1.
Temukan ruang topologi \(X\) dan titik \(x \in X\) sedemikian sehingga lingkungan minimal dari \(x\) bukan himpunan buka.
Latihan Latihan
2.
Misalkan \(X\) ruang topologi dan, untuk setiap \(x \in X\text{,}\) misalkan \(PC(x)\) menyatakan komponen lintasan dari \(x\text{.}\) Buktikan pernyataan-pernyataan berikut.
(a)
Jika \(A\) subhimpunan terhubung lintasan dari \(X\text{,}\) maka \(A \subseteq PC(x)\) untuk suatu \(x \in X\text{.}\)
(b)
Ruang \(X\) terhubung lintasan jika dan hanya jika \(X = PC(x)\) untuk suatu \(x \in X\text{.}\)
3.
Dalam Kegiatan 18.7 dari Bab 18, kita menunjukkan bahwa gabungan sebarang dari himpunan-himpunan terhubung adalah terhubung asalkan irisan himpunan-himpunan itu tidak kosong. Apakah hasil yang sama benar untuk himpunan-himpunan terhubung lintasan? Yakni, jika \(X\) ruang topologi dan \(\{A_{\alpha}\}\text{,}\) untuk \(\alpha\) dalam suatu himpunan indeks \(I\text{,}\) merupakan koleksi subhimpunan terhubung lintasan dari \(X\) dengan \(\bigcap_{\alpha \in I} A_{\alpha} \neq \emptyset\text{,}\) haruskah \(A = \bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}\) terhubung lintasan? Buktikan jawaban Anda.
4.
Misalkan \(X\) subruang dari \((\R^2, d_E)\) yang terdiri atas ruas-ruas garis yang menghubungkan titik \((0,1)\) dengan setiap titik dalam himpunan \(\left\{\left(\frac{1}{n}, 0\right) \mid n \in \Z^+\right\}\text{,}\) seperti diilustrasikan dalam Gambar 19.18. Ruang ini disebut sapu harmonik.
(a)
Tunjukkan bahwa sapu harmonik terhubung.
(b)
Tunjukkan bahwa sapu harmonik terhubung lintasan.
(c)
Tunjukkan bahwa sapu harmonik tidak terhubung secara lokal.
(d)
Tunjukkan bahwa sapu harmonik tidak terhubung lintasan secara lokal. Jadi, keterhubungan lintasan tidak mengakibatkan keterhubungan lintasan secara lokal.
5.
Dalam Latihan 4, kita melihat contoh ruang yang terhubung lintasan tetapi tidak terhubung lintasan secara lokal. Apakah mungkin menemukan ruang yang terhubung lintasan secara lokal tetapi tidak terhubung lintasan? Verifikasi jawaban Anda.
6.
Misalkan \(K = \left\{\frac{1}{k} \mid k \text{ bilangan bulat positif} \right\}\text{.}\) Misalkan \(\B\) koleksi semua interval buka berbentuk \((a,b)\) dan semua himpunan berbentuk \((a,b) \setminus K\text{,}\) dengan \(a \lt b\) bilangan real seperti dalam Contoh 13.13. Misalkan \(\tau_K\) topologi yang dibangkitkan oleh \(\B\text{.}\) Tunjukkan bahwa \((\R, \tau_K)\) tidak terhubung lintasan. (Petunjuk: Andaikan terdapat lintasan antara \(a\) dan \(b\) dengan \(a \lt 0\) dan \(b \gt 1\text{.}\))
7.
Kita mengetahui bahwa suatu ruang dapat terhubung tetapi tidak terhubung lintasan. Kita juga mengetahui bahwa keterhubungan lintasan secara lokal tidak mengakibatkan keterhubungan. Namun, jika kedua syarat ini digabungkan, ruang tersebut harus terhubung lintasan. Yakni, tunjukkan bahwa jika ruang topologi \(X\) terhubung dan terhubung lintasan secara lokal, maka \(X\) terhubung lintasan.
8.
Misalkan \(X\) himpunan tak kosong dan misalkan \(p\) elemen tetap dalam \(X\text{.}\) Misalkan \(\tau_p\) topologi titik tertentu dan \(\tau_{\overline{p}}\) topologi titik dikecualikan pada \(X\text{.}\) Yakni,
- \(\tau_{p}\) adalah koleksi subhimpunan dari \(X\) yang terdiri atas \(\emptyset\text{,}\) \(X\text{,}\) dan semua subhimpunan dari \(X\) yang memuat \(p\text{.}\)
- \(\tau_{\overline{p}}\) adalah koleksi subhimpunan dari \(X\) yang terdiri atas \(\emptyset\text{,}\) \(X\text{,}\) dan semua subhimpunan dari \(X\) yang tidak memuat \(p\text{.}\)
Fakta bahwa topologi titik tertentu dan topologi titik dikecualikan benar-benar merupakan topologi dibahas dalam Latihan 9 dan Latihan 10. Tentukan, disertai bukti, subhimpunan-subhimpunan terhubung lintasan dari \(X\) ketika
(a)
\(X\) mempunyai topologi titik tertentu \(\tau_p\text{.}\)
(b)
\(X\) mempunyai topologi titik dikecualikan \(\tau_{\overline{p}}\text{.}\)
9.
Untuk setiap pernyataan berikut, jawablah benar jika pernyataan itu selalu benar. Jika pernyataan itu hanya kadang-kadang benar atau tidak pernah benar, jawablah salah dan berikan contoh konkret yang menunjukkan bahwa pernyataan tersebut salah. Jika suatu pernyataan benar, jelaskan alasannya.
(a)
Jika \(X\) ruang topologi terhubung lintasan, maka setiap subruang dari \(X\) terhubung lintasan.
(b)
Jika \(A\) dan \(B\) subruang terhubung lintasan dari ruang topologi \(X\text{,}\) maka \(A \cap B\) terhubung lintasan.
(c)
Tidak ada lintasan dari \(a\) ke \(b\) dalam \((X, \tau)\text{,}\) dengan \(\tau\) topologi diskret.
(d)
Jika \(X\) ruang topologi kompak yang terhubung lintasan secara lokal, maka \(X\) hanya mempunyai berhingga banyak komponen lintasan.
(e)
Setiap ruang yang terhubung lintasan secara lokal adalah terhubung secara lokal.
