Program matematika (Bahasa Indonesia)
Mathematics program (English)
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Bacakan Pengaturan Keterbacaan Sblm Naik Lnjt \(\newcommand{\set}[1]{\{#1\}}
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\)
Subbab B.9 Perpangkatan
Sekarang kita mendefinisikan operasi dua argumen yang disebut
perpangkatan . Operasi ini hanya didefinisikan pada pasangan terurut bilangan asli
\((m,n)\) yang kedua komponennya tidak sekaligus nol. Notasi perpangkatan tidak seragam. Dalam buku, perpangkatan ditulis
\(m^n\text{,}\) sedangkan notasi
\(m**n\text{,}\) \(m\wedge n\text{,}\) dan
\(\exp(m,n)\) digunakan dalam teks sebaris. Kita terutama akan menggunakan notasi
\(m^n\text{.}\)
Jika
\(m=0\text{,}\) kita menetapkan
\(0^n=0\) untuk setiap
\(n\in\nonnegints\) dengan
\(n\neq0\text{.}\) Sekarang misalkan
\(m\neq0\text{.}\) Kita mendefinisikan
\(m^n\) dengan (i)
\(m^0=1\) dan (ii)
\(m^{k+1}=mm^k\text{.}\)
Teorema B.27 .
Untuk setiap
\(m,n,p\in\nonnegints\) dengan
\(m\neq0\text{,}\) berlaku
\(m^{n+p}=m^n\,m^p\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \(m,n\in\nonnegints\) dengan \(m\neq0\text{.}\) Maka \(m^{n+0}=m^n=m^n\,1=m^n\,m^0\text{.}\) Sekarang andaikan \(m^{n+k}=m^n\,m^k\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
m^{n+(k+1)}=m^{(n+k)+1}=m\,m^{n+k}
= m(m^n\,m^k)=m^n(m\,m^k)=m^n\,m^{k+1}.
\end{equation*}
Teorema B.28 .
Untuk setiap
\(m,n,p\in\nonnegints\) dengan
\(m\neq0\text{,}\) berlaku
\((m^n)^p=m^{np}\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \(m,n\in\nonnegints\) dengan \(m\neq0\text{.}\) Maka \((m^n)^0=1=m^0=m^{n0}\text{.}\) Sekarang andaikan \((m^n)^k=m^{nk}\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
(m^n)^{k+1}=m^n(m^n)^k=m^n(m^{nk})=m^{n+nk}=m^{n(k+1)}.
\end{equation*}
