Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Edisi Lengkap Bahasa Indonesia — Dua Puluh Bab, Pendamping Belajar Mandiri, dan Pelengkap C90

Karena \(X\) lokal terhubung lintasan, setiap komponen lintasan \(P\) terbuka. Komponen-komponen lintasan mempartisi \(X\text{,}\) sehingga \(X\setminus P\) adalah gabungan komponen lintasan lain dan juga terbuka. Jadi \(P\) buka-tertutup. Jika ada lebih dari satu komponen lintasan, suatu \(P\) akan menjadi himpunan buka-tertutup taktrivial, bertentangan dengan keterhubungan \(X\text{.}\) Maka \(X\) hanya mempunyai satu komponen lintasan dan terhubung lintasan.

Jika \(p\notin A\text{,}\) setiap \(B\subseteq A\) dapat ditulis sebagai \(A\cap(B\cup\{p\})\text{,}\) sehingga topologi subruang pada \(A\) diskret. Subruang diskret terhubung lintasan tepat bila mempunyai paling banyak satu titik.

Jika \(p\in A\) dan \(x\in A\text{,}\) definisikan lintasan \(r(0)=x\text{,}\) \(r(t)=p\) untuk \(t>0\text{.}\) Prapeta setiap himpunan buka yang memuat \(p\) adalah seluruh domain atau \((0,1]\text{,}\) keduanya buka relatif. Jadi \(x\) dapat dihubungkan ke \(p\text{;}\) membalik dan menempelkan lintasan menghubungkan setiap dua titik dalam \(A\text{.}\)

Jika \(p\notin A\text{,}\) setiap subset \(A\) terbuka dalam \(X\text{,}\) sehingga \(A\) diskret dan terhubung lintasan hanya untuk kardinalitas paling banyak satu. Jika \(p\in A\text{,}\) untuk \(x\in A\setminus\{p\}\) definisikan \(r(t)=x\) untuk \(t<1\) dan \(r(1)=p\text{.}\) Setiap himpunan buka sejati tidak memuat \(p\text{;}\) prapetanya kosong atau \([0,1)\text{,}\) yang terbuka relatif. Jadi \(r\) lintasan \(x\leadsto p\text{.}\) Pembalikan dan penempelan menghubungkan setiap pasangan titik.

Ruang \(\R\) terhubung lintasan. Subruang \(A=\{0,1\}\) mempunyai topologi diskret. Citra kontinu interval \([0,1]\) harus terhubung, sedangkan satu-satunya subhimpunan terhubung dari \(A\) adalah singleton. Jadi tidak ada lintasan dari \(0\) ke \(1\text{,}\) dan \(A\) tidak terhubung lintasan.

Dalam \(\R^2\text{,}\) ambil lingkaran satuan \(A=S^1\) dan ruas diameter \(B=[-1,1]\times\{0\}\text{.}\) Keduanya terhubung lintasan: lingkaran dapat diparameterkan oleh busur dan ruas oleh interpolasi linear. Namun \(A\cap B=\{(-1,0),(1,0)\}\text{,}\) subruang diskret dua titik, sehingga tidak terhubung lintasan.

Jika \(a=b\text{,}\) fungsi konstan \(p(t)=a\) adalah lintasan, sehingga klaim tanpa syarat tidak selalu benar. Jika \(a\ne b\) dan ada lintasan \(p\text{,}\) citra \(p([0,1])\) harus terhubung sebagai citra kontinu interval terhubung. Setiap subruang dari ruang diskret diskret, dan subruang diskret terhubung hanya bila mempunyai paling banyak satu titik. Karena citra memuat \(a\) dan \(b\text{,}\) timbul kontradiksi.

Dalam ruang lokal terhubung lintasan, setiap komponen lintasan terbuka. Semua komponen lintasan mempartisi dan menutupi \(X\text{,}\) jadi membentuk selimut buka. Kekompakan memberi subselimut berhingga. Karena komponen-komponen berbeda saling lepas dan takkosong, komponen yang tidak terpilih tidak dapat ditutupi oleh komponen terpilih. Maka subselimut berhingga itu harus memuat semua komponen; jumlahnya berhingga.

Ambil titik \(x\) dan lingkungan \(N\text{.}\) Keterhubungan lintasan lokal memberi lingkungan buka \(U\) dengan \(x\in U\subseteq N\) dan \(U\) terhubung lintasan. Setiap ruang terhubung lintasan terhubung, sehingga \(U\) adalah lingkungan buka terhubung di dalam \(N\text{.}\) Ini berlaku di setiap titik, jadi ruang lokal terhubung.