Lema B.36.
\(\cong\) bersifat refleksif.
Subbab B.14 Bilangan Bulat sebagai Kelas Ekuivalensi Pasangan Terurut
Definisikan suatu relasi biner \(\cong\) pada himpunan \(Z=\nonnegints \times\nonnegints\) dengan
\begin{equation*}
(a,b)\cong (c,d)\quad\textit{iff}\quad a+d=b+c.
\end{equation*}
Bukti.
Misalkan \((a,b)\in Z\text{.}\) Maka \(a+b=b+a\text{,}\) sehingga \((a,b)\cong(a,b)\text{.}\)
Lema B.37.
\(\cong\) bersifat simetris.
Bukti.
Misalkan \((a,b),(c,d)\in Z\) dan anggap \((a,b)\cong (c,d)\text{.}\) Maka \(a+d=b+c\text{,}\) sehingga \(c+b=d+a\text{.}\) Jadi, \((c,d)\cong (a,b)\text{.}\)
Lema B.38.
\(\cong\) bersifat transitif.
Bukti.
Misalkan \((a,b), (c,d), (e,f)\in Z\text{.}\) Anggap bahwa
\begin{equation*}
(a,b)\cong(c,d)\quad\text{and} \quad (c,d)\cong (e,f).
\end{equation*}
Maka \(a+d=b+c\) dan \(c+f=d+e\text{.}\) Oleh karena itu,
\begin{equation*}
(a+d)+(c+f) =(b+c)+(d+e).
\end{equation*}
Akibatnya,
\begin{equation*}
(a+f)+(c+d) =(b+e)+(c+d).
\end{equation*}
Jadi, \(a+f = b+e\text{,}\) sehingga \((a,b)\cong(e,f)\text{.}\)
Karena sekarang kita mengetahui bahwa \(\cong\) merupakan relasi ekuivalensi pada \(Z\text{,}\) relasi \(\cong\) mempartisi \(Z\) menjadi kelas-kelas ekuivalensi. Untuk elemen \((a,b)\in Z\text{,}\) kelas ekuivalensi dari \((a,b)\) dinyatakan dengan \(\langle (a,b)\rangle\text{.}\)
Misalkan \(\ints\) menyatakan himpunan seluruh kelas ekuivalensi \(Z\) yang ditentukan oleh relasi ekuivalensi \(\cong\text{.}\) Elemen-elemen \(\ints\) disebut bilangan bulat.
