Teorema 19.3.
Misalkan \(X\) dan \(Y\) ruang topologi dan misalkan \(f : X \to Y\) fungsi kontinu. Jika \(A\) subruang terhubung lintasan dari \(X\text{,}\) maka \(f(A)\) merupakan subruang terhubung lintasan dari \(Y\text{.}\)
Bagian Keterhubungan Lintasan
Seperti halnya setiap sifat baru yang kita definisikan, wajar untuk menanyakan apakah keterhubungan lintasan merupakan sifat topologis.
Kegiatan 19.2.
Dalam aktivitas ini kita membuktikan Teorema 19.3.
Andaikan \(X\) dan \(Y\) ruang topologi, \(f : X \to Y\) fungsi kontinu, dan \(A \subseteq X\) terhubung lintasan. Untuk membuktikan bahwa \(f(A)\) terhubung lintasan, kita pilih dua elemen \(u\) dan \(v\) dalam \(f(A)\text{.}\) Dengan demikian, terdapat elemen \(a\) dan \(b\) dalam \(A\) sedemikian sehingga \(f(a) = u\) dan \(f(b) = v\text{.}\)
(a)
Jelaskan mengapa terdapat fungsi kontinu \(p: [0,1] \to A\) sedemikian sehingga \(p(0) = a\) dan \(p(1) = b\text{.}\)
(b)
Tentukan bagaimana \(p\) dan \(f\) dapat digunakan untuk mendefinisikan lintasan \(q: [0,1] \to f(A)\) dari \(u\) ke \(v\text{.}\) Pastikan untuk menjelaskan mengapa \(q\) merupakan lintasan. Simpulkan bahwa \(f(A)\) terhubung lintasan.
Salah satu akibat dari Teorema 19.3 adalah hasil berikut.
Corollary 19.4.
Keterhubungan lintasan merupakan sifat topologis.
