Subbab B.16 Memperoleh Bilangan Rasional dari Bilangan Bulat

Perhatikan himpunan \(\rats\) yang terdiri atas semua pasangan terurut dalam \(\ints\times \ints\) berbentuk \((x,y)\) dengan \(y\neq 0\text{.}\) Elemen-elemen \(\rats\) disebut bilangan rasional, atau pecahan. Definisikan suatu relasi ekuivalensi, yang dinyatakan dengan \(=\text{,}\) pada \(\rats\) dengan menetapkan \((x,y)=(z,w)\) jika dan hanya jika \(xw=yz\text{.}\) Perlu ditekankan bahwa simbol \(=\) dapat digunakan—dan memang sering digunakan—untuk menyatakan relasi ekuivalensi. Maknanya tidak terbatas pada “benar-benar objek yang sama.”

Jika \(q=(x,y)\) merupakan suatu pecahan, \(x\) disebut pembilang dan \(y\) disebut penyebut dari \(q\text{.}\) Ingat bahwa penyebut suatu pecahan tidak pernah nol.

Penjumlahan pecahan didefinisikan dengan

\begin{equation*} (a,b)+(c,d) = (ad+bc,bd), \end{equation*}

sedangkan perkalian didefinisikan dengan

\begin{equation*} (a,b)(c,d) = (ac,bd). \end{equation*}

Seperti pada bilangan bulat, kita perlu berhenti sejenak dan membuktikan bahwa kedua operasi tersebut terdefinisi dengan baik.

Teorema B.46.

Misalkan \(x,y,z,w\in\rats\text{.}\) Jika \(x=y\) dan \(z=w\text{,}\) maka \(x+z=y+w\) dan \(xz=yw\text{.}\)

Penjumlahan dan perkalian sama-sama bersifat asosiatif dan komutatif. Selain itu, berlaku sifat distributif.

Teorema B.47.

Misalkan \(x,y,z\in \rats\text{.}\) Maka

\(x+y=y+x\) dan \(xy=yx\text{.}\)
\(x+(y+z) = (x+y)+z\) dan \(x(yz)=(xy)z\text{.}\)
\(x(y+z)=xy+xz\text{.}\)

Invers aditif pecahan \((a,b)\) ialah \((-a,b)\text{.}\) Dengan menggunakan hal ini, kita mendefinisikan pengurangan pecahan: \((a,b)-(c,d)=(a,b)+(-c,d)\text{.}\)

Jika \((a,b)\) merupakan suatu pecahan dan \(a\neq 0\text{,}\) pecahan \((b,a)\) merupakan kebalikan dari \((a,b)\text{.}\) Kebalikan juga disebut invers perkalian, dan kebalikan \(x\) dinyatakan dengan \(x^{-1}\text{.}\) Jika \(y\neq0\text{,}\) kita kemudian dapat mendefinisikan pembagian dengan menetapkan \(x/y=xy^{-1}\text{,}\) i.e., \((a,b)/(c,d)=(ad, bc)\text{.}\) Tentu saja, pembagian dengan nol tidak didefinisikan, suatu fakta yang mungkin sudah Anda ketahui!

Seperti pada \(\nonnegints\) dan \(\ints\text{,}\) jika \(n\) merupakan bilangan bulat positif dan \(0\) merupakan nol dalam \(\rats\text{,}\) kita definisikan \(0^n=0\text{.}\) Jika \(x=(a,b)\) merupakan pecahan dengan \(x\neq0\) dan \(n\) merupakan bilangan bulat tak negatif, kita mendefinisikan \(x^n\) secara induktif melalui (i) \(x^0=1\) dan (ii) \(x^{n+1}=xx^n\text{.}\)

Teorema B.48.

Jika \(x\in\rats\text{,}\) \(x\neq0\text{,}\) dan \(m,n\in\nonnegints\text{,}\) maka \(x^mx^n=x^{m+n}\) dan \((x^m)^n=x^{mn}\text{.}\)

Banyak orang lebih menyukai notasi alternatif bagi pecahan, yaitu pembilang ditulis tepat di atas penyebut dengan garis horizontal di antaranya. Jadi, \((2,5)\) juga dapat ditulis sebagai \(\frac{2}{5}\text{.}\)

Melalui pemetaan \(g(x) = (x,1)=\frac{x}{1}\text{,}\) sekali lagi kita mengatakan bahwa bilangan bulat merupakan “himpunan bagian” dari bilangan rasional. Seperti sebelumnya, perhatikan bahwa \(g(x+y) = g(x)+g(y)\text{,}\) \(g(x-y)=g(x)-g(y)\text{,}\) dan \(g(xy)=g(x)g(y)\text{.}\)

Di kelas tiga sekolah dasar, Anda mungkin diberi tahu bahwa \(5 =\frac{5}{1}\text{,}\) tetapi sekarang Anda menyadari bahwa hal itu tidak sepenuhnya benar. Demikian pula, jika dahulu Anda mengatakan kepada guru bahwa \(\frac{3}{4}\) dan \(\frac{6}{8}\) sebenarnya tidak sama dan hanya “setara” dalam arti relasi ekuivalensi yang lebih luas pada suatu himpunan bagian dari produk Kartesius bilangan bulat, Anda mungkin akan dikirim ke ruang kepala sekolah.

Bayangkan masalah yang mungkin Anda hadapi jika bersikeras bahwa arti sebenarnya dari \(\frac{1}{2}\) ialah

\begin{equation*} \frac{1}{2} =\langle(\langle(s(s(0)),s(0))\rangle, \langle(s(s(0)),0)\rangle)\rangle \end{equation*}

Kita juga dapat mendefinisikan urutan total pada \(\rats\text{.}\) Untuk melakukannya, kita menganggap bahwa \((a,b),(c,d)\in\rats\) memenuhi \(b,d>0\text{.}\) (Sebagai contoh, jika \(b\lt 0\text{,}\) kita menggantinya dengan \((a',b')=(-a,-b)\text{,}\) yang berada dalam kelas ekuivalensi yang sama dengan \((a,b)\) dan memenuhi \(b'>0\text{.}\)) Kemudian kita menetapkan \((a,b)\leq (c,d)\) dalam \(\rats\) jika \(ad\leq bc\) dalam \(\ints\text{.}\)

Subbagian B.16.1 Eksponen Bilangan Bulat

Jika \(n\) merupakan bilangan bulat positif dan \(0\) merupakan nol dalam \(\rats\text{,}\) kita definisikan \(0^n=0\text{.}\) Jika \(x\in\rats\text{,}\) \(x\neq 0\text{,}\) dan \(n\in\nonnegints\text{,}\) kita mendefinisikan \(x^n\) secara induktif melalui (i) \(x^0=1\) dan (ii) \(x^{k+1}=xx^k\text{.}\) Jika \(n\in\ints\) dan \(n\lt 0\text{,}\) kita menetapkan \(x^n=1/x^{-n}\text{.}\)

Teorema B.49.

Jika \(x\in\rats\text{,}\) \(x\neq0\text{,}\) dan \(m,n\in\ints\text{,}\) maka \(x^mx^n=x^{m+n}\) dan \((x^m)^n=x^{mn}\text{.}\)

Sblm Ke Atas Lnjt