Contoh 10.2.
Untuk roda pemutar tersebut, kita dapat mengambil \(S=\{1,2,3,4,5\}\text{,}\) dengan \(P(1)=P(3)=P(4)=1/8\text{,}\) \(P(2)=2/8=1/4\text{,}\) dan \(P(5)=3/8\text{.}\) Jadi, \(P(\{2,3\})=1/8+2/8=3/8\text{.}\)
Subbab 10.1 Pengantar Probabilitas
Kita melanjutkan dengan pembahasan informal yang dimaksudkan untuk memotivasi pengembangan lebih terstruktur pada bagian berikutnya. Perhatikan “roda pemutar” pada Gambar 10.1. Misalkan roda itu kita putar kuat-kuat sehingga penunjuknya berputar berkali-kali. Kemudian kita catat nomor daerah tempat penunjuk berhenti. Para pengamat yang belum pernah mempelajari kombinatorika mungkin memberikan komentar berikut:
Roda pemutar untuk permainan peluang
-
Peluang berhenti di daerah \(1\) sama dengan peluang berhenti di daerah \(3\text{.}\)
-
Peluang berhenti di daerah \(2\) dua kali peluang berhenti di daerah \(4\text{.}\)
-
Jika penunjuk berhenti di daerah bernomor ganjil, dalam 60% kejadian penunjuk akan berada di daerah \(5\text{.}\)
Sekarang kita akan mengembangkan kerangka yang lebih formal agar pembahasan semacam itu dapat dinyatakan dengan jauh lebih tepat. Kita juga akan melihat apakah Alice benar-benar bersikap adil kepada Dave dalam permainan menuju seratus poin yang diusulkannya.
Kita mulai dengan mendefinisikan ruang probabilitas sebagai pasangan \((S,P)\text{,}\) dengan \(S\) suatu himpunan hingga dan \(P\) suatu fungsi yang domainnya merupakan keluarga semua himpunan bagian dari \(S\text{,}\) sedangkan jangkauannya ialah himpunan \([0,1]\) yang terdiri atas semua bilangan real tak negatif yang tidak lebih dari satu. Selain itu, dua sifat utama berikut harus dipenuhi:
-
\(P(\emptyset)=0\) dan \(P(S)=1\text{.}\)
-
Jika \(A\) dan \(B\) merupakan himpunan bagian dari \(S\text{,}\) serta \(A\cap B=\emptyset\text{,}\) maka \(P(A\cup B)= P(A)+P(B)\text{.}\)
Jika \((S,P)\) merupakan ruang probabilitas, fungsi \(P\) disebut ukuran probabilitas, himpunan-himpunan bagian dari \(S\) disebut kejadian, dan jika \(E\subseteq S\text{,}\) besaran \(P(E)\) disebut probabilitas kejadian \(E\text{.}\)
Perhatikan bahwa \(P\) dapat kita perluas menjadi pemetaan dari \(S\) ke \([0,1]\) dengan menetapkan \(P(x)=P(\{x\})\) untuk setiap elemen \(x\in S\text{.}\) Elemen-elemen \(S\) kita sebut hasil (sebagian orang lebih suka menyebutnya hasil elementer), sedangkan besaran \(P(x)\) disebut probabilitas \(x\text{.}\) Penting untuk disadari bahwa jika \(P(x)\) diketahui untuk setiap \(x\in S\text{,}\) kita dapat menghitung \(P(E)\) untuk sebarang kejadian \(E\text{,}\) sebab berdasarkan sifat kedua, \(P(E)=\sum_{x\in E}P(x)\text{.}\)
Contoh 10.3.
Misalkan \(S\) merupakan himpunan hingga tak kosong dan misalkan \(n=|S|\text{.}\) Untuk setiap \(E\subseteq S\text{,}\) tetapkan \(P(E)=|E|/n\text{.}\) Secara khusus, \(P(x)=1/n\) untuk setiap elemen \(x\in S\text{.}\) Dalam contoh sederhana ini, semua hasil berpeluang sama.
Contoh 10.4.
Jika sebuah dadu bersisi enam dilempar dan banyak titik pada sisi atasnya dicatat, himpunan dasarnya ialah \(S=\{1,2,3,4,5,6\}\) dan \(P(i)=1/6\) untuk setiap \(i\in S\text{.}\) Di sisi lain, jika sepasang dadu dilempar dan jumlah titik pada kedua sisi atasnya dicatat, maka \(S=\{2,3,4,\dots,11,12\}\text{,}\) dengan \(P(2)=P(12) =1/36\text{,}\) \(P(3)=P(11)=2/36\text{,}\) \(P(4)=P(10)=3/36\text{,}\) \(P(5)=P(9)=4/36\text{,}\) \(P(6)=P(8)=5/36\text{,}\) dan \(P(7)=6/36\text{.}\) Untuk memahaminya, anggap kedua dadu dapat dibedakan: satu dadu berwarna merah dan yang lain berwarna biru. Setiap pasangan \((i,j)\) dengan \(1\le i,j\le 6\text{,}\) ketika dadu merah menunjukkan \(i\) titik dan dadu biru menunjukkan \(j\) titik, berpeluang sama. Jadi, masing-masing memiliki probabilitas \(1/36\text{.}\) Sebagai contoh, terdapat tiga pasangan yang menghasilkan jumlah empat, yaitu \((3,1)\text{,}\) \((2,2)\text{,}\) dan \((1,3)\text{.}\) Dengan demikian, probabilitas memperoleh jumlah empat ialah \(3/36=1/12\text{.}\)
Contoh 10.5.
Dalam permainan Alice yang dijelaskan sebelumnya, himpunan \(S\) dapat berupa \(\{0,1,2,3,4,5\}\text{,}\) yakni himpunan semua selisih yang mungkin ketika sepasang dadu dilempar. Dalam permainan ini, kita akan melihat bahwa definisi fungsi \(P\) yang benar menetapkan \(P(0)=6/36\text{;}\) \(P(1)=10/36\text{;}\) \(P(2)=8/36\text{;}\) \(P(3)=6/36\text{;}\) \(P(4)=4/36\text{;}\) dan \(P(5)=2/36\text{.}\) Dengan menggunakan notasi Xing yang lebih ringkas, kita dapat mengatakan bahwa \(P(0)=1/6\) dan \(P(d)= 2(6-d)/36\) apabila \(d>0\text{.}\)
Contoh 10.6.
Sebuah stoples berisi dua puluh kelereng: enam merah, sembilan biru, dan lima sisanya hijau. Tiga dari dua puluh kelereng tersebut dipilih secara acak. Misalkan \(X=\{0,1,2,3,4,5\}\text{,}\) dan untuk setiap \(x\in X\text{,}\) misalkan \(P(x)\) menyatakan probabilitas bahwa banyak kelereng biru di antara tiga kelereng yang dipilih ialah \(x\text{.}\) Maka \(P(i)=C(9,i)C(11,3-i)/C(20,3)\) untuk \(i=0,1,2,3\text{,}\) sedangkan \(P(4)=P(5)=0\text{.}\) Bob mengatakan bahwa hasil dengan probabilitas nol tidak masuk akal, tetapi Carlos mengatakan bahwa hal itu masuk akal.
1
Prosedur ini kadang-kadang disebut pengambilan sampel tanpa pengembalian. Bayangkan sebuah stoples dengan dinding buram—sehingga isinya tidak dapat dilihat. Kelereng-kelereng diaduk atau dikocok, lalu dengan mata tertutup Anda memasukkan tangan ke dalam stoples dan mengambil tiga kelereng.
Contoh 10.7.
Dalam beberapa permainan kartu, setiap pemain menerima lima kartu dari satu set standar berisi \(52\) kartu—empat jenis (sekop, hati, wajik, dan keriting), masing-masing berisi \(13\) kartu dari as hingga raja. Seorang pemain memperoleh full house jika terdapat dua nilai \(x\) dan \(y\) sehingga pemain itu memiliki tiga dari empat kartu bernilai \(x\) dan dua dari empat kartu bernilai \(y\text{,}\) e.g. tiga raja dan dua delapan. Jika lima kartu diambil secara acak dari satu set standar, probabilitas memperoleh full house ialah
\begin{equation*}
\frac{\binom{13}{1}\binom{12}{1}\binom{4}{3}\binom{4}{2}}{\binom{52}{5}}\approx 0.00144.
\end{equation*}
