Suatu himpunan bagian \(R\subseteq X\times Y\) disebut relasi biner pada \(X\times Y\text{.}\) Relasi biner \(R\) pada \(X\times Y\) disebut fungsi dari \(X\) ke \(Y\) jika untuk setiap \(x\in X\) terdapat tepat satu unsur \(y\in Y\) yang memenuhi \((x,y)\in R\text{.}\)
Syarat kedua sering dinyatakan dalam bentuk lain berikut: jika \(x\in X\text{,}\)\(y_1,y_2\in Y\text{,}\) dan \((x,y_1),(x,y_2)\in R\text{,}\) maka \(y_1=y_2\text{.}\)
Dalam banyak konteks, seperti kalkulus, fungsi biasanya dinyatakan dengan huruf seperti \(f\text{,}\)\(g\text{,}\) dan \(h\text{.}\) Misalkan \(f\) merupakan fungsi dari himpunan \(X\) ke himpunan \(Y\text{.}\) Berdasarkan sifat yang mendefinisikan fungsi, untuk setiap \(x\in X\) terdapat unsur tunggal \(y\in Y\) yang memenuhi \((x,y)\in f\text{.}\) Dalam hal ini, kita mengikuti konvensi penulisan \(y=f(x)\text{.}\) Sebagai contoh, jika \(f=R_1\) merupakan fungsi dalam Contoh B.4, maka \(2=f(4)\) dan \(f(3) =1\text{.}\)
Dalam kalkulus, kita mempelajari fungsi yang didefinisikan oleh aturan aljabar. Sebagai contoh, tinjau fungsi \(f\) dengan aturan \(f(x) = 5x^3-8x+7\text{.}\) Notasi singkat ini berarti bahwa \(X=Y=\reals\) dan
Dalam kombinatorika, kita kadang-kadang mempelajari fungsi yang didefinisikan secara aljabar seperti dalam kalkulus, tetapi kita juga akan sering mendeskripsikan fungsi dengan jenis aturan lain. Sebagai contoh, definisikan \(f:\posints\rightarrow\posints\) dengan \(f(n) = |n/2|\) jika \(n\) genap dan \(f(n)=3|n|+1\) jika \(n\) ganjil.
Suatu fungsi \(f:X\rightarrow Y\) disebut injeksi dari \(X\) ke \(Y\) jika untuk setiap \(y\in Y\) terdapat paling banyak satu unsur \(x\in X\) yang memenuhi \(y=f(x)\text{.}\)
Jika arti \(X\) dan \(Y\) sudah jelas, kita cukup mengatakan bahwa \(f\) merupakan injeksi. Injeksi juga disebut fungsi \(1\)–\(1\) (dibaca “satu-ke-satu”) dan kadang-kadang dinotasikan dengan \(f:X\injection Y\text{.}\)
Suatu fungsi \(f:X\rightarrow Y\) disebut fungsi surjektif dari \(X\) ke \(Y\) jika untuk setiap \(y\in Y\) terdapat sekurang-kurangnya satu \(x\in X\) yang memenuhi \(y=f(x)\text{.}\)
Sekali lagi, jika arti \(X\) dan \(Y\) sudah jelas, kita cukup mengatakan bahwa \(f\) merupakan fungsi surjektif. Fungsi surjektif juga disebut fungsi onto dan kadang-kadang dinotasikan dengan \(f:X\surjection Y\text{.}\)
Suatu fungsi \(f\) dari \(X\) ke \(Y\) yang sekaligus merupakan injeksi dan fungsi surjektif disebut bijeksi. Dengan kata lain, bijeksi adalah fungsi \(1\)–\(1\) dan onto; fungsi ini kadang-kadang dinotasikan dengan \(f:X \bijection Y\). Bijeksi juga disebut korespondensi \(1\)–\(1\).
Maka \(f\) merupakan bijeksi; \(g\) merupakan fungsi surjektif tetapi bukan injeksi (Mengapa?); dan \(h\) bukan injeksi maupun fungsi surjektif (Mengapa?).
