Lewati ke konten utama

Indeks Sblm Naik Lnjt

\(\newcommand{\set}[1]{\{#1\}} \newcommand{\ints}{\mathbb{Z}} \newcommand{\posints}{\mathbb{N}} \newcommand{\rats}{\mathbb{Q}} \newcommand{\reals}{\mathbb{R}} \newcommand{\complexes}{\mathbb{C}} \newcommand{\twospace}{\mathbb{R}^2} \newcommand{\threepace}{\mathbb{R}^3} \newcommand{\dspace}{\mathbb{R}^d} \newcommand{\nni}{\mathbb{N}_0} \newcommand{\nonnegints}{\mathbb{N}_0} \newcommand{\dom}{\operatorname{dom}} \newcommand{\ran}{\operatorname{ran}} \newcommand{\prob}{\operatorname{prob}} \newcommand{\Prob}{\operatorname{Prob}} \newcommand{\height}{\operatorname{height}} \newcommand{\width}{\operatorname{width}} \newcommand{\length}{\operatorname{length}} \newcommand{\crit}{\operatorname{crit}} \newcommand{\inc}{\operatorname{inc}} \newcommand{\HP}{\mathbf{H_P}} \newcommand{\HCP}{\mathbf{H^c_P}} \newcommand{\GP}{\mathbf{G_P}} \newcommand{\GQ}{\mathbf{G_Q}} \newcommand{\AG}{\mathbf{A_G}} \newcommand{\GCP}{\mathbf{G^c_P}} \newcommand{\PXP}{\mathbf{P}=(X,P)} \newcommand{\QYQ}{\mathbf{Q}=(Y,Q)} \newcommand{\GVE}{\mathbf{G}=(V,E)} \newcommand{\HWF}{\mathbf{H}=(W,F)} \newcommand{\bfC}{\mathbf{C}} \newcommand{\bfG}{\mathbf{G}} \newcommand{\bfH}{\mathbf{H}} \newcommand{\bfF}{\mathbf{F}} \newcommand{\bfI}{\mathbf{I}} \newcommand{\bfK}{\mathbf{K}} \newcommand{\bfP}{\mathbf{P}} \newcommand{\bfQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\bfR}{\mathbf{R}} \newcommand{\bfS}{\mathbf{S}} \newcommand{\bfT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bfNP}{\mathbf{NP}} \newcommand{\bftwo}{\mathbf{2}} \newcommand{\cgA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cgB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cgC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cgD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cgE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cgF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cgG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cgM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cgN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cgP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cgR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cgS}{\mathcal{S}} \newcommand{\bfn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bfm}{\mathbf{m}} \newcommand{\bfk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bfs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bijection}{\xrightarrow[\text{onto}]{\text{$1$--$1$}}} \newcommand{\injection}{\xrightarrow[]{\text{$1$--$1$}}} \newcommand{\surjection}{\xrightarrow[\text{onto}]{}} \newcommand{\nin}{\not\in} \newcommand{\prufer}{\text{prüfer}} \DeclareMathOperator{\fix}{fix} \DeclareMathOperator{\stab}{stab} \DeclareMathOperator{\var}{var} \newcommand{\inv}{^{-1}} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\lt}{<} \newcommand{\gt}{>} \newcommand{\amp}{&} \definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9} \newcommand{\fillinmath}[1]{\mathchoice{\colorbox{fillinmathshade}{$\displaystyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\textstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptscriptstyle\phantom{\,#1\,}$}}} \)

Subbab 2.6 Teorema Binomial

Berikut sebuah hasil yang sungguh mendasar—boleh dibilang materi taman kanak-kanak dalam kombinatorika.

Teorema 2.30. Teorema Binomial.

Misalkan \(x\) dan \(y\) bilangan real dengan \(x\text{,}\) \(y\text{,}\) dan \(x+y\) semuanya tak nol. Maka, untuk setiap bilangan bulat tak negatif \(n\text{,}\)

\begin{equation*} (x+y)^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}x^{n-i}y^{i}. \end{equation*}

Bukti.

Pandang \((x+y)^n\) sebagai hasil kali

\begin{equation*} (x+y)^n=\underbrace{(x+y)(x+y)(x+y)(x+y)\dots(x+y)(x+y)}_{n\text{ factors} }. \end{equation*}

Setiap suku dalam ekspansi hasil kali tersebut diperoleh dengan memilih \(x\) atau \(y\) dari setiap faktor. Jika \(x\) dipilih \(n-i\) kali dan \(y\) dipilih \(i\) kali, hasil kalinya adalah \(x^{n-i}y^i\text{.}\) Jelas bahwa banyaknya suku semacam itu adalah \(C(n,i)\text{;}\) i.e., dari \(n\) faktor tersebut, kita memilih unsur \(y\) pada \(i\) faktor dan mengambil \(x\) pada \(n-i\) faktor sisanya.

Contoh 2.31.

Adakalanya kita tidak memerlukan ekspansi lengkap suatu pangkat binomial, melainkan hanya koefisien salah satu sukunya. Teorema Binomial menunjukkan bahwa koefisien \(x^5y^8\) dalam \((2x-3y)^{13}\) adalah \(\binom{13}{5}2^{5}(-3)^8\text{.}\)

Sblm Ke Atas Lnjt