Subbab 2.7 Koefisien Multinomial

Misalkan \(X\) merupakan himpunan dengan \(n\) elemen. Misalkan kita memiliki dua warna cat, yaitu merah dan biru, lalu memilih himpunan bagian yang terdiri atas \(k\) elemen untuk dicat merah, sedangkan sisanya dicat biru. Banyaknya cara berbeda untuk melakukannya tidak lain adalah koefisien binomial \(\binom{n}{k}\text{.}\) Sekarang, misalkan kita memiliki tiga warna berbeda, yaitu merah, biru, dan hijau. Kita memilih \(k_1\) elemen untuk dicat merah, \(k_2\) elemen untuk dicat biru, dan \(k_3 = n - (k_1+k_2)\) elemen sisanya untuk dicat hijau. Kita dapat menghitung banyaknya cara dengan terlebih dahulu memilih \(k_1\) dari \(n\) elemen untuk dicat merah, kemudian, dari \(n-k_1\) elemen yang tersisa, memilih \(k_2\) untuk dicat biru, lalu mengecat \(k_3\) elemen sisanya dengan warna hijau. Mudah dilihat bahwa banyaknya cara tersebut adalah

\begin{equation*} \binom{n}{k_1}\binom{n-k_1}{k_2} = \frac{n!}{k_1!(n-k_1)!} \frac{(n-k_1)!}{k_2!(n-(k_1+k_2))!} = \frac{n!}{k_1!k_2!k_3!} \end{equation*}

Bilangan berbentuk demikian disebut koefisien multinomial; koefisien ini merupakan generalisasi langsung dari koefisien binomial. Jika indeks-indeks bawahnya adalah bilangan bulat tak negatif yang berjumlah n, notasi umumnya adalah:

\begin{equation*} \binom{n}{k_1,k_2,k_3,\dots,k_r}=\frac{n!}{k_1!k_2!k_3!\dots k_r!}. \end{equation*}

Sebagai contoh,

\begin{equation*} \binom{8}{3,2,1,2}=\frac{8!}{3!2!1!2!}= \frac{40320}{6\cdot2\cdot1\cdot2}=1680. \end{equation*}

Perhatikan bahwa notasi ini agak “berlebihan”, karena nilai \(k_r\) ditentukan oleh \(n\) serta nilai \(k_1\) dan \(k_2,\dots,k_{r-1}\text{.}\) Sebagai contoh, untuk koefisien binomial biasa, kita cukup menulis \(\binom{8}{3}\text{,}\) bukan \(\binom{8}{3,5}\text{.}\)

Contoh 2.32.

Berapa banyak susunan ulang berbeda dari string berikut:

\begin{equation*} \text{MITCHELTKELLERANDWILLIAMTTROTTERAREGENIUSES!!} \end{equation*}

yang mungkin jika semua huruf dan karakter harus digunakan?

Penyelesaian.

Untuk menjawab pertanyaan ini, perhatikan bahwa seluruhnya terdapat \(45\) karakter dengan rincian sebagai berikut: 3 huruf A, 1 huruf C, 1 huruf D, 7 huruf E, 1 huruf G, 1 huruf H, 4 huruf I, 1 huruf K, 5 huruf L, 2 huruf M, 2 huruf N, 1 huruf O, 4 huruf R, 2 huruf S, 6 huruf T, 1 huruf U, 1 huruf W, dan 2 tanda seru. Jadi, banyaknya susunan ulang adalah

\begin{equation*} \frac{45!}{3!1!1!7!1!1!4!1!5!2!2!1!4!2!6!1!1!2!}. \end{equation*}

Seperti halnya koefisien binomial dan Teorema Binomial, koefisien multinomial muncul dalam ekspansi pangkat suatu multinomial:

Teorema 2.33. Teorema Multinomial.

Misalkan \(x_1, x_2, \dots, x_r\) merupakan bilangan real tak nol dengan \(\sum_{i=1}^r x_i\neq 0\text{.}\) Maka, untuk setiap \(n\in \nni\text{,}\)

\begin{equation*} (x_1+x_2+\cdots + x_r)^n = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_r=n}\binom{n}{k_1,k_2,\dots,k_r} x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_r^{k_r}. \end{equation*}

Contoh 2.34.

Berapakah koefisien dari \(x^{99}y^{60}z^{14}\) dalam \((2x^3+y-z^2)^{100}\text{?}\) Bagaimana dengan \(x^{99}y^{61}z^{13}\text{?}\)

Penyelesaian.

Menurut Teorema Multinomial, ekspansi \((2x^3+y-z^2)^{100}\) memiliki suku-suku berbentuk

\begin{equation*} \binom{100}{k_1,k_2,k_3} (2x^3)^{k_1}y^{k_2}(-z^2)^{k_3} = \binom{100}{k_1,k_2,k_3} 2^{k_1}x^{3k_1}y^{k_2}(-1)^{k_3}z^{2k_3}. \end{equation*}

Suku \(x^{99}y^{60}z^{14}\) muncul ketika \(k_1 = 33\text{,}\) \(k_2=60\text{,}\) dan \(k_3=7\text{,}\) sehingga koefisiennya adalah

\begin{equation*} -\binom{100}{33,60,7}2^{33}. \end{equation*}

Untuk \(x^{99}y^{61}z^{13}\text{,}\) pangkat \(z\) bernilai ganjil, sedangkan hal itu tidak mungkin muncul dalam ekspansi \((2x^3+y-z^2)^{100}\text{;}\) jadi, koefisiennya adalah \(0\text{.}\)

Sblm Ke Atas Lnjt