)
(a)
Tentukan himpunan yang sama dengan \(\pi_1^{-1}(O_1)\text{.}\) Periksalah dugaan Anda.
(b)
Jelaskan mengapa \(\pi_1\) kontinu.
Argumen yang sama seperti dalam
Kegiatan 20.6 menunjukkan bahwa
\(\pi_2\) juga merupakan fungsi kontinu. Secara umum, jika
\(X = \Pi_{i=1}^n X_{i}\) merupakan hasil kali berhingga ruang-ruang topologi, maka proyeksi
\(\pi_{k}: X \to X_{k}\) merupakan fungsi kontinu untuk setiap
\(k\text{,}\) dengan
\(\pi_k((x_1,x_2, \ldots, x_n)) = x_k\text{.}\)
Misalkan
\(O = \Pi_{i=1}^n O_i\) merupakan himpunan buka basis dalam
\(X = \Pi_{i=1}^n X_i\text{,}\) dengan
\(X_i\) ruang topologi untuk setiap
\(i\text{.}\) Kita dapat memperluas hasil
Kegiatan 20.6 untuk memperoleh
\begin{equation*}
\pi_i^{-1}(O_i) = X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_{i-1} \times O_i \times X_{i+1} \times \cdots \times X_n\text{.}
\end{equation*}
Jadi,
\begin{equation*}
\Pi_{i=1}^n O_i = \bigcap_{i=1}^n \pi_i^{-1}(O_i)\text{.}
\end{equation*}
Dengan demikian, setiap himpunan buka basis merupakan irisan berhingga himpunan-himpunan berbentuk \(\pi_i^{-1}(O_i)\text{,}\) dengan \(O_i\) buka dalam \(X_i\text{.}\) Apabila hal ini terjadi, kita menyebut koleksi himpunan berbentuk \(\pi_i^{-1}(O_i)\) sebagai subbasis topologi tersebut.
Definisi 20.2.
Misalkan \((X, \tau)\) ruang topologi. Subhimpunan \(\CS\) dari \(\tau\) merupakan subbasis atau subbasis bagi \(\tau\) jika himpunan semua irisan berhingga elemen-elemen \(\CS\) merupakan basis bagi \(\tau\text{.}\)
Sebagai contoh, karena irisan berhingga interval berbentuk \((-\infty,b)\) dan \((a, \infty)\) menghasilkan semua interval berbentuk \((a,b)\text{,}\) koleksi \(\CS = \{(-\infty,b), (a, \infty) \mid a, b \in \R\}\) merupakan subbasis bagi topologi standar pada \(\R\text{.}\) Perhatikan bahwa koleksi itu sendiri bukan basis bagi topologi standar pada \(\R\text{.}\) Jika \(X = \Pi_{i=1}^n X_i\) merupakan hasil kali ruang-ruang topologi, contoh subbasis lainnya adalah koleksi
\begin{equation*}
\CS = \bigcup_{i=1}^n \{\pi_i^{-1}(O_i) \mid O_i \text{ buka dalam } X_i\}\text{.}
\end{equation*}
Himpunan ini merupakan subbasis bagi topologi hasil kali pada
\(X\) (pemeriksaannya diserahkan kepada
Latihan 1).
Kita mencatat di sini bahwa terdapat topologi lain, yang disebut topologi hasil kali, pada \(X\) dengan subbasis \(S = \bigcup_{\alpha \in I} S_{\alpha}\text{,}\) dengan
\begin{equation*}
S_{\alpha} = \{\pi_{\alpha}^{-1}(U_{\alpha}) \mid U_{\alpha} \text{ buka dalam } X_{\alpha}\}\text{.}
\end{equation*}
Karena alasan yang tidak akan kita bahas, topologi hasil kali lebih disukai daripada topologi kotak untuk hasil kali tak berhingga (banyak teorema penting yang berlaku bagi hasil kali berhingga tidak berlaku bagi hasil kali tak berhingga dengan topologi kotak, tetapi berlaku dengan topologi hasil kali). Namun, topologi hasil kali dan topologi kotak sama untuk hasil kali berhingga. Karena kita tidak akan membahas hasil kali tak berhingga di sini, kita tidak perlu mempersoalkan perbedaannya. Untuk keperluan kita, istilah “topologi kotak” dan “topologi hasil kali” akan digunakan secara bergantian.
Seperti yang telah kita bahas, sering kali lebih mudah mendefinisikan topologi dengan basis atau subbasis daripada menjelaskan semua himpunan dalam topologi tersebut. Sebagaimana dapat kita duga, karena kekontinuan suatu fungsi dapat ditentukan melalui prapeta elemen-elemen basis, kekontinuan fungsi juga dapat ditentukan melalui prapeta elemen-elemen subbasis.
Kegiatan 20.7.
Petunjuk.Ingat bahwa \(f\) kontinu jika \(f^{-1}(B)\) buka dalam \(X\) untuk setiap himpunan buka basis \(B\text{.}\)
Teorema 20.3.
Misalkan \((X, \tau_X)\) dan \((Y, \tau_Y)\) merupakan ruang topologi, misalkan \(\CS\) subbasis bagi \(\tau_Y\text{,}\) dan misalkan \(f: X \to Y\) suatu fungsi. Jika \(f^{-1}(S)\) buka dalam \(X\) untuk setiap \(S \in \CS\text{,}\) maka \(f\) kontinu.
Sekarang misalkan
\(X_1\text{,}\) \(X_2\text{,}\) dan
\(Y\) merupakan ruang topologi, serta
\(f: Y \to X_1 \times X_2\) suatu fungsi. Maka
\(\pi_1 \circ f\) memetakan
\(Y\) ke
\(X_1\) dan
\(\pi_2 \circ f\) memetakan
\(Y\) ke
\(X_2\text{.}\) Karena komposisi fungsi-fungsi kontinu bersifat kontinu, kita melihat bahwa jika
\(f\) kontinu, maka
\(\pi_1\circ f\) dan
\(\pi_2 \circ f\) juga kontinu. Untuk menentukan apakah
\(f\) kontinu, akan berguna jika kita mengetahui apakah kebalikannya juga benar. Gagasan utama dalam pembuktiannya adalah hasil
Latihan 9: jika
\(R\text{,}\) \(S\text{,}\) dan
\(T\) merupakan himpunan, serta
\(g: R \to S\) dan
\(h : S \to T\) merupakan fungsi, maka
\((h \circ g)^{-1}(O) = g^{-1}(h^{-1}(O))\) untuk setiap subhimpunan
\(O\) dari
\(T\text{.}\)
Sekarang kita dapat menggunakan proyeksi untuk menentukan kapan fungsi menuju ruang hasil kali bersifat kontinu.
Teorema 20.4.
Misalkan \(X_i\) untuk \(i\) dari \(1\) sampai \(n\) dan \(Y\) merupakan ruang topologi, serta misalkan \(f: Y \to \Pi_{i=1}^n X_i\) suatu fungsi. Maka \(f\) kontinu jika dan hanya jika \(\pi_i \circ f\) kontinu untuk setiap \(i\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \(X_i\) untuk \(i\) dari \(1\) sampai \(n\) dan \(Y\) merupakan ruang topologi, serta misalkan \(f: Y \to \Pi X_i\) suatu fungsi. Jika \(f\) kontinu, fakta bahwa setiap \(\pi_i\) kontinu dan bahwa komposisi fungsi-fungsi kontinu bersifat kontinu menunjukkan bahwa \(\pi_i \circ f\) kontinu untuk setiap \(i\text{.}\)
Sekarang misalkan \(\pi_i \circ f\) kontinu untuk setiap \(i\text{.}\) Ingat bahwa
\begin{equation*}
\CS = \{\pi_i^{-1}(O_i) \mid O_i \text{ buka dalam } X_i\}
\end{equation*}
merupakan subbasis bagi topologi hasil kali pada
\(\Pi_{i=1}^n X_i\text{.}\) Untuk membuktikan bahwa
\(f\) kontinu,
Teorema 20.3 memberi tahu kita bahwa cukup ditunjukkan
\(f^{-1}(S)\) buka untuk setiap
\(S\) dalam
\(\CS\text{.}\) Misalkan
\(O_i\) himpunan buka dalam
\(X_i\text{.}\) Latihan 9 memberi tahu kita bahwa
\begin{equation*}
f^{-1}(\pi_i^{-1}(O_i)) = (\pi_i \circ f)^{-1}(O_i)\text{,}
\end{equation*}
yang buka dalam \(Y\) karena \(\pi_i \circ f\) kontinu. Oleh karena itu, \(f\) kontinu.
