Subbab 9.4 Menyelesaikan Persamaan Operator Pemajuan

Pada bagian ini, kita akan mempelajari beberapa cara menyelesaikan persamaan operator pemajuan. Sebagian persamaan akan kita buat sekadar untuk diselesaikan, sedangkan yang lain diambil dari contoh-contoh yang kita kembangkan dalam Subbab 9.1. Sekali lagi, pembaca yang mengenal persamaan diferensial akan melihat banyak kemiripan antara teknik yang digunakan di sini dan teknik untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear berkoefisien konstan, tetapi kita tidak akan memberikan contoh tambahan untuk menunjukkan kesejajaran tersebut secara eksplisit.

Subbagian 9.4.1 Persamaan Homogen

Ternyata, persamaan homogen dapat diselesaikan dengan metode yang sangat eksplisit dan dapat digunakan setiap kali kita mampu menemukan akar-akar suatu polinom. Mari kita mulai dengan contoh lain yang cukup langsung.

Contoh 9.9.

Carilah semua solusi persamaan operator pemajuan

\begin{equation} (A^2+A-6)f = 0.\tag{9.4.1} \end{equation}

Penyelesaian.

Sebelum memusatkan perhatian pada pencarian semua solusi sebagaimana diminta, mari kita terlebih dahulu mencoba menemukan sebuah solusi. Kita mulai dengan memperhatikan bahwa di sini \(p(A) = A^2+A-6 = (A+3)(A-2)\text{.}\) Dengan \(p(A)\) difaktorkan seperti ini, kita menyadari bahwa sebenarnya kita telah menyelesaikan sebagian persoalan ini dalam Contoh 9.8! Pada contoh itu, polinom dalam \(A\) yang kita jumpai adalah (meskipun tidak dinyatakan secara eksplisit sebagai demikian di sana) \(A-2\text{.}\) Solusi bagi \((A-2)f_1=0\) berbentuk \(f_1(n) = c_12^n\text{.}\) Apa yang terjadi jika kita mencoba fungsi seperti itu di sini? Kita memperoleh

\begin{equation*} (A+3)(A-2)f_1(n) = (A+3)0 = 0, \end{equation*}

sehingga \(f_1\) merupakan solusi persamaan operator pemajuan yang diberikan. Tentu saja, fungsi ini tidak mungkin mencakup semua solusi. Namun, kini tidak sulit melihat bahwa \((A+3)f_2 = 0\) memiliki solusi \(f_2(n) = c_2(-3)^n\) berdasarkan penalaran yang sama seperti dalam Contoh 9.8. Karena \((A+3)(A-2) = (A-2)(A+3)\text{,}\) langsung terlihat bahwa \(f_2\) juga merupakan solusi (9.4.1).

Kini kita memiliki dua keluarga tak hingga solusi bagi (9.4.1). Apakah keduanya memberikan semua solusi? Ternyata, dengan menggabungkannya, kita memang memperoleh semua solusi. Perhatikan apa yang terjadi jika kita mengambil \(f(n) = c_1 2^n + c_2 (-3)^n\) dan menerapkan \(p(A)\) padanya. Kita memperoleh

\begin{align*} (A+3)(A-2)f(n) \amp = (A+3)(c_1 2^{n+1} + c_2 (-3)^{n+1} - 2(c_12^n + c_2(-3)^n))\\ \amp = (A+3)(-5c_2(-3)^{n})\\ \amp = -5c_2(-3)^{n+1}-15c_2(-3)^n\\ \amp = 15c_2(-3)^n - 15c_2(-3)^n\\ \amp =0. \end{align*}

Tidak terlalu sulit melihat bahwa karena \(f\) memberikan keluarga solusi berparameter dua bagi (9.4.1), fungsi tersebut memberikan semua solusi, sebagaimana akan kita tunjukkan secara terperinci dalam Subbab 9.5.

Apa yang terjadi dalam contoh ini sama sekali bukan suatu kebetulan. Jika terdapat persamaan operator pemajuan berbentuk \(p(A)f=0\) (dengan suku konstan \(p\) tidak nol) dan \(p\) berderajat \(k\text{,}\) maka solusi umum dari \(p(A)f=0\) akan berupa keluarga berparameter \(k\) (pada contoh sebelumnya, parameternya adalah konstanta \(c_1\) dan \(c_2\)) yang suku-sukunya berasal dari solusi persamaan-persamaan lebih sederhana yang muncul dari faktor-faktor \(p\text{.}\) Kita akan kembali ke gagasan ini sebentar lagi, tetapi terlebih dahulu mari kita lihat contoh lain.

Contoh 9.10.

Mari kita kembali ke persoalan mencacah untai terner dengan panjang \(n\) yang tidak memuat \((2,0)\) sebagai subuntai pada dua posisi berurutan, yang kita jumpai dalam Contoh 9.4. Di sana kita melihat bahwa banyaknya untai tersebut memenuhi persamaan rekurensi

\begin{equation*} t_{n+2} = 3t_{n+1} - t_n,\qquad n\geq 1 \end{equation*}

dengan \(t_1 = 3\) dan \(t_2=8\text{.}\) Sebelum berusaha menyelesaikannya, mari kita tuliskan kembali persamaan rekurensi tersebut sebagai persamaan operator pemajuan. Kita memperoleh

\begin{equation} p(A)t=(A^2-3A+1)t=0.\tag{9.4.2} \end{equation}

Akar-akar \(p(A)\) adalah \((3\pm\sqrt{5})/2\text{.}\) Dengan mengikuti pendekatan pada contoh sebelumnya, solusi umumnya adalah

\begin{equation*} t(n) = c_1\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^n + c_2\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^n. \end{equation*}

Bentuk ini mungkin tampak mencurigakan; di sini kita sedang mencacah untai, sehingga \(t(n)\) harus berupa bilangan bulat tak negatif, tetapi bentuk yang diberikan bukan hanya memuat pecahan, melainkan juga akar kuadrat! Anda dapat meniru verifikasi pada contoh sebelumnya untuk melihat bahwa bentuk ini memang memenuhi (9.4.2). Jika itu terasa menjemukan, pertimbangkan cara menggunakan Teorema Binomial untuk menjabarkan suku-suku dalam ekspresi \(t(n)\) ini. Dengan nilai \(c_1\) dan \(c_2\) yang sesuai, tampaknya akar kuadrat dan pecahan tersebut dapat saling menghilangkan. Karena kita memiliki nilai awal untuk \(t(n)\text{,}\) kita dapat menentukan \(c_1\) dan \(c_2\text{.}\) Dengan mengevaluasi pada \(n=1\) dan \(n=2\text{,}\) kita memperoleh

\begin{align*} 3 \amp = c_1\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right) + c_2 \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\\ 8 \amp = c_1\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^2 + c_2 \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^2\text{.} \end{align*}

Sedikit perhitungan memberikan

\begin{equation*} c_1 = \frac{3\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2} \quad\text{dan} \quad c_2 = -\frac{3\sqrt{5}}{10} +\frac{1}{2} \end{equation*}

sehingga

\begin{equation*} t(n) = \left(\frac{3\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{2}\right) \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^n+ \left(-\frac{3\sqrt{5}}{10} +\frac{1}{2}\right) \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^n. \end{equation*}

Contoh 9.11.

Carilah solusi umum persamaan operator pemajuan

\begin{equation*} (A+1)(A-6)(A+4)f = 0. \end{equation*}

Penyelesaian.

Pada tahap ini, tidak mengherankan jika kita langsung memanfaatkan akar-akar \(p(A)\) dan memperoleh solusi

\begin{equation*} f(n) = c_1(-1)^n + c_2 6^n + c_3 (-4)^n. \end{equation*}

Pada tahap ini, Anda seharusnya sudah dapat melihat sebagian besar pola untuk menyelesaikan persamaan operator pemajuan homogen. Namun, semua contoh yang telah kita tinjau sejauh ini memiliki satu kesamaan: semua akar \(p(A)\) berbeda. Menyelesaikan persamaan operator pemajuan yang tidak memiliki sifat ini tidak jauh lebih sulit daripada yang telah kita lakukan, tetapi kasus tersebut perlu ditangani secara tersendiri.

Contoh 9.12.

Carilah solusi umum persamaan operator pemajuan

\begin{equation*} (A-2)^2 f=0. \end{equation*}

Penyelesaian.

Di sini kita menghadapi persoalan akar berulang yang baru saja disebutkan. Langsung terlihat bahwa \(f_1(n) = c_12^n\) merupakan solusi persamaan ini, tetapi itu tidak mungkin mencakup semuanya, sebab sebelumnya kita telah menyebutkan bahwa persamaan semacam ini harus memiliki keluarga solusi berparameter \(2\text{.}\) Anda mungkin tergoda untuk mencoba \(f_2(n) = c_2 2^n\) dan \(f(n) = f_1(n) + f_2(n)\text{,}\) tetapi hasilnya hanyalah \((c_1+c_2)2^n\text{,}\) yang sebenarnya hanya memiliki satu parameter, yaitu \(c=c_1+c_2\text{.}\)

Apa yang dapat kita lakukan untuk mengatasi kebuntuan ini? Bagaimana jika kita mencoba \(f_2(n) = c_2 n2^n\text{?}\) Sekali lagi, jika Anda mengenal persamaan diferensial, inilah pilihan analog yang patut dicoba. Mari kita terapkan \((A-2)^2\) pada \(f_2\) ini. Kita memperoleh

\begin{align*} (A-2)^2 f_2(n) \amp = (A-2)(c_2(n+1)2^{n+1} - 2c_2 n2^n)\\ \amp = (A-2)(c_2 2^{n+1})\\ \amp = c_22^{n+2} - 2c_2 2^{n+1}\\ \amp = 0. \end{align*}

Karena \(f_2\) memenuhi persamaan operator pemajuan tersebut, solusi umumnya adalah

\begin{equation*} f(n) = c_1 2^n + c_2 n2^n. \end{equation*}

Contoh 9.13.

Perhatikan persamaan rekurensi

\begin{equation*} f_{n+4} = -2f_{n+3} + 12f_{n+2} + -14 f_{n+1} + 5f_n \end{equation*}

dengan syarat awal \(f_0 = 1\text{,}\) \(f_1= 2\text{,}\) \(f_2 = 4\text{,}\) dan \(f_3 = 4\text{.}\) Carilah rumus eksplisit untuk \(f_n\text{.}\)

Penyelesaian.

Sekali lagi, kita mulai dengan menuliskan persamaan rekurensi yang diberikan sebagai persamaan operator pemajuan bagi fungsi \(f(n)\text{:}\)

\begin{equation} (A^4 +2A^3 -12A^2+14A-5)f = 0.\tag{9.4.3} \end{equation}

Memfaktorkan \(p(A) = A^4 +2A^3 -12A^2+14A-5\) memberikan \(p(A) = (A+5)(A-1)^3\text{.}\) Langsung terlihat bahwa \(f_1(n) = c_1 (-5)^n\) merupakan sebuah solusi. Contoh sebelumnya seharusnya telah meyakinkan Anda bahwa \(f_2(n) = c_2\cdot 1^n = c_2\) dan \(f_3(n) = c_3 n \cdot 1^n = c_3 n\) juga merupakan solusi, dan Anda mungkin tidak akan terkejut ketika kita menyarankan \(f_4(n) = c_4 n^2\) sebagai solusi lainnya. Untuk memverifikasi bahwa fungsi ini bekerja, kita memperoleh

\begin{align*} (A+5)(A-1)^3 f_4(n) \amp = (A+5)(A-1)^2(c_4(n+1)^2 - c_4 n^2)\\ \amp = (A+5)(A-1)^2 (2c_4 n + c_4)\\ \amp = (A+5)(A-1)(2c_4(n+1) + c_4 - 2c_4 n -c_4)\\ \amp = (A+5)(A-1)(2c_4)\\ \amp = (A+5)(2c_4-2c_4)\\ \amp = 0. \end{align*}

Dengan demikian, solusi umumnya adalah

\begin{equation*} f(n) = c_1 (-5)^n + c_2 + c_3 n + c_4n^2. \end{equation*}

Karena kita memiliki syarat awal, terlihat bahwa

\begin{align*} 1= f(0) \amp = c_1+c_2\\ 2 = f(1) \amp = -5c_1 + c_2 + c_3 + c_4\\ 4 = f(2) \amp = 25c_1 + c_2 + 2c_3 + 4c_4\\ 4 = f(3) \amp = -125c_1 + c_2 +3c_3 +9c_4 \end{align*}

merupakan sistem persamaan yang solusinya memberikan nilai-nilai \(c_i\text{.}\) Menyelesaikan sistem ini memberikan solusi yang diinginkan, yaitu

\begin{equation*} f(n) = \frac{1}{72} (-5)^n +\frac{71}{72} + \frac{5}{6} n +\frac{1}{4} n^2. \end{equation*}

Subbagian 9.4.2 Persamaan Nonhomogen

Seperti disebutkan sebelumnya, persamaan nonhomogen sedikit lebih rumit untuk diselesaikan daripada persamaan homogen. Kadang-kadang percobaan pertama kita tidak berhasil, tetapi justru menyarankan fungsi yang lebih baik untuk dicoba. Sebelum selesai, kita akan kembali ke persoalan garis-garis pada bidang yang telah beberapa kali ditinjau, tetapi mari kita mulai dengan contoh yang lebih ilustratif.

Contoh 9.14.

Perhatikan persamaan operator pemajuan

\begin{equation*} (A+2)(A-6)f=3^n. \end{equation*}

Mari kita mencoba mencari solusi umumnya, sebab setelah solusi umum diperoleh, kita dapat menemukan solusi tertentu yang bersesuaian dengan sebarang himpunan syarat awal.

Ketika menangani persamaan nonhomogen, kita menempuh dua langkah. Alasan di balik prosedur ini akan dijelaskan dalam Lema 9.20, tetapi untuk saat ini mari kita pusatkan perhatian pada metodenya. Langkah pertama adalah mencari solusi umum persamaan homogen yang bersesuaian dengan persamaan nonhomogen yang diberikan. Dalam kasus ini, persamaan homogen yang ingin kita selesaikan adalah

\begin{equation*} (A+2)(A-6)f=0, \end{equation*}

dan pada tahap ini Anda seharusnya sudah cukup lancar untuk langsung menyebutkan solusi umumnya, yaitu

\begin{equation*} f_1(n) = c_1 (-2)^n + c_2 6^n. \end{equation*}

Sekarang kita menangani bagian nonhomogen dari persamaan operator pemajuan tersebut. Cukup bagi kita untuk menemukan sebarang solusi persamaan nonhomogen, yang akan disebut solusi partikular. Setelah memperoleh solusi partikular \(f_0\) bagi persamaan itu, solusi umumnya cukup dituliskan sebagai \(f=f_0 + f_1\text{,}\) dengan \(f_1\) merupakan solusi umum persamaan homogen.

Mencari solusi partikular \(f_0\) sedikit lebih rumit daripada mencari solusi umum persamaan homogen. Intuisi untuk melakukannya dapat dikembangkan dengan menyelesaikan banyak persoalan, tetapi bahkan dengan intuisi yang baik tentang apa yang perlu dicoba, sesekali Anda mungkin masih harus mencoba lebih dari satu bentuk untuk memperoleh solusi partikular. Apa titik awal terbaik untuk membangun intuisi ini? Ternyata, pilihan awal terbaik biasanya (dan tidak terlalu mengejutkan) berupa sesuatu yang sangat mirip dengan ruas kanan persamaan, tetapi kita perlu menyertakan satu atau beberapa konstanta baru agar benar-benar memperoleh solusi. Jadi, di sini kita mencoba \(f_0(n) = d 3^n\text{.}\) Kita memperoleh

\begin{align*} (A+2)(A-6)f_0(n) \amp = (A+2)(d3^{n+1}-6d3^n)\\ \amp = (A+2)(-d3^{n+1})\\ \amp = -d3^{n+2} -2d3^{n+1}\\ \amp = -5d 3^{n+1}. \end{align*}

Kita menginginkan \(f_0\) menjadi solusi persamaan nonhomogen, yang berarti \((A+2)(A-6)f_0 = 3^n\text{.}\) Hal ini mengharuskan kita mengambil \(d=-1/15\text{.}\) Jadi, seperti disebutkan sebelumnya, solusi umumnya adalah

\begin{equation*} f(n) = f_0(n) + f_1(n) = -\frac{1}{15}3^n + c_1 (-2)^n + c_2 6^n. \end{equation*}

Silakan verifikasi bahwa fungsi ini memang memenuhi persamaan yang diberikan.

Semoga Anda memperhatikan bahwa pada contoh sebelumnya kita mengatakan bahwa tebakan pertama untuk solusi partikular sangat mirip dengan ruas kanan persamaan, tetapi tidak selalu sama persis. Contoh berikutnya akan menunjukkan mengapa kita tidak selalu dapat mengambil bentuk yang persis sama.

Contoh 9.15.

Carilah solusi persamaan operator pemajuan

\begin{equation*} (A+2)(A-6)f=6^n \end{equation*}

jika \(f(0) = 1\) dan \(f(1) = 5\text{.}\)

Penyelesaian.

Persamaan homogen yang bersesuaian sama dengan persamaan pada contoh sebelumnya, sehingga solusi umumnya kembali berupa \(f_1(n) = c_1(-2)^n + c_2 6^n\text{.}\) Jadi, pekerjaan utama di sini adalah mencari solusi partikular \(f_0\) bagi persamaan operator pemajuan yang diberikan. Mari kita coba bentuk yang disarankan oleh contoh sebelumnya, yaitu \(f_0(n) = d6^n\text{.}\) Menerapkan polinom operator pemajuan \((A+2)(A-6)\) pada \(f_0\) ternyata menghasilkan nol, sebab \((A-6)(d6^n) = d6^{n+1}-6d6^n =0\text{.}\) Jadi, percobaan ini tidak berhasil. Namun, kita dapat mengikuti cara menangani persamaan operator pemajuan homogen yang berakar berulang dan menyertakan faktor \(n\text{.}\) Mari kita coba \(f_0(n) = dn6^n\text{.}\) Sekarang kita memperoleh

\begin{align*} (A+2)(A-6)(dn6^n) \amp = (A+2)(d(n+1)6^{n+1}-6dn6^n)\\ \amp = (A+2)d6^{n+1}\\ \amp = d6^{n+2} + 2d 6^{n+1}\\ \amp = 6^n(36d+12d) = 48d6^n. \end{align*}

Kita menginginkan hasil ini sama dengan \(6^n\text{,}\) sehingga \(d = 1/48\text{.}\) Oleh karena itu, solusi umumnya adalah

\begin{equation*} f(n) = \frac{1}{48}n6^n + c_1 (-2)^n + c_2 6^n. \end{equation*}

Yang tersisa hanyalah menggunakan syarat awal untuk mencari konstanta \(c_1\) dan \(c_2\text{.}\) Kedua konstanta tersebut memenuhi pasangan persamaan berikut:

\begin{align*} 1 \amp = c_1 + c_2\\ 5 \amp = \frac{1}{8} -2c_1+6c_2 \end{align*}

Dengan menyelesaikan keduanya, kita memperoleh solusi yang diinginkan, yaitu

\begin{equation*} f(n) = \frac{1}{48}n6^n + \frac{9}{64} (-2)^n + \frac{55}{64} 6^n. \end{equation*}

Pelajaran apa yang perlu kita ambil dari contoh ini? Ketika menebak solusi partikular suatu persamaan operator pemajuan nonhomogen, tidak ada gunanya menggunakan suku yang juga merupakan solusi persamaan homogen yang bersesuaian, sebab suku tersebut akan dilenyapkan oleh polinom operator pemajuan. Mari kita lihat bagaimana gagasan ini berperan ketika akhirnya kita menyelesaikan salah satu contoh lama.

Contoh 9.16.

Sekarang kita siap menjawab pertanyaan tentang banyaknya daerah yang dibentuk oleh \(n\) garis pada bidang dalam posisi umum, seperti yang dibahas dalam Subbagian 9.1.3. Kita memiliki persamaan rekurensi

\begin{equation*} r_{n+1} = r_n + n+1, \end{equation*}

yang menghasilkan persamaan operator pemajuan nonhomogen \((A-1)r = n+1\text{.}\) Seperti biasa, kita perlu memulai dengan solusi umum persamaan homogen yang bersesuaian. Solusinya adalah \(f_1(n) = c_1\text{.}\) Kita mungkin tergoda untuk mencoba \(f_0(n)=d_1n+d_2\) sebagai solusi partikular. Namun, karena suku konstantanya merupakan solusi persamaan homogen, kita memerlukan bentuk yang sedikit lebih besar. Mari kita naikkan setiap pangkat \(n\) sebesar \(1\text{,}\) sehingga diperoleh \(f_0(n) = d_1n^2 + d_2n\text{.}\) Sekarang kita mempunyai

\begin{align*} (A-1)(d_1n^2+d_2n) \amp = d_1(n+1)^2+d_2(n+1) - d_1n^2 -d_2n\\ \amp = 2d_1n+d_1+d_2. \end{align*}

Hal ini menunjukkan bahwa kita memerlukan \(d_1=1/2\) dan \(d_2=1/2\text{,}\) sehingga \(f_0(n) = n^2/2 + n/2\text{.}\) Jadi, solusi umumnya adalah

\begin{equation*} f(n) = c_1 + \frac{n^2+n}{2}. \end{equation*}

Apa syarat awalnya? Satu garis membagi bidang menjadi dua daerah, sehingga \(f(1) = 2\text{.}\) Di sisi lain, \(f(1) = c_1 + 1\text{,}\) sehingga \(c_1=1\) dan dengan demikian

\begin{equation*} f(n) = 1 + \frac{n^2+n}{2} = \binom{n+1}{2} + 1 \end{equation*}

merupakan banyaknya daerah yang terbentuk ketika bidang dibagi oleh \(n\) garis dalam posisi umum.

Kita mengakhiri bagian ini dengan satu contoh lagi yang menunjukkan cara menangani persamaan operator pemajuan nonhomogen yang ruas kanannya bertipe “campuran”.

Contoh 9.17.

Berikan solusi umum persamaan operator pemajuan

\begin{equation*} (A-2)^2 f = 3^n + 2n. \end{equation*}

Penyelesaian.

Pada tahap ini, mencari solusi persamaan homogen yang bersesuaian sudah cukup mudah; cukup perhatikan bahwa

\begin{equation*} f_1(n) = c_1 2^n + c_2 n2^n. \end{equation*}

Apa yang perlu kita coba sebagai solusi partikular? Untungnya, di sini tidak ada tumpang tindih dengan solusi homogen untuk \(p(A)=(A-2)^2\text{.}\) Naluri pertama kita mungkin menyarankan \(f_0(n) = d_1 3^n + d_2 n\text{.}\) Namun, bentuk ini tidak akan berhasil. (Silakan coba. Akan tersisa sebuah suku konstan yang tidak dapat begitu saja dibuat nol.) Kuncinya adalah bahwa jika kita menggunakan suku yang memuat pangkat tak nol dari \(n\text{,}\) kita juga perlu menyertakan pangkat-pangkat yang lebih rendah (selama pangkat-pangkat itu tidak menjadi mubazir akibat \(p(A)\)). Jadi, kita mencoba

\begin{equation*} f_0(n) = d_1 3^n + d_2 n + d_3. \end{equation*}

Ini menghasilkan

\begin{align*} (A-2)^2(d_1 3^n + d_2 n + d_3) \amp = (A-2)(d_13^{n+1} + d_2(n+1)+d_3 - 2d_1 3^n - 2d_2 n -2d_3)\\ \amp = (A-2)(d_13^n - d_2n + d_2 -d_3)\\ \amp = d_1 3^{n+1} - d_2(n+1) + d_2 - d_3 - 2 d_1 3^n + 2d_2 n -2d_2 + 2d_3\\ \amp = d_1 3^n + d_2 n -2d_2 + d_3. \end{align*}

Kita menginginkan hasil ini sama dengan \(3^n+2n\text{,}\) sehingga pencocokan koefisien memberikan \(d_1 = 1\text{,}\) \(d_2 =2\text{,}\) dan \(d_3=4\text{.}\) Dengan demikian, solusi umumnya adalah

\begin{equation*} f(n) = 3^n+2n+4 + c_1 2^n + c_2 n 2^n. \end{equation*}

Sblm Ke Atas Lnjt