Bagian Tiga Contoh
Dalam bagian ini, kita membahas tiga contoh khusus hasil kali ruang topologi.
Kegiatan 20.3.
Misalkan \(X = [1,2]\) dan \(Y = [3,4]\) sebagai subruang dari \(\R\text{.}\)
(a)
Jelaskan secara terperinci seperti apa ruang hasil kali \(X \times Y\text{.}\)
(b)
Jika mungkin, carilah suatu subhimpunan buka dari \(X \times Y\) yang tidak berbentuk \(U \times V\text{,}\) dengan \(U\) buka dalam \(X\) dan \(V\) buka dalam \(Y\text{.}\)
Kegiatan 20.4.
Misalkan \(X = \R\) dan \(Y = S^1 = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 = 1\}\text{,}\) yaitu lingkaran satuan sebagai subhimpunan dari \(\R^2\text{.}\)
(a)
Gambarlah \(\R\text{.}\) Untuk setiap \(x \in \R\text{,}\) himpunan \(\R_x = \{(x, y) \mid y \in S^1\}\) merupakan subhimpunan dari \(\R \times S^1\text{.}\) Pada gambar \(\R\) Anda, gambarlah \(\R_x\) untuk \(x\) yang sama dengan \(-1\text{,}\) \(0\text{,}\) dan \(1\text{.}\) Jelaskan secara terperinci seperti apa ruang hasil kali \(\R \times S^1\text{.}\)
(b)
Perhatikan himpunan-himpunan berbentuk \(B \cap S^1\text{,}\) dengan \(B\) bola buka dalam \(\R^2\) (himpunan yang relatif buka dalam \(S^1\)). Seperti apa himpunan-himpunan tersebut?
(c)
Jelaskan bentuk elemen-elemen basis bagi topologi hasil kali pada \(\R \times S^1\) yang diperoleh dari hasil kali berbentuk \(U \times V\text{,}\) dengan \(U\) interval buka dalam \(\R\) dan \(V\) irisan \(S^1\) dengan suatu bola buka dalam \(\R^2\text{.}\)
Kegiatan 20.5.
Misalkan \(2S^1 = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 = 4\}\) merupakan lingkaran berjari-jari \(2\) yang berpusat di titik asal sebagai subhimpunan dari \(\R^2\text{.}\) Dalam kegiatan ini, kita menyelidiki ruang \(2S^1 \times S^1\text{.}\)
(a)
Gambarlah \(2S^1\) pada bidang \(xy\text{.}\) Untuk setiap \(p \in 2S^1\text{,}\) himpunan \(S^1_p = \{(p, y) \mid y \in S^1\}\) merupakan subhimpunan dari \(2S^1 \times S^1\text{.}\) Pada gambar \(2S^1\) Anda, gambarlah \(S^1_p\) untuk \(p\) yang sama dengan \((2,0)\text{,}\) \(\left(\sqrt{2}, \sqrt{2}\right)\text{,}\) dan \((0,2)\text{.}\) Arahkan gambar-gambar tersebut sehingga salinan \(S^1\) tegak lurus terhadap \(2S^1\text{.}\) Jelaskan secara terperinci seperti apa ruang hasil kali \(2S^1 \times S^1\text{.}\)
(b)
Perhatikan himpunan-himpunan berbentuk \(B \cap S^1\text{,}\) dengan \(B\) bola buka dalam \(\R^2\text{.}\) Seperti apa himpunan-himpunan tersebut?
(c)
Jelaskan bentuk elemen-elemen basis bagi topologi hasil kali pada \(2S^1 \times S^1\) yang diperoleh dari hasil kali berbentuk \(U \times V\text{,}\) dengan \(U\) irisan \(2S^1\) dengan suatu bola buka dalam \(\R^2\) dan \(V\) irisan lingkaran satuan dengan suatu bola buka dalam bidang yang sama.
