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Subbab B.13 Relasi Ekuivalensi

Suatu relasi biner \(R\) disebut simetris jika \((x,y)\in R\) mengakibatkan \((y,x)\in R\) untuk semua \(x,y\in X\text{.}\)

Suatu relasi biner \(R\) pada himpunan \(X\) disebut relasi ekuivalensi jika relasi tersebut refleksif, simetris, dan transitif. Biasanya, simbol seperti \(=\text{,}\) \(\cong\text{,}\) \(\equiv\text{,}\) dan \(\sim\) digunakan untuk menyatakan relasi ekuivalensi. Suatu relasi ekuivalensi, misalnya \(\cong\text{,}\) mendefinisikan sebuah partisi pada himpunan \(X\) dengan menetapkan

\begin{equation*} \langle x\rangle =\{y\in X: x\cong y\}. \end{equation*}

Perhatikan bahwa jika \(x,y\in X\) dan \(\langle x\rangle\cap\langle y\rangle \neq\emptyset\text{,}\) maka \(\langle x\rangle=\langle y\rangle\text{.}\) Himpunan-himpunan dalam partisi ini disebut kelas ekuivalensi.

Jika notasi pasangan terurut digunakan untuk relasi biner, untuk menunjukkan bahwa pasangan \((x,y)\) tidak berada dalam relasi tersebut, kita cukup menulis \((x,y)\notin R\text{.}\) Jika notasi alternatif digunakan, hal ini biasanya dinyatakan dengan simbol negasi dari logika, yaitu \(\lnot (xRy)\text{.}\) Banyak simbol khusus yang digunakan untuk menyatakan relasi ekuivalensi mempunyai versi negatif: \(x\neq y\text{,}\) \(x\ncong y\text{,}\) \(x\nsim y\text{,}\) etc.

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