Bagian Subhimpunan Terhubung dari \(\R\)
Dengan
Teorema 18.5 yang telah kita miliki, kita hampir siap menunjukkan bahwa setiap interval dalam
\(\R\) terhubung. Mari kita kembali sejenak ke contoh
\(A = (-1,0) \cup (4,5)\) dalam
\(\R\text{.}\) Tidak sulit untuk melihat bahwa jika
\(U\) dan
\(V\) merupakan suatu pemisahan dari
\(A\text{,}\) maka subhimpunan
\((-1,0)\) harus termuat seluruhnya dalam
\(U\) atau dalam
\(V\text{.}\) Alasannya adalah bahwa
\((-1,0)\) merupakan subhimpunan terhubung dari
\(A\text{.}\) Hasil ini berlaku secara umum.
Kegiatan 18.5.
Misalkan \(X\) suatu ruang topologi, dan misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Andaikan \(U\) dan \(V\) membentuk suatu pemisahan dari \(A\text{.}\) Misalkan \(C\) suatu subhimpunan terhubung dari \(A\text{.}\) Dalam kegiatan ini kita ingin membuktikan bahwa \(C \subseteq U\) atau \(C \subseteq V\text{.}\)
(a)
Gunakan fakta bahwa \(U\) dan \(V\) membentuk suatu pemisahan dari \(A\) untuk menjelaskan mengapa \(C \subseteq U \cup V\) dan \(C \cap U \cap V = \emptyset\text{.}\)
(b)
Mengingat bahwa \(C\) terhubung, kesimpulan apa yang dapat kita tarik mengenai himpunan \(U' = U \cap C\) dan \(V' = V \cap C\text{?}\)
(c)
Lengkapilah bukti lema berikut.
Lema 18.7.
Misalkan \(X\) suatu ruang topologi, dan misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Andaikan \(U\) dan \(V\) membentuk suatu pemisahan dari \(A\text{.}\) Jika \(C\) merupakan subhimpunan terhubung dari \(A\text{,}\) maka \(C \subseteq U\) atau \(C \subseteq V\text{.}\)
Sekarang kita dapat membuktikan bahwa setiap interval dalam \(\R\) terhubung. Karena \([a,b]\text{,}\) \([a,b)\text{,}\) dan \((a,b]\) semuanya merupakan himpunan yang terletak di antara \((a,b)\) dan \(\overline{(a,b)}\text{,}\) kita dapat membahas keterhubungan ketiganya sekaligus melalui hasil berikutnya.
Teorema 18.8.
Misalkan \(X\) suatu ruang topologi dan \(C\) suatu subhimpunan terhubung dari \(X\text{.}\) Jika \(A\) merupakan subhimpunan dari \(X\) dan \(C \subseteq A \subseteq \overline{C}\text{,}\) maka \(A\) terhubung dalam \(X\text{.}\)
Bukti.
Misalkan
\(X\) suatu ruang topologi dan
\(C\) suatu subhimpunan terhubung dari
\(X\text{.}\) Misalkan
\(A\) suatu subhimpunan dari
\(X\) sedemikian sehingga
\(C \subseteq A \subseteq \overline{C}\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa
\(A\) terhubung, andaikan sebaliknya bahwa
\(A\) tidak terhubung. Maka terdapat subhimpunan buka tak kosong
\(U\) dan
\(V\) dari
\(X\) yang membentuk suatu pemisahan dari
\(A\text{.}\) Lema 18.7 menunjukkan bahwa
\(C \subseteq U\) atau
\(C \subseteq V\text{.}\) Tanpa mengurangi keumuman, andaikan bahwa
\(C \subseteq U\text{.}\) Karena
\(U \cap V \cap A = \emptyset\text{,}\) diperoleh
\begin{equation*}
C \cap V = (C \cap A) \cap V = C \cap (A \cap V) \subseteq U \cap A \cap V = \emptyset\text{.}
\end{equation*}
Karena \(A \cap V \neq \emptyset\text{,}\) terdapat suatu unsur \(x \in A \cap V\text{.}\) Karena \(x \notin C\) dan \(x \in A \subseteq \overline{C}\text{,}\) \(x\) harus merupakan titik limit dari \(C\text{.}\) Karena \(V\) merupakan lingkungan buka dari \(x\text{,}\) diperoleh \(V \cap C \neq \emptyset\text{.}\) Kontradiksi ini memungkinkan kita menyimpulkan bahwa \(A\) terhubung.
Salah satu konsekuensi
Teorema 18.8 adalah bahwa setiap interval berbentuk
\([a,b)\text{,}\) \((a,b]\text{,}\) \([a,b]\text{,}\) \((-\infty,
b]\text{,}\) atau
\([a, \infty)\) dalam
\(\R\) terhubung. Hal ini memunculkan pertanyaan: adakah subhimpunan lain dari
\(\R\) yang terhubung?
Kegiatan 18.6.
Misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari \(\R\text{.}\)
(a)
Misalkan \(A = \{a\}\) suatu subhimpunan satu titik dari \(\R\text{.}\) Apakah \(A\) terhubung? Jelaskan.
(b)
Sekarang, andaikan \(A\) suatu subhimpunan dari \(\R\) yang memuat dua titik atau lebih. Andaikan \(A\) bukan suatu interval. Maka harus terdapat titik \(a\) dan \(b\) dalam \(A\) serta suatu titik \(c\) dalam \(\R \setminus A\) di antara \(a\) dan \(b\text{.}\) Gunakan gagasan ini untuk menemukan suatu pemisahan dari \(A\text{.}\) Apa yang dapat kita simpulkan mengenai \(A\text{?}\)
(c)
Deskripsikan secara eksplisit subhimpunan-subhimpunan terhubung dari \((\R, d_E)\text{.}\)
