Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Edisi Lengkap Bahasa Indonesia — Dua Puluh Bab, Pendamping Belajar Mandiri, dan Pelengkap C90

Apabila koordinat pertama berbeda, pilih \(U_1,U_2\subseteq X\) terbuka, \(x_i\in U_i\text{,}\) dan \(U_1\cap U_2=\emptyset\text{.}\) Persegi panjang \(U_1\times Y\) dan \(U_2\times Y\) memisahkan pasangan. Jika koordinat pertama sama, koordinat kedua wajib berbeda; pilih \(V_1,V_2\) di \(Y\) dan gunakan \(X\times V_i\text{.}\) Rubrik: bukti harus menangani kasus koordinat yang sama, bukan menganggap kedua koordinat selalu berbeda.

Ambil \(p=(x_1,y_1)\ne q=(x_2,y_2)\text{.}\) Jika \(x_1\ne x_2\text{,}\) pilih buka saling lepas \(U_1,U_2\) pada \(X\text{;}\) maka \(U_1\times Y\) dan \(U_2\times Y\) buka, memuat \(p,q\text{,}\) dan beririsan kosong. Jika \(x_1=x_2\text{,}\) maka \(y_1\ne y_2\text{;}\) argumen yang sama dengan \(X\times V_1\) dan \(X\times V_2\) berlaku. Rubrik: solusi harus memuat kasus lengkap dan identitas irisan hasil kali.

Dari \((a,b)\) menuju \((c,d)\text{,}\) bergerak melalui \((a+\varepsilon,b),(a+2\varepsilon,b),\ldots,(c,b)\text{,}\) dengan \(\varepsilon\) bertanda menuju \(c\text{,}\) lalu melalui \((c,b+\delta),\ldots,(c,d)\text{.}\) Setiap pasangan berturutan berselisih satu pada tepat satu koordinat, jadi bertetangga-4. Ketetanggaan-4 termuat dalam ketetanggaan-8. Rubrik: konstruksi harus berhingga dan tetap menangani urutan koordinat yang menurun atau sama.

Pada \(S_1\text{,}\) beberapa sambungan wajib dilalui secara diagonal, sehingga graf tetangga-4 terputus tetapi graf tetangga-8 memiliki satu komponen. Pada \(S_2\text{,}\) jalur bertangga pada gambar dapat ditelusuri seluruhnya dengan langkah horizontal atau vertikal, sehingga graf tetangga-4 terhubung; penambahan sisi diagonal tidak dapat memutusnya. Rubrik: jawaban harus menyertakan jejak titik atau pohon rentang pada masing-masing graf, bukan hanya empat label benar-salah.

Pemeriksaan graf ketetanggaan menunjukkan bahwa pada \(S_1\) setiap titik memiliki derajat dua hanya dalam graf-8, sedangkan graf-4 terputus. Pada \(S_2\) setiap titik memiliki derajat dua dalam graf-4; ketetanggaan diagonal tambahan pada graf-8 memberi sedikitnya satu titik lebih dari dua tetangga. Rubrik: untuk setiap keputusan, verifikasi harus mencakup keterhubungan dan derajat tepat dua.

Diagonal memungkinkan lintasan-8 “menyelinap” melewati kurva \(S_1\text{,}\) sedangkan pembatasan langkah-4 di sekitar \(S_2\) memisahkan terlalu banyak daerah. Konvensi yang benar menyatakan: kurva Jordan-4 dengan sedikitnya lima titik memisahkan bidang menjadi dua komponen-8, dan kurva Jordan-8 memisahkannya menjadi dua komponen-4. Rubrik: uraian harus mengidentifikasi kegagalan kedua contoh dan pasangan ketetanggaan kurva/komplemen yang memperbaikinya.

Jika \(m\ne n\) ganjil, elemen basis \(B(m)=\{m\}\) termuat dalam komplemen. Jika \(m\) genap, selisih dua bilangan genap taknol bernilai mutlak sedikitnya dua, sedangkan \(B(m)\) hanya mencapai jarak satu; jadi \(n\notin B(m)\text{.}\) Komplemen merupakan gabungan lingkungan basis tersebut dan terbuka. Rubrik: kedua paritas \(m\) harus ditangani.

Basis produk adalah semua \(B(m)\times B(n)\text{.}\) Jika kedua indeks ganjil, kedua faktor singleton. Jika keduanya genap, masing-masing faktor berisi tiga bilangan berturutan, sehingga produknya blok sembilan titik. Jika hanya indeks kedua genap, koordinat pertama tetap dan koordinat kedua bervariasi tiga nilai; kasus sebaliknya menghasilkan segmen horizontal. Rubrik: keempat rumus harus diperoleh sebagai hasil kali, bukan dihafalkan tanpa penjelasan.

Pada \(S_1\text{,}\) setiap titik memiliki lingkungan basis singleton, sehingga subruang diskret dengan lebih dari satu titik dan tidak terhubung; citra kontinu interval digital yang terhubung tidak dapat sama dengan \(S_1\text{.}\) Untuk \(S_2\text{,}\) gunakan urutan \((0,0),(1,-1),(2,0),(1,1)\text{;}\) untuk \(S_3\text{,}\) urutkan delapan titik sepanjang tepi persegi. Pemetaan dari interval digital berurutan ke daftar tersebut kontinu karena prapeta setiap lingkungan basis adalah buka pada interval. Rubrik: solusi lengkap memberi argumen ketakmungkinan bagi \(S_1\) dan tabel urutan beserta pemeriksaan kontinuitas bagi dua himpunan lain.

Andaikan interval digital terpisah menjadi dua buka relatif takkosong. Sepanjang urutan bilangan bulat dari satu bagian ke bagian lain terdapat pasangan berturutan yang jatuh pada bagian berbeda. Topologi Khalimsky mengikat pasangan tersebut melalui lingkungan minimal titik genap, sehingga kedua singleton relatif tidak dapat sekaligus terbuka dan pemisahan mustahil. Citra kontinu ruang terhubung terhubung, jadi daerah hasil setiap lintasan digital berhingga terhubung. Rubrik: bukti harus memisahkan lemma interval dan penerapan teorema citra kontinu.

Urutkan \(P_1=(0,0)\text{,}\) \(P_2=(1,-1)\text{,}\) \(P_3=(2,0)\text{,}\) dan \(P_4=(1,1)\text{.}\) Urutan ini membentuk lintasan digital tertutup. Jika \(P_j\) dibuang, tiga titik lain dapat diurutkan dari satu tetangga \(P_j\) ke tetangga lainnya dan homeomorfik dengan interval digital tiga titik. Maka semua syarat definisi terpenuhi. Rubrik: pemeriksaan harus mencakup kardinalitas, keterhubungan, dan keempat kasus penghapusan melalui simetri atau daftar eksplisit.

Jika \(x\in N(y)\text{,}\) setiap lingkungan \(y\) memuat \(x\text{;}\) maka \(\{y\}\) tidak terbuka relatif pada \(\{x,y\}\text{,}\) sehingga subruang dua titik tidak diskret dan tidak dapat dipisah. Argumen sama berlaku jika \(y\in N(x)\text{.}\) Sebaliknya, jika \(x\notin N(y)\) dan \(y\notin N(x)\text{,}\) ada lingkungan \(U\ni y\) yang tidak memuat \(x\) dan \(V\ni x\) yang tidak memuat \(y\text{;}\) irisan relatifnya adalah dua singleton terbuka yang memisahkan subruang. Rubrik: kedua implikasi dan penggunaan definisi \(N\) harus eksplisit.

Irisan semua lingkungan pada produk adalah hasil kali irisan lingkungan pada faktor karena basis produk. Jadi rumus faktor langsung menghasilkan empat kasus. Titik murni mencakup dua kasus pertama, sedangkan titik campuran mencakup dua kasus terakhir. Rubrik: jawaban tidak boleh menyatukan semua titik murni menjadi satu bentuk; kedua paritas murni berbeda.

Untuk titik ganjil-ganjil \(P\text{,}\) \(N(P)=\{P\}\text{.}\) Tidak ada titik lain dari \(S_1\) yang berada dalam \(N(P)\text{,}\) dan simetri memberi kegagalan arah sebaliknya. Maka setiap titik memiliki nol tetangga di \(S_1\text{,}\) bukan tepat dua. Rubrik: solusi harus mengaitkan perhitungan lingkungan minimal dengan klausa tetangga teorema.

\(N(P_1)\) adalah blok \(3\times3\) berpusat di \((0,0)\text{,}\) sehingga memuat \(P_2,P_4\) dan tidak memuat \(P_3\text{.}\) Demikian pula \(N(P_3)\) memuat \(P_2,P_4\) tetapi tidak \(P_1\text{.}\) Titik \(P_2,P_4\) ganjil-ganjil memiliki lingkungan minimal singleton, tetapi ketetanggaan simetris sudah dipasok oleh keanggotaan keduanya dalam lingkungan minimal \(P_1,P_3\text{.}\) Rubrik: tabel keempat titik harus menunjukkan dua tetangga dan satu bukan tetangga untuk masing-masing.